Trigonalisation

Soient \(A,B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) telles que \(AB = 0\). Montrer que \(A\) et \(B\) sont simultanément trigonalisables.

Soient \(A_{1},\dots,A_n\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que \(A_{1}\dots A_n = 0\).

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). Montrer que \(A\) est nilpotente si et seulement si pour tout \(k\in \mathbb{N}^*\) on a \(\mathop{\rm tr}\nolimits(A^k)=0\).

Soit \(E\) un ev de dimension finie et \((u_n)\) une suite d’endomorphismes diagonalisables convergeant vers un endomorphisme \(u\). \(u\) est-il diagonalisable ?

On donne une matrice carrée réelle \(M\) d’ordre \(n\) non inversible. Soient \(\alpha ,\beta\) les multiplicités de zéro dans \(\chi_M\) et \(\mu _M\). Montrer que \(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits M) = \alpha\) si et seulement si \(\beta = 1\).

Soit \(\mathbb{K}\) un corps fini. Les matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) sont-elles toutes diagonalisables ? Sinon, trigonalisables ?

Soit \(\left\|\ \right\|\) une norme d’algèbre sur \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\). Soit \(G\) un sous-groupe de \(GL_n(\mathbb{R})\) tel que pour tout \(g\in G\) : \(\left\|g - \mathop{\rm id}\nolimits\right\| < 1\). Montrer que \(G\) est réduit à \(\{ \mathop{\rm id}\nolimits\}\).