Calculs de somme de séries entières

Développer en série entière les fonctions suivantes :

Développer en série entière : \(\ln(\sqrt {1-2x\mathop{\rm ch}\nolimits a + x^2 })\).

Développer en série entière \(\dfrac{e^x}{1-x}\) puis \(\dfrac{e^{x^2 }}{1-x}\).

Développer en série entière \(f(x) = \sqrt {x+\sqrt {1+x^2 }}\).

Développer \(f(x) = \dfrac x{1-x-x^2 }\) en série entière en utilisant la relation : \((1-x-x^2 )f(x) = x\).

Quel est le coefficient de \(x^n\) dans \(\Bigl(1+x+\dots+x^n \Bigr) \Bigl(1+2x+\dots+(n+1)x^n \Bigr) \Bigl(1+4x+\dots+(n+1)^2 x^n \Bigr)\) ?

Calculer les sommes des séries suivantes :

On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par : \(u_0 = 1\), \(v_0 = 0\), \(u_{n+1} = u_n + 2v_n\), \(v_{n+1} = u_n+v_n\).

Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière \(\sum_{n=0}^\infty u_nx^n\).

Soit \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&0\\\end{pmatrix} \in \mathcal M _3(\mathbb{R})\).

Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty } \dfrac{(-1)^n }{3n+1}\).

Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré \(p\).

Calculer \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n\theta }{2^n }\) et \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\cos n\theta }{n2^n }\).

Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \(\sum_{k=0}^n \dfrac{u_{n-k}}{k!}=1\). Trouver la limite de \((u_n)\).

Soit \(q \in {]-1,1[}\) et \(f(x) = \prod _{n=1}^\infty (1-q^n x)\).

Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2 ix}\). Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) mais n’est pas développable en série entière autour de \(0\).

Soit \(\alpha >0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : \(x\mapsto \sum_{n=1}^\infty e^{-n^\alpha }e^{inx}\). Montrer que \(f\) est \(\mathcal C ^\infty\). Donner une CNS sur \(\alpha\) pour que \(f\) soit développable en série entière en tout point de \(\mathbb{R}\).

Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^\infty\) telle que pour tout entier \(n\) on ait \(f^{(n)}(0) = n!\,a_n\). Soit \(\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal C ^\infty\) vérifiant : \(\forall x\in {[-1,1]}\), \(\varphi (x)=1\) et \(\forall x\not\in {[-2,2]}\), \(\varphi (x)=0\) (l’existence de \(\varphi\) fait l’objet de la question 2). On pose \(\varphi _n(x) = x^n \varphi (x)\), \(M_n = \max(\left\|\varphi _n'\right\|_\infty ,\dots,\left\|\varphi _n^{(n)}\right\|_\infty )\) et \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \varphi (\lambda _nx)\) où \((\lambda _n)\) est une suite de réels strictement positifs, tendant vers \(+\infty\) et telle que \(\sum |a_n|M_n/\lambda _n\) converge.