Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre

Dans le dossier «Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre»

Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre

Les exercices

$\bullet$\(\sin(t)/(t+x)\) **
$\bullet$Calcul de limite **
$\bullet$Calcul d’équivalent, Mines 1999 ** Mines-Ponts
$\bullet$ Calcul de limite **
$\bullet$\((\int f^x)^{1/x}\) **
$\bullet$Centrale MP 2000 ** Centrales MP
$\bullet$Polytechnique MP 2002 ** Polytechnique MP
$\bullet$Mines MP 2012 ** Mines-Ponts MP

Exercices dans ce dossier

\(\sin(t)/(t+x)\) **

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Prouver l’existence pour \(x > 0\) de \(I(x) = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\sin t}{t+x}\,\mathrm{ \;d}t\).
Déterminer \(\lim_{x\to +\infty } I(x)\).

Calcul de limite **

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue. Chercher \(\lim_{x\to 0_{+} } \int _{t=0}^1 \dfrac{xf(t)}{x^2 +t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).

Calcul d’équivalent, Mines 1999 ** Mines-Ponts

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Donner un équivalent pour \(x\to +\infty\) de \(\int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{\sin t}{x^2 +t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).

Calcul de limite **

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Soit \(a > 0\). Donner le DL en \(x=1\) à l’ordre 3 de \(f(x) = \int _{t=a/x}^{ax} \dfrac{\ln t}{a^2 +t^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).

\((\int f^x)^{1/x}\) **

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}_{+}\) continue. On pose \(\varphi (x) = \left({\int _{t=a}^b (f(t))^x\,\mathrm{ \;d}t}\right)^{1/x}\).

Montrer que \(\varphi (x) \to _{x\to +\infty } \max(f)\).
On suppose \(f > 0\) et \(b-a = 1\). Montrer que \(\varphi (x) \to _{x\to 0_{+} } \exp\left({\int _{t=a}^b\ln(f(t))\,\mathrm{ \;d}t}\right)\).

Centrale MP 2000 ** Centrales MP

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Domaine de définition de \(I(\alpha ) = \int _{x=0}^{+\infty }\dfrac{x\ln x}{(1+x^2 )^\alpha }\,\mathrm{ \;d}x\). Calculer \(I(2)\) et \(I(3)\). Déterminer la limite de \(I(\alpha )\) en \(+\infty\).

Polytechnique MP 2002 ** Polytechnique MP

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Soit \(\alpha \in {]0,\frac\pi 2[}\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(I_n = \int _{x=0}^{\alpha }\sin(x)\exp(\lambda n\sin^2 (x))\,\mathrm{ \;d}x\).

Mines MP 2012 ** Mines-Ponts MP

16 mars 2024 16:46 — Par Michel Quercia

Déterminer la limite pour \(n\to \infty\) de \(\int _{x=0}^{+\infty }x^{-1/n}(1+x/n)^{-n}\,\mathrm{ \;d}x\).

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