Sous-groupes

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Réseau de \(\mathbb{C}\) *

18 novembre 2022 15:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(\omega\in\mathbb{C}\) et \(H=\left\{a+\omega b~|~\left(a,b\right)\in \mathbb{Z}^2\right\}\). Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(\left(\mathbb{C},+\right)\).

Exercice 1523 *

18 novembre 2022 15:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(a\in\mathbb{C}^*\) et \(H=\left\{a^n ~|~ n\in\mathbb{Z}\right\}\). Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(\left(C^*,\times\right)\).

Exercice 1524 *

18 novembre 2022 15:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit un ensemble \(E\) non-vide et un élément \(a\in E\). On note \[G=\{ f\in \mathfrak S\left(E\right)~|~ f(a)=a \}\] (c’est l’ensemble des bijections de \(G\) laissant invariant l’élément \(a\)). Montrer que \((G,\circ)\) est un groupe.

Centre d’un groupe *

18 novembre 2022 15:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((G,.)\) un groupe. On note \[C=\{ x\in G \mid \forall g\in G,~ g.x= x.g\}\] C’est l’ensemble des éléments de \(G\) qui commutent avec tous les éléments de \(G\). Montrer que \((C,.)\) est un sous-groupe de \(G\) (appelé centre du groupe \(G\)).

Exercice 1526 **

18 novembre 2022 15:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Les questions sont indépendantes. Soit \(j\) le nombre complexe \(e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\).

Déterminer le sous-groupe du groupe additif \(\mathbb{C}\) engendré par \(i\) et \(j\).
Déterminer le sous-groupe du groupe multiplicatif \(\mathbb{C}^{\ast}\) engendré par \(i\) et \(j\).

Exercice 1527 **

18 novembre 2022 15:45 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((G,\times)\) un groupe, \(F_1\) et \(F_2\) deux sous-groupes de \(G\).

On suppose que \(F = F_1 \cup F_2\) est aussi un sous-groupe de \(G\). Démontrer que \[F_1 \subset F_2 \textrm { ou } F_2 \subset F_1.\]

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