Corps

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Corps
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Exercices dans ce dossier

Exercice

Exercice 1536 *

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On définit sur \(\mathbb{R}\) les deux lois \(\oplus\) et \(\otimes\) par \(x \oplus y = x + y-1\) et \(x \otimes y = x + y-xy\). Montrer que \((\mathbb{R}, \oplus, \otimes)\) est un corps.
Exercice

Exercice 1537 *

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour \(\left(a,b\right)\in \mathbb{R}^2\), on pose : \[a\top b=a+b-1 \quad \textrm{ et} \quad a\star b = ab-a-b+2\] Montrer que \(\left(\mathbb{R},\top,\star\right)\) est un corps.
Exercice

Exercice 1538

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\mathbb K\) et \(\mathbb L\) deux corps et \(f\! : \mathbb K \mapsto \mathbb L\) un morphisme de corps. Démontrer que \(f\) est injectif.
Exercice

Corps à \(4\) éléments ***

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On se propose de construire un corps \((\mathbb F_4,+,\times)\) sur un ensemble à quatre éléments :\(\{0,1,x,y\}\).

  1. En calculant \(1\times x\times y\) de deux façons différentes, démontrer que \(x^3 = 1\).

  2. Démontrer que nécessairement \(x^2 = y\) et que \(y^2 = x\).

  3. En déduire la table du groupe \((\mathbb F_4^\star,\times)\).

  4. Démontrer que nécessairement \(1+1+1+1 = 0\).

  5. En déduire que \(1+1 = x+x = y+y = 0\).

  6. En déduire la table du groupe \((\mathbb F_4,+)\).

  7. Démontrer que l’on a bien construit un corps à quatre éléments.
Exercice

Corps \(\mathbb F_4\) **

12 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

Chercher les structures de corps à quatre éléments.
Exercice

Groupe multiplicatif d’un corps fini **

12 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

Soit \(\mathbb{K}\) un corps fini. Pour \(x\in \mathbb{K}^*\) on note \(O(x)\) l’ordre multiplicatif de \(x\) et \(n\) le ppcm des ordres des éléments de \(\mathbb{K}^*\).

  1. Soient \(a,b\in \mathbb{N}^*\). Montrer qu’il existe \(a',b'\in \mathbb{N}^*\) tels que \(a'|a\), \(b'|b\), \(a'\wedge b' = 1\) et \(a'b' = a\vee b\).

  2. Soient \(x,y\in \mathbb{K}^*\) d’ordres \(a\) et \(b\). Montrer qu’il existe \(u,v\) entiers tels que \(O(x^uy^v) = a\vee b\). En déduire qu’il existe \(z\in \mathbb{K}^*\) d’ordre \(n\).

  3. Montrer que \(n=\mathop{\rm card}\nolimits(\mathbb{K}^*)\) (ceci prouve que \(\mathbb{K}^*\) est cyclique).
Exercice

Groupe multiplicatif d’un corps fini **

12 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

Soit \(\mathbb{K}\) un corps fini de cardinal \(n\). Si \(a,b\in \mathbb{N}\) sont tels que \(ab = n-1\), on considère l’application \[f_a : \mathbb{K}^* \rightarrow \mathbb{K}^*, x \mapsto x^a\] (remarquer que \(f_a\) est un morphisme de groupe). On note \(N_a = \mathop{\rm card}\nolimits(\mathop{\rm Ker}\nolimits f_a)\).

  1. Expliquer pourquoi \(N_a \leq a\).

  2. Montrer que \(\mathop{\rm Im}\nolimits(f_a) \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits f_b\). En déduire que \(N_a = a\) et \(N_b=b\).

  3. Soit \(\varphi\) l’indicateur d’Euler. Montrer par récurrence sur \(a\), diviseur de \(n-1\), que le nombre d’éléments de \(\mathbb{K}^*\) d’ordre \(a\) est égal à \(\varphi (a)\) (ceci prouve que \(\mathbb{K}^*\) est cyclique).
Exercice

Théorème de Wedderburn **

12 mars 2024 09:19 — Par Michel Quercia

On dit qu’un anneau \(A\) est un anneau à division si \(A^*=A\setminus \{ 0\}\). L’objet de l’exercice est de démontrer le théorème de Wedderburn : tout anneau à division fini est commutatif (c’est donc un corps fini).

  1. Polynômes cyclotomiques

    Pour \(n\in \mathbb{N}^*\), soit \(\mathcal P _n\) l’ensemble des racines primitives \(n\)-èmes de l’unité dans \(\mathbb{C}\) et \(\Phi_n(X)=\prod _{\zeta \in \mathcal P _n}(X-\zeta )\) (\(\mathcal P _{1}=\{ 1\}\), \(\Phi_{1}(X)=X-1\))

    1. Démontrer : \(X^n -1 = \prod _{d|n} \Phi_d(X)\). En déduire que \(\Phi_n\in \mathbb{Z}[X]\).

    2. Montrer que si \(m\) divise \(n\) et \(m<n\) alors \(\Phi_n(X)\) divise \((X^n -1)/(X^m-1)\) dans \(\mathbb{Z}[X]\).

    3. Justifier : \(\forall p\in \mathbb{N}^*\), \(|\Phi_n(p)|\geq (p-1)^{\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal P _n)}\) avec égalité si et seulement si \(n=1\).

  2. Cardinal d’un anneau à division

    Soient \(A\) un anneau fini à division et \(B\) un sous-anneau de \(A\). On note \(\alpha ,\beta\) les cardinaux de \(A,B\).

    1. Montrer que \(B\) est aussi un anneau à division.

    2. Pour \(x\in A\), on note \(Bx=\{ bx \text{ tq }b\in B\}\) et on considère une famille \((x_{1},\dots,x_n)\) de cardinal minimal telle que \(A=Bx_{1}+\dots+Bx_n\). Justifier l’existence d’une telle famille et montrer que l’application \[\Phi : Bx_{1}\times \dots\times Bx_n \rightarrow A, (y_{1},\dots,y_n) \mapsto y_{1}+\dots+y_n\] est une bijection.

    3. En déduire que \(\alpha\) est une puissance de \(\beta\).

  3. Théorème de Wedderburn

    Soit \(A\) un anneau à division, \(B\) son centre et \(\alpha ,\beta\) les cardinaux de \(A,B\). Pour \(a\in A^*\), on note \(\mathcal C _a\) le commutant de \(a\) et \(\mathcal O _a=\{ xax^{-1} \text{ tq }x\in A^*\}\).

    1. Montrer que \(\mathcal C _a\) est un anneau à division et qu’il existe des entiers \(m,n\) tels que : \(\alpha =\beta ^n\), \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal C _a)=\beta ^m\) et \(m\) divise \(n\).

    2. Montrer que \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal O _a)=\mathop{\rm card}\nolimits(A^*)/\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal C _a^*)\). En déduire que si \(a\not\in B\) alors \(\Phi_n(\beta )\) divise \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathcal O _a)\).

    3. Pour \(a,b\in A\), montrer que \(\mathcal O _a\) et \(\mathcal O _b\) sont soit disjoints, soit égaux. En déduire qu’il existe une partition de \(A^*\) de la forme \(A^*=\mathcal O _{a_{1}}\sqcup \dots\sqcup \mathcal O _{a_k}\).

    4. Montrer que \(\Phi_n(\beta )\) divise \(\mathop{\rm card}\nolimits(B^*)=\beta -1\) puis que \(n=1\) (et donc \(A=B\), ce qui prouve la commutativité de \(A\)).

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