Divers

Dans le dossier «Divers»

Les exercices

$\bullet$Matrices nilpotentes, Mines MP 2012 ** Mines-Ponts MP
$\bullet$Ens Lyon MP 2012 ** MP
$\bullet$Rangs itérés, ULC 2010 **

Exercices dans ce dossier

Matrices nilpotentes, Mines MP 2012 ** Mines-Ponts MP

14 mars 2024 22:21 — Par Michel Quercia

Déterminer le sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) engendré par les matrices nilpotentes.

Ens Lyon MP 2012 ** MP

14 mars 2024 22:21 — Par Michel Quercia

Soient \(S,R\in GL_n(\mathbb{C})\) telles que \(S^2 =R^3=I_n\) et \(RS=SR^{-1}\). Montrer que \(S\) et \(R\) sont simultanément diagonalisables par blocs, avec des blocs de taille 1 ou 2.

Rangs itérés, ULC 2010 **

14 mars 2024 22:21 — Par Michel Quercia

Soit \(V\) un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension \(d\) et \(f\in \mathcal L (V)\).

Montrer que la suite \((\mathop{\rm rg}\nolimits(f^n ))\) converge. On note \(r(f)\) sa limite.
Montrer que si \(f\circ g=g\circ f\) alors \(r(f+g)\leq r(f)+r(g)\). Trouver un contre-exemple si \(g\circ f\neq f\circ g\).
Exprimer \(r(f)\) à partir du polynôme caractéristique de \(f\).

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