Similitude

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) finie, \(p\) un projecteur de rang \(r\) et \[\varphi : \mathcal L (E) \rightarrow \mathcal L (E), u \mapsto {1/2}(p\circ u + u\circ p).\]

Soit \(\Phi:\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}}) \to \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) un automorphisme d’ev tel que : \(\forall A,B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), \(\Phi([A,B]) = [\Phi(A),\Phi(B)]\) où \([X,Y] = XY - YX\). Montrer : \(\forall D\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), (\(D\) est diagonalisable) \(\Leftrightarrow\) (\(\Phi(D)\) est diagonalisable).

Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) semblables sur \(\mathbb{C}\) : Il existe \(P,Q \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) telles que : \(P+iQ \in GL_n(\mathbb{C})\) et \((P+iQ)A = B(P+iQ)\).

Soit \(A = \begin{pmatrix}-1&\phantom-2&0\\ 2&2&-3 \\ -2&2&1\end{pmatrix}\) et \(\varphi\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé à \(A\).

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-ev de dimension finie et \(u \in \mathcal L (E)\). Montrer que \(u\) est diagonalisable si et seulement s’il existe des projecteurs \(p_{1},\dots,p_k \in \mathcal L (E)\) et des scalaires \(\lambda _{1},\dots,\lambda _k\) tels que : \(u = \lambda _{1}p_{1} +\dots+ \lambda _kp_k\) et \(\forall i\neq j\), \(p_i\circ p_j = 0\).

Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal M _3(\mathbb{C})\) telles que \(A^3\) est semblable à \(A^4\) ? On étudiera séparément les cas :

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). Montrer qu’il existe deux matrices \(D,N\) telles que \(A = D+N\), \(D\) est diagonalisable, \(N\) est nilpotente, \(DN=ND\).

Soit \(f\in \mathcal L (\mathbb{R}^3)\) telle que \(\mathop{\rm sp}\nolimits(f) = \{ \lambda \}\) et \(\dim(\mathop{\rm Ker}\nolimits(f-\lambda \mathop{\rm id}\nolimits))=2\).

Montrer qu’il existe une base \(\mathcal B\) dans laquelle \(\mathop{\rm Mat}\nolimits(f) = \begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &1\\0&0&\lambda \end{pmatrix}\).

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) nilpotente. Montrer que \(A\) et \(2A\) sont semblables.