Calculs de rayon de convergence

Les séries \(\sum a_nz^n\) et \(\sum(-1)^n a_nz^n\) ont même rayon de convergence.

Les séries \(\sum a_nz^n\) et \(\sum(-1)^n a_nz^n\) ont même domaine de convergence.

Si la série \(\sum a_nz^n\) a un rayon de convergence infini, alors elle converge uniformément sur \(\mathbb{R}\).

Si \(\sum a_nx^n\) a un rayon de convergence fini \(R > 0\), alors sa somme admet une limite infinie en \((-R)_{+}\) ou en \(R^-\).

Si \(f(x) = \sum a_nx^n\) a un rayon de convergence infini et si les \(a_n\) sont strictement positifs, alors pour tout entier \(p\), \(\dfrac{f(x)}{x^p} \to _{x\to +\infty }+\infty\).

\(a_n \to _{n\to \infty }l \neq 0\).

\((a_n)\) est périodique non nulle.

\(a_n = \sum_{d|n} d^2\).

\(a_n = n^n /n!\).

\(a_{2n} = a^n\), \(a_{2n+1} = b^n\), \(0<a<b\).

\(a_{n^2 } = n!\), \(a_k = 0\) si \(\sqrt k\not\in \mathbb{N}\).

\(a_n = (\ln n)^{-\ln n}\).

\(a_n = e^{\sqrt n}\).

\(a_n = \dfrac{1.4.7\dots(3n-2)}{n!}\).

\(a_n = \dfrac1{\sqrt n^{\sqrt n}}\).

\(a_n = \left(1+\dfrac12+\dots+\dfrac1n\right)^{\ln n}\).

\(a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n\),

\(a_0=a_1=1\).

\(a_n = \binom{kn}{n}\).

\(a_n = e^{(n+1)^2 } - e^{(n-1)^2 }\).

\(a_n = \int _{t=0}^1 (1+t^2 )^n \,d t\).

\(a_n=\root n\of n-\root{n+1}\of{n+1}\).

\(a_n=\dfrac{\cos n\theta }{\sqrt n+(-1)^n }\).

Déterminer les rayons de convergence des séries \(\sum a_nx^n\) et \(\sum b_nx^n\).

Déterminer la nature de \(\sum a_nx^n\) et \(\sum b_nx^n\) en fonction de \(x\).

\(\sum a_n^2 z^n\).

\(\sum\dfrac {a_n}{n!} z^n\).

\(\sum\dfrac{n!\,a_n}{n^n }z^n\).

Prouver l’existence et l’unicité des coefficients \(b_n\).

Quel est le rayon de convergence de \(b(z)\) ?

Déterminer le domaine de convergence de la série \(\sum_{n=0}^\infty u_n(x)\).

On développe \(u_n(x)\) par la formule du binôme : \(u_n(x) = \sum_{4^n \leq k \leq 2.4^n }a_kx^k\). Montrer que le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{k\geq 1}a_kx^k\) est égal à \(1\) (en convenant que les \(a_k\) non définis valent zéro).