Calculs d'intégrales généralisées

Dans le dossier «Calculs d'intégrales généralisées»

Calculs d'intégrales généralisées

Les exercices

$\bullet$Calcul, fractions rationnelles **
$\bullet$Calcul, fonctions trigonométriques **
$\bullet$Calcul, radicaux **
$\bullet$Calcul, divers **
$\bullet$Chimie P 91 **
$\bullet$Chimie P 1996 **
$\bullet$Calcul de \(\int _{0} ^\infty \sin t/t\,d t\) **
$\bullet$Constante d’Euler **
$\bullet$Constante d’Euler ***
$\bullet$Intégrale de Gauss **
$\bullet$Intégrales de Gauss **
$\bullet$Mines-Ponts MP 2005 ** Mines-Ponts MP
$\bullet$Exercice 1899 **
$\bullet$Intégrales emboitées **

Exercices dans ce dossier

Calcul, fractions rationnelles **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer :

\(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{(1+t^2 )^2 }\)
\(\int _{t=-\infty }^{+\infty } \dfrac{d t}{t^2 +2t+2}\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{(1+t^2 )^4 }\)
\(\int _{t=-\infty }^{+\infty } \dfrac{d t}{(t^2 +1)(t^2 -2t\cos\alpha +1)}\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{2t^2 +1}{(t^2 +1)^2 }\,d t\)
\(\int _{t=-\infty }^{+\infty } \dfrac{t^2 \,d t}{(t^2 +1)(t^2 +a^2 )}\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{1+t^4 }\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{t^2 \,d t}{1+t^4 }\)
\(\int _{t=1}^{+\infty } \dfrac{d t}{t^6(1+t^{10})}\)

Calcul, fonctions trigonométriques **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer :

\(\int _{t=0}^{2\pi } \dfrac{d t}{2+\sin t}\)
\(\int _{t=-\pi }^\pi \dfrac{2d t}{2+\sin t+\cos t}\)
\(\int _{t=0}^{\pi /2} \sqrt {\tan t}\,d t\)
\(\int _{t=0}^{\pi /2} \dfrac{d t}{3\tan t+2}\)
\(\int _{t=0}^\pi \dfrac{d t}{(a\sin^2 t+b\cos^2 t)^2 }\)
\(\int _{t=0}^{\pi /4} \cos t\ln(\tan t)\,d t\)

Calcul, radicaux **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer :

\(\int _{t=0}^1 \sqrt {\dfrac{t}{1-t}}\,d t\)
\(\int _{t=1}^{10} \dfrac{d t}{\root3\of{t-2}}\)
\(\int _{t=a}^b \dfrac{d t}{\sqrt {(t-a)(b-t)}}\)
\(\int _{t=0}^1 \dfrac{t^5\,d t}{\sqrt {1-t^2 }}\)
\(\int _{t=-1}^1 \dfrac{d t}{(1+t^2 )\sqrt {1-t^2 }}\)
\(\int _{t=0}^1 \dfrac{d t}{(4-t^2 )\sqrt {1-t^2 }}\)
\(\int _{t=0}^1 \dfrac{t\,d t}{\sqrt {(1-t)(1+3t)}}\)
\(\int _{t=0}^1 \dfrac{d t}{(1+t)\root3\of{t^2 -t^3}}\)
\(\int _{t=0}^1 \arctan\sqrt {1-t^2 }\,d t\)
\(\int _{t=1}^{+\infty } \dfrac{d t}{t\sqrt {t^{10}+t^5+1}}\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{(1+t^2 )\sqrt t}\)

Calcul, divers **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer :

