Polynôme caractéristique

Vérifier que \(\chi_A(\lambda ) = -\lambda ^3 + (\mathop{\rm tr}\nolimits A)\lambda ^2 - \left( \begin{vmatrix}a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a_{11} &a_{13} \\ a_{31} &a_{33}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33}\end{vmatrix} \right)\lambda +\det(A)\).

Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) et \(L_{1},L_{2}\) deux lignes non proportionnelles de \(A-\lambda I\) (s’il en existe). On calcule \(L = L_{1}\wedge L_{2}\) (produit vectoriel) et \(X = { }^tL\). Montrer que \(X\) est vecteur propre de \(A\) pour la valeur propre \(\lambda\).

Quelle est la dimension du sous espace propre \(E_\lambda\) ?

Montrer que les colonnes de \({}^t\!\mathop{\rm com}\nolimits(A - \lambda I)\) engendrent \(E_\lambda\).

AN : Diagonaliser \(A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\\end{pmatrix}\).

Chercher le rang de \(M\).

En déduire le polynôme caractéristique de \(M\).

\(M\) est-elle diagonalisable ?

Montrer qu’il existe une unique racine dans \(\mathbb{R}^{+*}\) pour \(P_n\).

Soit \(A = \begin{pmatrix}1 &1 &0 &\dots&0 \\ 2 &0 &1 &\ddots &\vdots \\ \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0 \\ \vdots &\vdots & &\ddots &1 \\ n &0 &\dots&\dots&0 \\\end{pmatrix}\). Montrer que \(A\) admet une unique valeur propre réelle strictement positive.

Montrer que le polynôme caractéristique de \(A\) est \(\dfrac{1}{a-b}(a(X+b)^n -b(X+a)^n )\).

Montrer qu’en général les valeurs propres de \(A\) sont sur un cercle.

Calculer \(\det A_n\).

Calculer \(\chi_A\), le polynôme caractéristique de \(A\).

On suppose \(a_{1}<a_{2}<\dots<a_n\) et, pour tout \(i\), \(b_i>0\). Montrer que \(A_n\) est diagonalisable (on pourra utiliser \({\chi_A(t)}/{\prod _{i=1}^n (a_i-t)}\)).

Le résultat reste-t-il vrai si l’on suppose \(a_{1}\leq a_{2}\leq \dots\leq a_n\) et, pour tout \(i\), \(b_i>0\) ?

Déterminer le polynôme caractéristique de \(M\).

Calculer \(\varphi ^k(e_{1})\) pour \(0\leq k\leq n\).

En déduire que \(\mu _M = P\).

Montrer que \(AB\) et \(BA\) ont les mêmes valeurs propres.

Montrer que si \(A\) ou \(B\) est inversible, alors \(AB\) et \(BA\) ont même polynôme caractéristique.

Dans le cas général, on note \(M = \begin{pmatrix}BA &-B\\ 0 &0 \end{pmatrix}\), \(N = \begin{pmatrix}0 &-B\\ 0 &AB \end{pmatrix}\), \(P = \begin{pmatrix}I_n & 0\\ A &I_n\end{pmatrix}\) (\(M,N,P \in \mathcal M _{2n}(\mathbb{K})\)).

Vérifier que \(MP\) = \(PN\), montrer que \(P\) est inversible, et conclure.

Traiter le cas où \(\chi\) est scindé.

Cas général.

Soient \(A,B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) ayant même polynôme caractéristique. Montrer que \(\mathop{\rm tr}\nolimits(A^2 )=\mathop{\rm tr}\nolimits(B^2 )\).

Soient \(A,B\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). Montrer l’équivalence entre :

(a) \(\forall M\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\), \(AM+B\) et \(AM\) ont même polynôme caractéristique ;

(b) \(B\) est nilpotente et \(BA=0\).