Divers

Vérifier que \(A\) est un anneau intègre. Quels sont les éléments de \(A\) inversibles ?

Soit \(I_k =\{ a=(a_n)\in A\text{ tq }a_0=\dots=a_k = 0\}\). Montrer que les idéaux de \(A\) sont \(\{ 0\}\), \(A\) et les \(I_k\), \(k\in \mathbb{N}\).

Soit \(f(x) = 2-\sqrt {\dfrac{1-2x}{1-x}}\). Montrer que \(f\) est développable en série entière sur \(]-\frac12,\frac12[\) et que si \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty u_nx^n\) alors la suite \((u_n)\) vérifie la relation de récurrence : \(2u_{n+1} = 1 + \sum_{k=1}^n u_ku_{n+1-k}\).

Soit \(a=(a_n)\in A\) avec \(a_0=1\) et \(|a_n|\leq 1\) pour tout \(n\). Montrer qu’il existe une unique suite \(b=(b_n)\in A\) telle que \(b_0 = 1\) et \(b*b = a\). Pour prouver que le rayon de convergence de \(b\) est non nul on établira par récurrence que \(|b_n| \leq u_n\).

Pour \(a\in A\) quelconque, étudier l’équation \(b*b = a\) d’inconnue \(b\in A\).

Soit \(\varphi (z) = \sum_{n\in \mathbb{N}}a_nz^n\) une série entière de rayon \(R\geq 1\) et \(r\in {]0,1[}\). Montrer que \[a_n = \dfrac1{2\pi r^n }\int _{\theta =0}^{2\pi }\varphi (re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta .\]

Soit \(E\) l’ensemble des fonctions de \(\overline D\) dans \(\mathbb{C}\) continues et dont la restriction à \(D\) est somme d’une série entière. Montrer que \(f\mapsto \left\|f\right\| = \sup\{ |f(z)|,\ z\in \overline D\}\) définit une norme sur \(E\) et que pour cette norme \(E\) est complet.

Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients complexes est dense dans \(E\).

Soit \(0\leq r<R\). Calculer en fonction de \(a_n,r\) et \(n\) l’intégrale \(\int _{\theta =0}^{2\pi }f(re^{i\theta })e^{-in\theta }\,d \theta\).