Groupes

Dans le dossier «Groupes»

Les exercices

$\bullet$Exercice 1498 *
$\bullet$Groupe des vitesses en relativité restreinte *
$\bullet$Groupe de Klein *
$\bullet$Exercice 1501 *
$\bullet$Exercice 1502 *
$\bullet$Exercice 1503 *
$\bullet$Exercice 1504 *
$\bullet$Exercice 1505 *
$\bullet$Exercice 1506 *
$\bullet$Exercice 1507 *
$\bullet$Exercice 1508 *
$\bullet$Exercice 1509 *
$\bullet$Exercice 1510 *
$\bullet$Exercice 1511 *
$\bullet$Exercice 1512 **
$\bullet$Exercice 1513 **
$\bullet$Exercice 1514 **
$\bullet$Exercice 1515 **
$\bullet$Exercice 1516 **
$\bullet$Exercice 1517 **
$\bullet$Exercice 1518 **
$\bullet$Exercice 1519 ***
$\bullet$Théorème de Lagrange ***
$\bullet$Exercice 1521 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 1498 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soient \({G=\mathbb{R}^*\times \mathbb{R}}\) et \(\star\) la loi de composition interne définie sur \(G\) par \[\left(x,y\right)\star \left(x',y'\right)=\left(xx',xy'+y\right)\]

Montrer que \(\left(G,\star\right)\) est un groupe.
Montrer que \(\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R}\) est un sous-groupe de \(\left(G,\star\right)\).

Groupe des vitesses en relativité restreinte *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \(G=\left]-1,1\right[\). On définit sur \(G\) une loi \(\star\) par \[\forall \left(x,y\right)\in G^2, \quad x\star y = {\scriptstyle x+y\over\scriptstyle 1+xy}.\] Montrer que \(\left(G,\star\right)\) est un groupe abélien.

Groupe de Klein *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soient les quatre fonctions de \(\mathbb{R}^*\) dans \(\mathbb{R}^*\) \[f_1 (x) = x \qquad f_2 (x) = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \qquad f_3 (x) = -x \qquad f_4 (x) = -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\] Montrer que \(G = \left\{ f_1, f_2, f_3, f_4\right\}\) est un groupe pour la loi \(\circ\).

Exercice 1501 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ?

\(C = \{z\in\mathbb{C}:{|z|}=2\}\) pour la multiplication usuelle ;
\(\mathbb{R}_+\) pour la multiplication usuelle;
\(\left\{x\in\mathbb{R}\mapsto ax+b : a\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\},b\in\mathbb{R}\right\}\) pour la loi de composition des applications.

Exercice 1502 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

L’ensemble \(E=\left\{-1,1,i,-i \right\}\subseteq \mathbb{C}\) muni de la loi usuelle de multiplication dans \(\mathbb{C}\) est-il un groupe ?

Exercice 1503 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soient \((G, \star)\) et \((H, \triangle)\) deux groupes. On définit sur \(G \times H\) la loi \(\heartsuit\) par \((x, y) \heartsuit (x', y') = (x \star x', y \triangle y')\).

Montrer que \((G \times H, \heartsuit)\) est un groupe.
Si \(G\) est de cardinal 2, dresser la table de \(G \times G\) et la reconnaı̂tre parmi les exemples des exercices précédents.

Exercice 1504 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Montrer qu’un groupe \((G, .)\) tel que \(\forall x\in G\), \(x^{2}=e\) est commutatif.

Exercice 1505 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \[G=\{ f\in \mathcal{F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} ) ~|~ \forall n\in \mathbb N, f(n)=0 \}\] Montrer que \((G,+)\) est un groupe.

Exercice 1506 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \(E=\left\{ f\in {\cal F}(\mathbb{R} ,\mathbb{R} )~|~ \forall n\in \mathbb{Z} , f(n)=0\right\}\). On munit \(E\) de la loi \(+\) d’addition des fonctions d’une variable réelle. Montrer que \((E,+)\) est un groupe.

Exercice 1507 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \((G, .)\) un groupe. On suppose que \[\forall (a, b) \in G^2~|~ (ab)^2 = a^2 b^2\] Montrer que \(G\) est un groupe commutatif.

Exercice 1508 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \((G, .)\) un groupe commutatif d’élément neutre \(e\). Soit \(n\in \mathbb N\). On pose \[B = \{ a \in G~|~ a^n = e \}\] Montrer que \(B\) est un sous-groupe de \(G\).

Exercice 1509 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \((G, .)\) un groupe commutatif d’élément neutre \(e\). On pose \[B = \{ a \in G~|~ \exists n \in \mathbb{N}^{\star}, a^n = e \}\] Montrer que \(B\) est un sous-groupe de \(G\).

Exercice 1510 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Si \((a, b) \in \mathbb{R}^*\times \mathbb{R}\), on note \[t_{a,b} : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & ax+b \end{array} \right.\] Soit \[G = \{ t_{a, b}~|~ (a, b) \in \mathbb{R}^*\times \mathbb{R} \}\]

Montrer que \((G, \circ)\) est un groupe.
Soit \[H = \{ t_{1, b}~|~ b \in \mathbb{R} \}\] Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(G\), isomorphe au groupe \((\mathbb{R} , +)\).

