Coordonnées cartésiennes dans l'espace

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Dans le dossier «Coordonnées cartésiennes dans l'espace»

Coordonnées cartésiennes dans l'espace
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Exercices dans ce dossier

Exercice

Exercice 472 *

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour chacun des plans \(\mathcal P\) suivant calculer une équation cartésienne et une équation paramétrée :

  1. Le plan \(\mathcal P\) passant par \(A\left(1,0,1\right)\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{n}=\left(1,-1,2\right)\).

  2. Le plan \(\mathcal P\) passant par \(A\left(0,1,1\right)\) et engendré par \(\overrightarrow{u}=\left(1,-1,0\right)\) et \(\overrightarrow{v}=\left(0,0,2\right)\).

  3. Le plan \(\mathcal P\) passant par \(A\left(1,-1,0\right)\) et parallèle au plan \(\mathcal Q~:x-2z+1=0\).

  4. Le plan \(\mathcal P\) passant par \(A\left(1,-1,1\right)\) et perpendiculaire à la droite \(\mathcal D~:\begin{cases} 2x-y+1&=0\\x-y+z-2&=0\end{cases}\).

  5. Le plan \(\mathcal P\) passant par les points \(A\left(1,0,1\right)\), \(B \left(0,1,-1\right)\) et \(C\left(2,1,0\right)\).

  6. Le plan \(\mathcal P\) contenant les droites \(\mathcal D~: \begin{cases} x-y+1&=0\\ y-z-2&=0\end{cases}\) et \(\mathcal D '~: \begin{cases} x&=-3+t\\y&=2-t\\ z&=2-2t\end{cases}\).

  7. Le plan \(\mathcal P\) passant par \(A\left(1,0,0\right)\) et perpendiculaire aux plans \(\mathcal Q~: x-2y+z-1=0\) et \(\mathcal Q'~: y-2z+1=0\).

  8. Le plan \(\mathcal P\) passant par les points \(A\left(1,0,-2\right)\) et \(B\left(0,-1,1\right)\) et perpendiculaire au plan \(\mathcal Q~: x-y+z=1\).
Exercice

Exercice 255 *

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la droite \(\mathscr D\) passant par \(A=(1,-2,0)\) et dirigée par \(\overrightarrow{u}=(1,1,-1)\). Soit \(B=(0,1,-2)\) un point de l’espace.

  1. Déterminer les coordonnées du point \(H\), projeté orthogonal de \(B\) sur \(\mathscr D\).

  2. Calculer de deux manières différentes la distance de \(B\) à la droite \(\mathscr D\).
Exercice

Exercice 382 *

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) d’équations respectives \(x-y+z+1=0\) et \(2x+y-z-1=0\).

  1. Vérifier que ces deux plans ne sont pas parallèles.

  2. Déterminer une paramétrisation de leur intersection \(\mathscr D\).

  3. Donner une équation cartésienne du plan \(\mathscr Q\) passant par \(A=(1,1,0)\) et perpendiculaire aux deux plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\).
Exercice

Exercice 949 **

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\) d’équations respectives \(3x-4y+1=0\) et \(2x-3y+6z-1=0\). Déterminer l’ensemble des points équidistants de \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\).
Exercice

Exercice 467 *

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer:

  1. La distance du point \(A(1,2,1)\) au plan \(\mathscr P~: x-2y+3z=1\).

  2. La distance du point \(B(1,2,-1)\) à la droite \(\mathscr D\) paramétrée par \(\left\{\begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2-t\\ z=2t \end{array}\right.\) avec \(t\in \mathbb{R}\).

  3. La distance du point \(C(1,0,2)\) à la droite \(\Delta\) définie par \(\left\{\begin{array}{l} 2x-y+z=1 \\ x-y+z=-1 \end{array}\right.\)

  4. Déterminer la distance entre les droites \(\mathscr D\) et \(\mathscr D'\) d’équations respectives: \(\left\{\begin{array}{l} -x+y-z=1 \\ x-y+2z=1 \end{array}\right.\) et \(\left\{\begin{array}{l} 2x-y-z=0 \\ -x-2y+3z=0 \end{array}\right.\)
Exercice

Exercice 993 *

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le plan \(\mathcal{P}\) représenté paramétriquement par : \[\begin{cases} x &= 2 + \lambda - \mu \\ y &= 3 - \lambda + 2\mu \\ z &= 1 + 2\lambda + \mu \end{cases} \quad(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}\]

  1. Donner une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\).

  2. Déterminer la distance du point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right.}\) au plan \(\mathcal{P}\).

  3. Donner une équation cartésienne de la droite passant par le point \(A\) et perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\).
Exercice

Exercice 616 *

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la droite d’équation : \[\begin{cases} x + y -z +1 &= 0 \\ 2x - y + z - 2 &= 0 \end{cases}\] Déterminer la distance du point \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\2\\1 \end{matrix}\right.}\) à cette droite.
Exercice

Exercice 1005 **

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(a \in \mathbb{R}\) et le point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1\\a \end{matrix}\right.}\). On considère les quatre plans d’équations : \[P_1~:x+y-1=0,~P_2:~y+z-1=0,~P_3:~x+z-1=0,~P_4:~x-y+z=0\] Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour que les projections orthogonales de \(A\) sur les quatre plans soient \(4\) points coplanaires.
Exercice

Exercice 861 *

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère les deux droites de l’espace d’équations cartésiennes : \[\mathcal{D}: \left\{ \begin{matrix} x = 2z+1 \\ y = z-1 \end{matrix} \right.\] \[\mathcal{D}': \left\{ \begin{matrix} x= z+2 \\ y = 3z-3 \end{matrix} \right.\] Montrer qu’elles sont coplanaires et former une équation cartésienne de leur plan.
Exercice

Faisceau de plans ***

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\mathcal D\) une droite d’équations cartésiennes : \[\mathcal D~:\begin{cases}ax+by+cz+d&=0\\ a'x+b'y+c'z+d'&=0\end{cases}.\] On appelle faisceau de plans issu de \(\mathcal D\) l’ensemble des plans de l’espace contenant \(\mathcal D\).

