Calculs effectifs

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Calculs effectifs
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Exercices dans ce dossier

Exercice

Calcul de valeurs propres **

14 mars 2024 21:51 — Par Michel Quercia

Chercher les valeurs propres des matrices :

  1. \(\begin{pmatrix}0 &\dots&0 &1 \\ \vdots & &\vdots &\vdots \\ 0 &\dots&0 &n-1 \\ 1 &\dots&n-1 &n \\\end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix}0 &\sin\alpha &\sin2\alpha \\ \sin\alpha &0 &\sin2\alpha \\ \sin2\alpha &\sin\alpha &0 \\\end{pmatrix}\).
Exercice

Calcul de valeurs propres **

14 mars 2024 21:51 — Par Michel Quercia

Soient \(a_{1},\dots,a_n \in \mathbb{R}\). Chercher les valeurs et les vecteurs propres de \(A = \begin{pmatrix} & & & a_{1} \\ &{(0)}& & \vdots \\ & & & a_{n-1} \\ a_{1} &\dots&a_{n-1} & a_n \\\end{pmatrix}\). On distinguera les cas :

  1. \((a_{1},\dots,a_{n-1}) \neq (0,\dots,0)\).

  2. \((a_{1},\dots,a_{n-1}) = (0,\dots,0)\).
Exercice

Polynômes de Chebychev **

14 mars 2024 21:51 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \begin{pmatrix}0 &1 & &{(0)}\\ 1 &\ddots &\ddots \\ &\ddots &\ddots &1 \\ {(0)}& &1 &0 \\\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).

  1. Calculer \(D_n(\theta ) = \det(A+(2\cos\theta ) I)\) par récurrence.

  2. En déduire les valeurs propres de \(A\).
Exercice

Matrice tridiagonale **

14 mars 2024 21:51 — Par Michel Quercia

Déterminer les valeurs propres de la matrice \(A = \begin{pmatrix} 1 &-1 & & &{(0)}\\ -1 &2 &-1 & & \\ &\ddots &\ddots &\ddots & \\ & &-1 &2 &-1 \\ {(0)}& & &-1 &1 \\\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).
Exercice

Diagonalisation **

14 mars 2024 21:51 — Par Michel Quercia

Diagonaliser les matrices suivantes :

  1. \(\begin{pmatrix}1 & 5 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix}2 & 5 \\ 4 & 3\end{pmatrix}\)

  3. \(\begin{pmatrix}5 & 3 \\-8 &-6\end{pmatrix}\)

  4. \(\begin{pmatrix}4 & 4 \\ 1 & 4\end{pmatrix}\)

  5. \(\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 &-1\end{pmatrix}\)

  6. \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 0\end{pmatrix}\)

  7. \(\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\)

  8. \(\begin{pmatrix} 2 &-1 &-1 \\ -1 & 2 &-1 \\ -1 &-1 & 2\end{pmatrix}\)

  9. \(\begin{pmatrix} 1 &-1 & 2 \\ 3 &-3 & 6 \\ 2 &-2 & 4\end{pmatrix}\)

  10. \(\begin{pmatrix} 7 &-12&-2 \\ 3 &-4 & 0 \\ -2 & 0 &-2\end{pmatrix}\)

  11. \(\begin{pmatrix}-2 & 8 & 6 \\ -4 &10 & 6 \\ 4 &-8 &-4\end{pmatrix}\)

  12. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\)

  13. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 &-1 &-1 \\ 1 &-1 & 1 &-1 \\ 1 &-1 &-1 & 1\end{pmatrix}\)

  14. \(\begin{pmatrix} 0 & 2 &-2 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 &-2 & 0\end{pmatrix}\)

  15. \(\begin{pmatrix}-5 & 2 & 0 & 0 \\ 0 &-11& 5 & 0 \\ 0 & 7 &-9 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix}\)

  16. \(\begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 &-1\end{pmatrix}\)
Exercice

Trigonalisation **

14 mars 2024 21:51 — Par Michel Quercia

Trigonaliser les matrices suivantes :

  1. \(\begin{pmatrix}1 &-3 & 0 & 3 \\ -2 &-6 & 0 & 13 \\ 0 &-3 & 1 & 3 \\ -1 &-4 & 0 & 8\end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix}3 &-1 & 1 &-7 \\ 9 &-3 &-7 &-1 \\ 0 & 0 & 4 &-8 \\ 0 & 0 & 2 &-4\end{pmatrix}\)
Exercice

Diagonalisation **

14 mars 2024 21:51 — Par Michel Quercia

Diagonaliser \(M = \begin{pmatrix}{(0)}&&1\\&\ddots\\1&&{(0)}\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).
Exercice

Diagonalisation **

14 mars 2024 21:51 — Par Michel Quercia

Diagonaliser \(M = \begin{pmatrix} 0 & & &1 \\ 1 &\ddots &{(0)} \\ &\ddots &\ddots \\ {(0)}& &1 &0 \\\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\).
Exercice

Calcul **

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Diagonaliser la matrice \(M = \begin{pmatrix}e &a &b &c \\ a &e &c &b \\ b &c &e &a \\ c &b &a &e \\\end{pmatrix} \in \mathcal M _4(\mathbb{R})\).
Exercice