Exercice 1511 *

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \((G, .)\) un groupe et \(E\) un ensemble. Soit \(f : E \mapsto G\) une bijection. On définit sur \(E\) la loi de composition interne suivante : \[\forall (x, y) \in E^2, \quad x \star y = f^{-1}(f(x) . f(y))\] Montrer que \((E, \star)\) est un groupe, puis que \(f\) est un isomorphisme de groupes.

Exercice 1512 **

18 novembre 2022 15:41 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit un ensemble \(E\) non-vide muni d’une loi de composition interne \(\star\) associative telle que : \[\forall (a,b)\in E^2, \quad\exists (x,y)\in E^2 :\quad b=a\star x=y\star a\] Montrer que \((E,\star)\) est un groupe.

Pour trouver un élément neutre, considérer \(a=b=a_1\), ce qui donne l’existence de \((e,f)\in E^2\) vérifiant la propriété de l’énoncé. Considérer ensuite \(b\in E\), et montrer que \(b\star e = b\), \(f\star b=b\). Montrer ensuite que \(e=f\).

Exercice 1513 **

18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \((G, .)\) un groupe abélien et \(S\subset G\) une partie de \(G\) non-vide et stable. On définit \[S^{\star} = \{ x.y^{-1}~|~ (x, y) \in S^2 \}.\] Montrer que \(S^{\star}\) est un sous-groupe de \(G\).

Exercice 1514 **

18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \(E\) un ensemble. On munit \(\mathcal{P}(E)\) de la loi de composition interne \(A\triangle B\) (différence symétrique). Montrer que \((\mathcal{P}(E),\triangle)\) est un groupe.

Exercice 1515 **

18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \((E,*)\) et \(e\in E\) tels que :
(i) \(\forall (x,y,z,t)\in E^4, (xy)(zt)=(xz)(ty)\)
(ii) \(\forall x \in E\), \(ex=x\)
(iii) \(\forall x \in E\), \(\exists x' \in E\): \(xx'=e\).
Montrer que \(*\) est commutative, associative, puis que \((E,*)\) est un groupe.

Exercice 1516 **

18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \((G,*)\) un groupe de cardinal fini et \(H\subset G\) une partie non-vide de \(G\) stable pour la loi \(*\). Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(G\).

Exercice 1517 **

18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

On considère le groupe \((\mathbb{R} , +)\) et \(A=\left\{ \dfrac{1}{n}~|~ n\in \mathbb{N}^{*}\right\}\). Trouver le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-groupe contenant la partie \(A\).

Exercice 1518 **

18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

On considère un groupe commutatif \((G, .)\). On dit qu’un sous-groupe \(H\) est distingué lorsque \(\forall g \in G\), \(\forall h \in H\), \(g.h.g^{-1} \in H\). Soient deux sous-groupes \(G_1\) et \(G_2\) distingués de \(G\). Montrer que l’ensemble \(G_1G_2 = \left\{g_1.g_2~|~(g_1,g_2) \in G_1 \times G_2 \right\}\) est un sous-groupe distingué.

Exercice 1519 ***

18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit un groupe \((G,.)\) et deux sous-groupes \(H\), \(K\) du groupe \(G\).
On note \[HK=\left\{ x\in G \mid \exists h\in H:\, \exists k\in K:\, x=hk\right\}\]

Soit \(x\in G\). Montrer que \[x\in HK \Longleftrightarrow x^{-1} \in KH\]
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) \(HK\) est un sous-groupe de \(G\).
(ii) \(KH\) est un sous-groupe de \(G\).
(iii) \(HK=KH\).

Il faut bien comprendre la signification des notations. Par exemple, \(HK=KH\) ne revient pas à dire que \(\forall (h,k)\in H\times K\), \(hk=kh\)!

Théorème de Lagrange ***

18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit \((G,.)\) un groupe de cardinal \(n\) et \(H\subset G\) un sous-groupe de \(G\) de cardinal \(p\). Pour \(a\in G\), on note \[aH=\{ ah; h\in H \}\]

Lorsque \(a\in H\), déterminer \(aH\).
Pour \((a,b)\in G^2\), montrer que \[aH\cap bH\neq \varnothing\Rightarrow aH=bH\]
En déduire que \(p\) divise \(n\).

Exercice 1521 ***

18 novembre 2022 15:42 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Christophe Antonini

Soit un groupe \((G, .)\) non commutatif d’élément neutre \(e\). On suppose qu’il existe deux éléments \((s, t) \in G^2\) vérifiant \(s^2 = t^2 = e\). On note \[\Gamma = \left\{ (st)^n~;~t.(st)^n~;~(st)^n.s~;~t.(st)^n.s~|~ n \in \mathbb N\right\}\] Montrer que \(\Gamma\) est un sous-groupe du groupe \(G\).

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