Bézout, PGCD, PPCM

Calculer le pgcd des couples

Soient \(a,b\) des nombres premiers entre eux. Montrer que :

Trouver tous les couples d’entiers naturels \(\left(a,b\right)\in\mathbb{N}^2\) (\(a\leqslant b\)) tels que \(a\wedge b=18\) et \(a+b=360\).

Trouver tous les couples d’entiers naturels \(\left(a,b\right)\in\mathbb{N}^2\) (\(a\leqslant b\)) tels que \(a\wedge b=18\) et \(ab=126\).

Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \(1665x+1035y=45\).

exo_equ_diophantiennebezout_toutes_les_solutions On se donne trois entiers non nuls \((A, B, C) \in {\mathbb{Z}^*}^3\), et on considère l’équation diophantienne : \[(E)~:~ Ax + By = C\quad(x, y) \in \mathbb{Z}^{2}\] Résoudre cette équation consiste à déterminer l’ensemble des solutions \(\mathcal{S} = \{(x, y) \in \mathbb{Z}^{2} \mid Ax + By = C\}\).

Soient \(H_1\) et \(H_2\) deux sous-groupes du groupe \((\mathbb{Z} , +)\). On définit l’ensemble \[H_1 + H_2 = \{h_1 + h_2~|~(h_1, h_2) \in H_1 \times H_2 \}\]

Soient deux entiers non nuls \((n, m) \in \left(\mathbb{N}^*\right)^2\). On suppose que \(\sqrt[n]{m} \in \mathbb{Q}\). Montrez qu’alors \(\sqrt[n]{m} \in \mathbb{N}^*\).

Soient deux entiers non nuls \((a, b) \in {\mathbb{Z}^2}\). On note \(\delta = a\wedge b\) leur pgcd et \(\mu = a \vee b\) leur ppcm. Montrez que \[(a + b) \wedge \mu = \delta.\]

Trouver les couples d’entiers \((x, y) \in {\mathbb{N}^*}^2\) vérifiant \[11 x - 5y = 10 \textrm{ et } x \wedge y = 10.\]

Considérons deux entiers \((a, b) \in \left(\mathbb{Z}^*\right)^2\) premiers entre eux \(a \wedge b = 1\) et un couple de Bézout \((u_0, v_0) \in \mathbb{Z}^{2}\) tel que \(au_0 + bv_0 = 1\). Déterminer l’ensemble de tous les couples de Bézout \((u, v) \in \mathbb{Z}^{2}\) vérifiant \(au + bv = 1\).

Soient deux entiers non nuls \((a, b) \in \left(\mathbb{Z}^*\right)^2\) premiers entre eux. Montrez qu’il existe deux entiers \((u, v) \in \mathbb{Z}^{2}\) tels que \[au + bv = 1 \textrm{ et } \lvert u \rvert < \lvert b \rvert ,~ \lvert v \rvert \leqslant\lvert a \rvert .\]

Soient \(n\) entiers \((m_1,\dots, m_n) \in {\mathbb{N}^*}^n\) premiers deux à deux entre eux. On pose \(M = m_1\dots m_n\) et \(\forall i \in [1, n ]\), \(M_i = \dfrac{M}{m_i}\).

Soit un nombre premier \(p \in \mathcal{P}\). Montrer que \[(p-1)! \equiv -1 \; [ p ]\]

Soit un entier \(n\) dont la décomposition en facteurs premiers s’écrit \(n = p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}\). Déterminer l’ensemble des éléments nilpotents de l’anneau \((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} , +, \times)\).

On dit qu’une fraction \(m/n\) est basique si \(0< m < n\). Considérons les fractions basiques de dénominateur \(12\) : \[{\scriptstyle 0\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 4\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 5\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 6\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 7\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 8\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 9\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 10\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 11\over\scriptstyle 12}\] Après réduction, et en groupant ces fractions selon leurs dénominateurs, on obtient \[{\scriptstyle 0\over\scriptstyle 12}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3},{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}, {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 4}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6},{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 6}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 7\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 12}\] En s’inspirant de cette idée, montrer que pour tout entier \(m \geqslant 2\), \[\sum_{d / m} \varphi(d) = m\] où \(\varphi\) est l’indicateur d’Euler vu en TD.

Trouver le plus petit entier \(n \in \mathbb{N}^{\star}\) tel que le nombre \((\underbrace{1\dots 1}_{n \times } )_{10}\) soit divisible par \(49\).

Soit un entier \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer qu’il existe \((a_n,~b_n) \in \mathbb{Z}^{2}\) tels que \((1 + \sqrt{2})^n = a_n + \sqrt{2}b_n\). Montrer ensuite que les entiers \(a_n\) et \(b_n\) sont premiers entre eux.

Le but de cet exercice est de déterminer l’ensemble \(E\) des triplets \((x, y, z) \in \left(\mathbb{N}^{*}\right)^3\) vérifiant l’équation de Pythagore : \[x^2 + y^2 = z^2.\]

On appelle nombres de Fermat, les entiers de la forme \[F_n = 2^{2^n} + 1,\quad n \in \mathbb N.\]

suite_fibonacci On considère la suite de Fibonacci définie par \[u_0 = 0,~u_1 = 1,~ \textrm{ et } \forall n \in \mathbb N, u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\]