Divisibilité

Soit un entier \(n \geqslant 2\). Calculez la somme de tous les éléments de \(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\) : \[S = \sum_{x \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} } x\]

On considère un entier \(a \geqslant 1\), et le nombre \(n\) qui s’écrit \(n = (111111)_a\) en base \(a\). Montrez que \(n\) n’est pas premier.

Soit un entier \(n \geqslant 1\). Montrez que \(10\) divise \(2^{2^n} - 6\).

Résoudre dans \(\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}\) l’équation \[x^2 - x + 7 = 0\]

Trouver tous les entiers \(x \in \mathbb{Z}\) tels que \(x^2 + x + 1\) soit divisible par \(13\).

Déterminer le nombre de diviseurs de \(10!\)

Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l’équation \(x-1\mid x+3\).

Sachant que \(3285=25\times 123+210\) trouver, sans effectuer cette division, le reste et le quotient de la division euclidienne de \(3285\) par \(123\).

Prouver que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) est divisible par \(24\).

Montrer que \(\forall n\in\mathbb{N},\quad 6\mid 5n^3+n\).

On dit qu’une fraction \(m/n\) est basique si \(0< m < n\). Considérons les fractions basiques de dénominateur \(12\) : \[{\scriptstyle 0\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 4\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 5\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 6\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 7\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 8\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 9\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 10\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 11\over\scriptstyle 12}\] Après réduction, et en groupant ces fractions selon leurs dénominateurs, on obtient \[{\scriptstyle 0\over\scriptstyle 12}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3},{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}, {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 4}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6},{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 6}~;~{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 12}, {\scriptstyle 7\over\scriptstyle 12},{\scriptstyle 11\over\scriptstyle 12}\] En s’inspirant de cette idée, montrer que pour tout entier \(m \geqslant 2\), \[\sum_{d / m} \varphi(d) = m\] où \(\varphi\) est l’indicateur d’Euler vu en TD.