Calcul **

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(C_{pq} = \begin{pmatrix}U_{pq} &0 &U_{pq} \\ 0 &0 &0 \\ U_{pq} &0 &U_{pq} \\\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) où \(U_{pq}\) est la matrice \(p\times q\) dont tous les coefficients valent 1. Chercher les éléments propres de \(C_{p,q}\).
Exercice

Matrice triangulaire **

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(A = \begin{pmatrix}1 &a &b &c \\ 0 &1 &d &e \\ 0 &0 &-1&f \\ 0 &0 &0 &-1\\\end{pmatrix}\). A quelle condition \(A\) est-elle diagonalisable ?
Exercice

Sommes par lignes ou colonnes constantes **

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telle que la somme des coefficients par ligne est constante (\(=S\)). Montrer que \(S\) est une valeur propre de \(A\). Même question avec la somme des coefficients par colonne.
Exercice

Matrices stochastiques **

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) telle que : \(\forall i,j\), \(m_{ij} \geq 0\) et \(\forall i\), \(m_{i,1} + m_{i,2} +\dots+ m_{i,n} = 1\) (matrice stochastique).

  1. Montrer que 1 est valeur propre de \(M\).

  2. Soit \(\lambda\) une valeur propre complexe de \(M\). Montrer que \(|\lambda | \leq 1\) (si \((x_{1},\dots,x_n)\in \mathbb{C}^n\) est un vecteur propre associé, considérer le coefficient \(x_k\) de plus grand module). Montrer que si tous les coefficients \(m_{ij}\) sont strictement positifs alors \(|\lambda | = 1 \Rightarrow \lambda = 1\).
Exercice

\((X^2 -1)P'' + (2X+1)P'\) ** Polytechnique

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(\mathbb{K}\) un corps de caractéristique nulle, \(E = \mathbb{K}_n[X]\) et \(u : E \rightarrow E, P \mapsto (X^2 -1)P''+(2X+1)P'.\)

  1. Chercher la matrice de \(u\) dans la base canonique de \(\mathbb{K}_n[X]\).

  2. Montrer que \(u\) est diagonalisable.
Exercice

\((X-a)P'\) ** Polytechnique

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(E = \mathbb{K}_n[X]\) et \(u : E \rightarrow E, P \mapsto (X-a)P'.\) Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\).
Exercice

\(X(X-1)P' -2nXP\) ** Polytechnique

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(E = \mathbb{K}_{2n}[X]\) et \(u : E \rightarrow E, P \mapsto X(X-1)P'-2nXP.\) Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\).
Exercice

\(X^3P \bmod (X-a)(X-b)(X-c)\) ** Polytechnique

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soient \(\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb{K}\) distincts, et \(\varphi : \mathbb{K}_{2}[X] \rightarrow \mathbb{K}_{2}[X], P \mapsto R\) où \(R\) est le reste de la division euclidienne de \(X^3P\) par \((X-\alpha )(X-\beta )(X-\gamma )\). Chercher les valeurs et les vecteurs propres de \(\varphi\).
Exercice

\(P(2-X)\) ** Polytechnique

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : \mathbb{K}[X] \rightarrow \mathbb{K}[X], P \mapsto P(2-X).\)
Exercice

\(P(X+1) - P'\) ** Polytechnique

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(\mathbb{K}\) un corps de caractéristique nulle.

Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : \mathbb{K}[X] \rightarrow \mathbb{K}[X], P \mapsto P(X+1) - P'.\)
Exercice

\((X-a)P'+P-P(a)\) ** Polytechnique

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(f \in \mathcal L (\mathbb{R}_n[X])\) qui à \(P\) associe \((X-a)P'+P-P(a)\). Donner la matrice de \(f\) dans la base \((X^k)_{0\leq k\leq n}\). Chercher \(\mathop{\rm Im}\nolimits f\), \(\mathop{\rm Ker}\nolimits f\) et les éléments propres de \(f\).
Exercice

\(\mathop{\rm tr}\nolimits(A)M+\mathop{\rm tr}\nolimits(M)A\) **

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\). L’endomorphisme \(f\) de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C}})\) défini par \(f(M) = \mathop{\rm tr}\nolimits(A)M+\mathop{\rm tr}\nolimits(M)A\) est-il diagonalisable ?
Exercice

Étude d’une matrice **

14 mars 2024 21:52 — Par Michel Quercia

Soit \(A=\begin{pmatrix}a_{1} &1 & &{(0)}\\ a_{2} & &\ddots & \\ \vdots & & &1 \\ a_n &{(0)}& &0 \\\end{pmatrix}\) où les \(a_i\) sont des réels positifs ou nuls, avec \(a_{1}a_n > 0\).

  1. Quel est le polynôme caractérique de \(A\) ?

  2. Montrer que \(A\) admet une unique valeur propre \(r>0\) et que l’on a \(r < 1 + \max(a_{1},\dots,a_n)\).

  3. Soit \(\lambda\) une valeur propre complexe de \(A\). Montrer que \(|\lambda | \leq r\) et \(|\lambda |=r \Rightarrow \lambda =r\).

  4. Montrer qu’il existe un entier \(k\) tel que \(A^k\) a tous ses coefficients strictement positifs.

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