Corps

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Exercice 1536 *

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On définit sur \(\mathbb{R}\) les deux lois \(\oplus\) et \(\otimes\) par \(x \oplus y = x + y-1\) et \(x \otimes y = x + y-xy\). Montrer que \((\mathbb{R}, \oplus, \otimes)\) est un corps.

Exercice 1537 *

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour \(\left(a,b\right)\in \mathbb{R}^2\), on pose : \[a\top b=a+b-1 \quad \textrm{ et} \quad a\star b = ab-a-b+2\] Montrer que \(\left(\mathbb{R},\top,\star\right)\) est un corps.

Exercice 1538

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\mathbb K\) et \(\mathbb L\) deux corps et \(f\! : \mathbb K \mapsto \mathbb L\) un morphisme de corps. Démontrer que \(f\) est injectif.

Corps à \(4\) éléments ***

18 novembre 2022 15:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On se propose de construire un corps \((\mathbb F_4,+,\times)\) sur un ensemble à quatre éléments :\(\{0,1,x,y\}\).

En calculant \(1\times x\times y\) de deux façons différentes, démontrer que \(x^3 = 1\).
Démontrer que nécessairement \(x^2 = y\) et que \(y^2 = x\).
En déduire la table du groupe \((\mathbb F_4^\star,\times)\).
Démontrer que nécessairement \(1+1+1+1 = 0\).
En déduire que \(1+1 = x+x = y+y = 0\).
En déduire la table du groupe \((\mathbb F_4,+)\).
Démontrer que l’on a bien construit un corps à quatre éléments.

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