Etudes au bord

Dans le dossier «Etudes au bord»

Les exercices

$\bullet$Étude sur le cercle de convergence **
$\bullet$Coefficients équivalents \(\Rightarrow\) séries équivalentes **
$\bullet$Produit de Cauchy **
$\bullet$Produit de Cauchy **
$\bullet$CCP 2015 ** CCP
$\bullet$Mines 2017 ** Mines-Ponts
$\bullet$Mines 2017 ** Mines-Ponts

Exercices dans ce dossier

Étude sur le cercle de convergence **

13 mars 2024 22:13 — Par Michel Quercia

Pour \(x\in \mathbb{R}\) on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n \sin\dfrac1{\sqrt n}\).

Déterminer le rayon de convergence, \(R\), de cette série.
Étudier la convergence de \(f\) pour \(x = \pm R\).
Déterminer \(\lim_{x\to R^-} f(x)\).

Coefficients équivalents \(\Rightarrow\) séries équivalentes **

13 mars 2024 22:13 — Par Michel Quercia

Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière \(A(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) est 1 et que la série diverge pour \(x = 1\).

Montrer que \(A(x) \to _{x\to 1^-}+\infty\).
Soit \((b_n)\) une suite telle que \(b_n \sim a_n\) et \(B(x) = \sum_{n=0}^\infty b_nx^n\). Montrer que \(B(x) \sim A(x)\) pour \(x\to 1^-\).

Produit de Cauchy **

13 mars 2024 22:13 — Par Michel Quercia

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite \((b_n)\). Montrer que si les trois séries \(\sum a_n\), \(\sum b_n\) et \(\sum c_n\) convergent vers \(A\),\(B\),\(C\), alors \(C = AB\) (considérer les séries entières \(\sum a_nz^n\), \(\sum b_nz^n\) et \(\sum c_nz^n\)).

Produit de Cauchy **

13 mars 2024 22:13 — Par Michel Quercia

Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite \((b_n)\). On suppose que la série \(A(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) a un rayon \(R > 0\) et que \(b_n/b_{n+1} \to _{n\to \infty }\lambda\) avec \(|\lambda | < R\). Montrer que \(c_n/b_n\to _{n\to \infty }A(\lambda )\).

CCP 2015 ** CCP

13 mars 2024 22:13 — Par Michel Quercia

On considère la série de fonctions \(\sum(-1)^n \ln(n) x^n\).

Donner le rayon de convergence de cette série entière.
On note \(S\) sa somme. Montrer que, pour tout \(x\in {]-1,1[}\), \[S(x)=\dfrac{1}{1+x}\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \ln(1+\dfrac{1}{n})x^{n+1}.\]
En déduire que \(S\) a une limite en \(1^-\) et la calculer.

Mines 2017 ** Mines-Ponts

13 mars 2024 22:13 — Par Michel Quercia

Domaine de définition et équivalent quand \(x\to 1^-\) de \(f(x)=\sum_{n=1}^\infty x^{n^2 }\).

Mines 2017 ** Mines-Ponts

13 mars 2024 22:13 — Par Michel Quercia

Soit \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite réelle dont la série converge.

Donner le domaine de convergence de la série entière \(\sum_{n=0}^\infty \dfrac{a_nx^n}{n!}\). On note \(f\) la fonction associée à la somme de cette série.
Soit \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite réelle telle que \(s_n\to _{n\to \infty }l \in \mathbb{R}\). On note, sous-réserve d’existence et pour \(x\in \mathbb{R}\), \(S(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{s_nx^n}{n!}\). Montrer que \(S(x)e^{-x}\to _{x\to +\infty }l\). Indication : se ramener au cas \(l =0\).
Montrer que l’intégrale \(\int _{t=0}^{+\infty }f(t)e^{-t}\,d t\) converge et vaut \(\sum_{n=0}^\infty a_n\). Indication : poser \(s_n=\sum_{k=0}^{n-1}a_k\) et dériver \(S(x)e^{-x}\).
A-t-on une réciproque au résultat précédent ?

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