Espaces fonctionnels

Soit \(E = \{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continues tq \(f(x) \to _{x\to \pm \infty }0\}\), \(\varphi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 2x\) et \(u : E \rightarrow E, f \mapsto f\circ \varphi .\)

Montrer que \(u\) n’a pas de valeurs propres (si \(u(f) = \lambda f\), étudier les limites de \(f\) en \(0\) ou \(\pm \infty\)).

Soit \(E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal C (\mathbb{R}^+,\mathbb{R})\) des fonctions ayant une limite finie en \(+\infty\). Soit \(T \in \mathcal L (E)\) défini par \(T(f)(x) = f(x+1).\) Trouver les valeurs propres de \(T\).

Soit \(E = \mathcal C ([0,+\infty [,\mathbb{R})\) et \(u : E \rightarrow E, f \mapsto \tilde f\) avec \(\tilde f(x) = \dfrac1x\displaystyle\int _{t=0}^x f(t)\,d t\).

Soit \(E\) l’espace vectoriel des suites réelles \(u=(u_n)_{n\geq 1}\) et \(f\) l’endomorphisme de \(E\) défini par : \[(f(u))_n = \dfrac{u_{1}+2u_{2}+\dots+nu_n}{n^2 }.\] Quelles sont les valeurs propres de \(f\) ?

Soit \(E = \mathcal C ([0,1],\mathbb{R})\) et \(f : E \rightarrow E, u \mapsto \tilde u\) avec \(\tilde u(x) = \displaystyle\int _{t=0}^1 \min(x,t)u(t)\,d t\).

Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\).