Montrer qu’un plan \(\mathcal P\) est élément du faisceau issu de \(\mathcal D\) si et seulement si il a une équation cartésienne de la forme : \[\mathcal P~: \alpha\left(ax+by+cz+d\right)+\beta\left(a'x+b'y+c'z+d'\right)=0\] où \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) sont deux réels non tous deux nuls.
Exercice

Exercice 78 **

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Trouver l’équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) passant par les points \(A=(1,1,1)\) et \(B=(2,1,0)\) et tel que la droite \[\mathcal{D}: \left\{ \begin{matrix} x+2y+z-2\newline x+y-z+3=0 \end{matrix}\right.\] soit parallèle à \(\mathcal{P}\).
( ).
Utiliser la notion de faisceau de plans développée dans l’exercice page
Exercice

Exercice 645 **

4 janvier 2021 22:51 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
On considère les droites \[\mathcal{D}: \left\{ \begin{matrix} x = z-1 \\ y = 2z+1 \end{matrix} \right.\] \[\mathcal{D}': \left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \newline z=2x-1 \end{matrix} \right.\] Montrer qu’il existe un unique couple de plans \((\mathcal{P}, \mathcal{P}')\) tels que \[\mathcal{D} \subset \mathcal{P}, \quad\mathcal{D}'\subset \mathcal{P}' \quad\mathcal{P} // \mathcal{P}'\] Déterminer une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}'\).
( ).
On pourra utiliser la notion de faisceau de plans développée dans l’exercice page
Exercice

Exercice 1028 **

4 janvier 2021 22:52 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces
Trouver l’équation cartésienne des plans contenant la droite \(\mathcal{D}\) dirigée par \(\overrightarrow{u}=(-1,0,2)\) passant par \(A=(2,3,-1)\) et qui se situe à distance \(1\) du point \(B=(0,1,0)\).
( ).
On pourra utiliser la notion de faisceau de plans développée dans l’exercice page
Exercice

Exercice 477 **

4 janvier 2021 22:52 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère dans l’espace muni d’un repère \(\mathcal{R}\), les deux droites d’équations : \[\mathscr D \begin{cases} x - z - a &= 0 \\ y + 3z + 1 &= 0 \end{cases} \quad\mathscr D' \begin{cases} x + 2y + z - 2b &= 0 \\ 3x + 3y + 2z - 7 &= 0 \end{cases}\] où \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\).

  1. Montrer qu’elles ne sont pas parallèles.

  2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \((a, b)\) pour que les deux droites soient sécantes. Former alors l’équation cartésienne de leur plan.
Exercice

Exercice 205 *

4 janvier 2021 22:52 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les points \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 3\\0\\-1 \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\1\\1 \end{matrix}\right.}\), \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 2\\1\\-1 \end{matrix}\right.}\) et \(D \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right.}\). Calculer la distance entre les droites \((AB)\) et \((CD)\).
Exercice

Exercice 272 **

4 janvier 2021 22:52 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère dans \(\mathcal{E}_3\) la droite \[\mathcal{D} : \left\{\begin{matrix} x = az + p \\ y = bz + q \end{matrix}\right.\] et les points \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\0\\h \end{matrix}\right.}\), \(A'= \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\0\newline-h \end{matrix}\right.}\). On suppose que \(A\not\in \mathcal{D}\) et que \(A'\not\in\mathcal{D}\).

  1. Donner une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) (respectivement \(\mathcal{P}'\)) passant par le point \(A\) (resp \(A'\)) contenant la droite \(\mathcal{D}\).

  2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(a,b,p,q,h\) pour que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}'\) soient perpendiculaires.

( ).
On pourra utiliser la notion de faisceau de plans développée dans l’exercice page
Exercice

Exercice 586 **

4 janvier 2021 22:52 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans l’espace euclidien \(E = \mathbb{R}^{3}\), rapporté à un repère orthonormé direct, on considère deux droites \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) d’équation cartésienne \[\mathcal{D}_1 : \begin{cases} x + y - 3z + 4 = 0 \\ 2x-z + 1 = 0 \end{cases} \quad \textrm{ et} \quad\mathcal{D}_2 : \begin{cases} x - z + 1 = 0 \\ y - z + 1 = 0 \end{cases}\]

  1. Trouvez une équation cartésienne de la perpendiculaire commune \(\Delta\) à \(\mathcal D_1\) et \(\mathcal D_2\).

  2. Déterminez la distance entre les droites \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) par deux méthodes différentes :

    1. la première utilisant le cours.

    2. la seconde utilisant le plan \(\mathcal{P}\) contenant la droite \(\mathcal{D}_2\) et parallèle à la droite \(\mathcal{D}_1\)

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