Réduction par blocs

Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) non nulle et \(M = \begin{pmatrix}0 &A \\ 0 &0\end{pmatrix} \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{K})\). Montrer que \(M\) n’est pas diagonalisable.

Soit \(\mathbb{K}\) un corps de caractéristique nulle, \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(M = \begin{pmatrix}A &0 \\ A &A\end{pmatrix} \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{K})\).

Soit \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) diagonalisable. Soit \(A = \begin{pmatrix}M&M\\ M&M\end{pmatrix} \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{C})\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

Soit \(A \in GL_n(\mathbb{C})\) et \(M = \begin{pmatrix}0 &A \\ I &0\end{pmatrix} \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{C})\). Montrer que \(M\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) l’est (chercher les sous-espaces propres de \(M\) en fonction de ceux de \(A\)).

Soit \(M = \begin{pmatrix}A &B \\ 0 &C\end{pmatrix}\) avec \(A,C\) carrées. On suppose que \(A\) et \(C\) sont diagonalisables sans valeurs propres communes. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

Soit \(M = \begin{pmatrix}A &B \\ C &D\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) diagonalisable avec \(A\) carrée d’ordre \(p\).

Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(M\) de multiplicité \(m\). Montrer que si \(p > n-m\), alors \(\lambda\) est valeur propre de \(A\).

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et \(B = \begin{pmatrix}0&A\\ A&2A\end{pmatrix}\in \mathcal M _{2n}(\mathbb{R})\). Déterminer \(\mathop{\rm sp}\nolimits(B)\) et fonction de \(\mathop{\rm sp}\nolimits(A)\).

Soit \(A=\begin{pmatrix}a^2 &ab &ab &b^2 \\ ab &a^2 &b^2 &ab \\ ab &b^2 &a^2 &ab \\ b^2 &ab &ab &a^2 \\\end{pmatrix}\). Représenter dans un plan l’ensemble des couples \((a,b)\) tels que \(A^m\to _{m\to +\infty }0\).