Loi de composition interne

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Loi de composition interne

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Exercices dans ce dossier

Exercice 1493 *

18 novembre 2022 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On définit une loi de composition interne \(\star\) sur \(\mathbb{R}\) par : \(\forall \left(a,b\right)\in \mathbb{R}^2,\quad a\star b = \ln\left(e^a+e^b\right)\). Quelles en sont les propriétés ? Possède-t-elle un élément neutre ? Y a-t-il des éléments réguliers ? (On dit qu’un élément \(a\) est régulier si pour tout \(\left(b,c\right)\in \mathbb{R}\), \(a\star b =a\star c \Rightarrow b=c\).

Exercice 1494 *

18 novembre 2022 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Sur l’ensemble \(\mathbb{Z}\), étudier les propriétés de la loi définie par : \[p\star q = p+q+pq\]

Montrer que \(\star\) est une loi de composition interne commutative et associative.
Montrer que \(\star\) possède un élément neutre.
Quels sont les éléments symétrisables? réguliers?
Est-ce que \((\mathbb{Z} ,\star)\) est un groupe ?
L’ensemble \(\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\) muni de la loi \(\star\) définie par \(\forall a,b\in \mathbb{R},a\star b=a+b+ab\) est-il un groupe ?

Exercice 1495 *

18 novembre 2022 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Sur \(\mathbb N\), étudier les lois définies par \(\forall(x,y)\in \mathbb{N}^{2}\), \[x\star y = \min(x,y)\] \[x\triangle y = \max(x,y)\]

Exercice 1496 **

18 novembre 2022 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\star\) une loi de composition interne sur un ensemble \(E\) vérifiant : \[\forall (x, y) \in E^2,~x\star (x\star y) = (y \star x) \star x = y.\] Montrer que la loi \(\star\) est commutative

Exercice 1497 ***

18 novembre 2022 15:38 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \((E,*)\) un ensemble fini muni d’une loi interne * associative.

Démontrer qu’il existe un élément \(x\) de \(E\) tel que \(x*x=x\).

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