Analycité

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Exercice

Formules de Cauchy **

13 mars 2024 22:31 — Par Michel Quercia

Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{C}\) contenant \(0\) et \(f:U\to \mathbb{C}\) analytique. On note \(\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) le développement en série entière de \(f\) en \(0\), \(R\) son rayon et \(d\) la distance de \(0\) à \(\mathop{\rm fr}\nolimits(U)\) (\(d=+\infty\) si \(U=\mathbb{C}\)).

  1. Montrer, pour \(0<r<\min(R,d)\) et \(n\in \mathbb{N}\) : \(a_n = \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{r^n e^{in\theta }}\,d \theta\).

  2. Pour \(0<r<d\) et \(|z|<r\) on pose \(g(z)= \dfrac1{2\pi }\int _{\theta =0}^{2\pi }\dfrac{f(re^{i\theta })}{re^{i\theta }-z}re^{i\theta }\,d \theta\). Montrer que \(g\) est la somme d’une série entière de rayon supérieur ou égal à \(r\) et que \(g\) coïncide avec \(f\) sur \(\overset{\circ}{D} (0,r)\).

    Applications :

  3. \(R\geq d\).

  4. Si \(U=\mathbb{C}\) et \(f\) est bornée alors \(f\) est constante (thm de Liouville).

  5. Si \(P\in \mathbb{C}[X]\) ne s’annule pas alors \(P\) est constant (thm de d’Alembert-Gauss).

  6. Si \((f_n)\) est une suite de fonctions analytiques convergeant uniformément sur \(U\) vers une fonction \(f\) alors \(f\) est analytique sur \(U\) (thm de Weierstrass, comparer avec le cas réel).

  7. La composée de deux fonctions analytiques est analytique.

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