Morphisme de groupe

Dans le dossier «Morphisme de groupe»

Morphisme de groupe

Les exercices

$\bullet$Exercice 1528 *
$\bullet$Exercice 1529 *
$\bullet$Exercice 1530 *
$\bullet$Exercice 1531 *
$\bullet$Quelques morphismes bien connus *
$\bullet$Exercice 1533 *
$\bullet$Exercice 1534 **
$\bullet$Exercice 1535 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 1528 *

18 novembre 2022 15:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & x^n \end{array} \right.\). Montrer que \(f\) est un endomorphisme du groupe \(\left(\mathbb{R}^*,\times\right)\). Déterminer son image et son noyau.

Exercice 1529 *

18 novembre 2022 15:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\left(G,\times\right)\) un groupe (noté multiplicativement). Pour \(a\in G\), soit \(\tau_a: \left\{ \begin{array}{ccl} G & \longrightarrow & G \\ x & \longmapsto & axa^{-1} \end{array} \right.\).

Montrer que \(\tau_a\) est un endomorphisme du groupe \(\left(G,\times\right)\).
Vérifier que \(\forall \left(a,b\right)\in G^2,\quad \tau_a \circ \tau_b = \tau_{ab}\).
Montrer que \(\tau_a\) est bijective et déterminer son application réciproque.
En déduire que \(\mathscr T=\left\{\tau_a ~|~ a\in G\right\}\) muni du produit de composition est un groupe.

Exercice 1530 *

18 novembre 2022 15:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que la composition de deux morphismes de groupe est un morphisme de groupe.

Exercice 1531 *

18 novembre 2022 15:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:{\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{C}}^*\) l’application qui à tout \(x\in {\mathbb{R}}\) associe \(e^{ix}\in {\mathbb{C}}^*\). Montrer que \(f\) est un morphisme de groupes. Calculer son noyau et son image. L’application \(f\) est-elle injective ?

Quelques morphismes bien connus *

18 novembre 2022 15:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Traduire en termes de morphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes :

\(\ln(xy)=\ln x+\ln y\) ;
\(|{zz'}|=|{z}||{z'}|\) ;
\((xy)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}=x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}y^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\) ;
\(e^{z+z'}= e^{z}e^{z'}\) ;
\(\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{ z'}\).
\(\overline{zz'}=\overline{z}\overline{ z'}\).

Exercice 1533 *

18 novembre 2022 15:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un groupe \((G, .)\). Montrer que l’application \(f:\left\{ \begin{array}{ccl} G & \longrightarrow & G \\ x & \longmapsto & x^{-1} \end{array} \right.\) est un isomorphisme de groupes si et seulement si le groupe \(G\) est commutatif.

Exercice 1534 **

18 novembre 2022 15:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère deux groupes \(G\) et \(G'\) et une application \(\varphi: G \mapsto G'\). On définit l’ensemble \[H = \left\{\bigl(x, \varphi(x)\bigr) ~|~ x \in G\right\}\] Montrer l’équivalence \[\underset{(i)}{\bigl( \varphi\textrm{ morphisme } \bigr)} \Longleftrightarrow \underset{(ii)}{\bigl( H \textrm{ sous-groupe de } G \times G' \bigr)}\]

Exercice 1535 ***

18 novembre 2022 15:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer tous les morphismes de groupes de \((\mathbb{Q}^{,} +)\) vers \((\mathbb{Z} , +)\).

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