\(\int _{t=2}^{+\infty } \dfrac{e^t\,d t}{(e^{2t}-5e^t+6)(e^t-1)}\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{d t}{\mathop{\rm ch}\nolimits^4 t+\mathop{\rm sh}\nolimits^4 t}\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } te^{-\sqrt t} \,d t\)
\(\int _{t=0}^1 \arcsin t \,d t\)
\(\int _{t=0}^1 \dfrac{\ln(1-t^2 )}{t^2 }\,d t\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{t^3\ln t}{(1+t^4 )^3}\,d t\)
\(\int _{t=0}^{\pi /2} \ln\sin t\,d t\)
\(\int _{t=0}^1 \dfrac{\ln t}{\sqrt {1-t}}\,d t\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\ln t}{1+t^2 }\,d t\)
\(\int _{t=0}^1 \dfrac{\ln t}{(1+t)\sqrt {1-t^2 }}\,d t\)
\(\int _{t=0}^1 \dfrac{d t}{\sqrt {1+t}+\sqrt {1-t}}\)
\(\int _{t=0}^{+\infty } \ln\Bigl(1+\dfrac{a^2 }{t^2 }\Bigr)\,d t\)
\(\int _{t=0}^{+\infty }\ln\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|\dfrac{t\,d t}{(a^2 +t^2 )^2 }\)

Chimie P 91 **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Existence et calcul de \(f(x) = \int _{0} ^\pi d t/(1-x\cos t)\).

Chimie P 1996 **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Convergence et calcul de \(\int _{t=0}^{+\infty }t\,d t/\mathop{\rm sh}\nolimits t\) (on pourra décomposer l’intégrande en somme d’une série de fonctions).

Calcul de \(\int _{0} ^\infty \sin t/t\,d t\) **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

A l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\sin t}t \,d t = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\sin^2 t}{t^2 } \,d t\).
Montrer que l’intégrale \(I_n = \int _{t=0}^{\pi /2} \dfrac{\sin^2 nt}{t^2 }\,d t\) est comprise entre les intégrales \(A_n = \int _{t=0}^{\pi /2} \dfrac{\sin^2 nt}{\sin^2 t}\,d t\) et \(B_n = \int _{t=0}^{\pi /2} \mathop{\rm cotan}\nolimits^2 t\sin^2 nt\,d t\).
Calculer \(A_n+A_{n+2} - 2A_{n+1}\) et \(A_n-B_n\). En déduire les valeurs de \(A_n\) et \(B_n\) en fonction de \(n\).
Montrer que \(\dfrac{I_n}n \to _{n\to \infty } J = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\sin^2 t}{t^2 }\,d t\) et donner la valeur de cette dernière intégrale.

Constante d’Euler **

15 mars 2024 22:08 — Par Michel Quercia

Calculer \(\int _{t=1}^{+\infty } \dfrac{t-[t]}{t^2 } \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.

Constante d’Euler ***

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que :

\(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t}\ln t\,d t = -\gamma\).
\(\int _{t=0}^1 \dfrac{1-e^{-t}-e^{-1/t}}t\,d t = \gamma\).
\(\int _{t=0}^1 \Bigl(\dfrac 1t + \dfrac 1{\ln(1-t)}\Bigr)d t = \gamma\).

Intégrale de Gauss **

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Montrer que pour \(0\leq x\leq \sqrt n\) on a : \((1-\frac{x^2 }n)^n \leq e^{-x^2 }\) et pour \(x\) quelconque : \(e^{-x^2 }\leq (1+\frac{x^2 }n)^{-n}\).
Calculer les intégrales \(I_n = \int _{t=0}^{\sqrt n} (1-\frac{t^2 }n)^n \, d t\) et \(J_n = \int _{t=0}^{+\infty } (1+\frac{t^2 }n)^{-n}\, d t\) en fonction des intégrales : \(K_p = \int _{t=0}^{\pi /2} \cos^pt\,d t\).
On admet que \(K_p ~ \sqrt {\dfrac\pi {2p}}\) quand \(p\to \infty\). Calculer \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\,d t\).

Intégrales de Gauss **

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

On admet que \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\,d t =\frac{\sqrt \pi }2\). Calculer les intégrales : \(I_n = \int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }t^{2n}\,d t\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Mines-Ponts MP 2005 ** Mines-Ponts MP

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Nature et calcul de \(\int _{x=0}^{+\infty } \exp(-(x-1/x)^2 )\,d x\) ?

Exercice 1899 **

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Existence de \(\int _{x=0}^{+\infty } \sin(x^4 +x^2 +x)\,d x\).

Intégrales emboitées **

15 mars 2024 22:09 — Par Michel Quercia

Établir la convergence et calculer la valeur de \(\int _{x=0}^{+\infty }\int _{t=x}^{+\infty }\sin(t)/t\,d t\,d x\).

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