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Exercice

Inégalité de Bernstein (2) *

9 novembre 2022 23:16 — Par Patrice Lassère

[rms], 110-9/10.

  1. Montrer qu’un polynôme trigonométrique de degré \(n\) qui admet au moins \(2n+1\) racines distinctes dans l’intervalle \([0,2\pi[\) est identiquement nul.

  2. Soit \(f\) un polynôme trigonométrique de degré \(n\) à valeurs réelles. On suppose que \(f'(0)=\Vert f'\Vert_\infty>n\Vert f\Vert\) et on considère le polynôme trigonométrique \(g(x)=n^{-1}\Vert f'\Vert_\infty\sin(nx)-f(x)\).

    -Montrer que \(g\) admet au moins \(2n\) racines distinctes sur \([0,2\pi[\).

    -Montrer que \(g'\) admet au moins \(2n+1\) racines distinctes sur \([0,2\pi]\).

    -Montrer que \(g''\) admet au moins \(2n+1\) racines distinctes sur \([0,2\pi[\). Conclusion ?

  3. Soit \(f\) un polynôme trigonométrique de degré \(n\) à valeurs réelles. Montrer que \[\Vert f'\Vert_\infty\leq n\Vert f\Vert_\infty\qquad\text{(Inégalité de Bernstein)}.\]

Exercice

Une caractérisation de la convexité *

9 novembre 2022 23:16 — Par Patrice Lassère

(
[ney], exo. 1.8.3).

Soit \(f\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\) vérifiant l’inégalité de la moyenne suivante \[f(x)\leq \dfrac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}f(t)dt,\quad\forall\,x\in\mathbb R,\ h\in\mathbb R_+^\star.\] Montrer que

  1. Le maximum de \(f\) sur tout segment est atteint en une des extrémités.

  2. \(f\) est convexe.

Exercice

Séries de fourier et séries trigonométriques *

9 novembre 2022 23:16 — Par Patrice Lassère

  1. Soit \(f\in L^1([-\pi,\pi])\) une application \(2\pi\)-périodique. \((a_n)_n,(b_n)_n\) désignant ses coefficients de Fourier réels, montrer que pour tout \(x\in[0,2\pi]\) : \[\int_0^x\left( f(t)-\dfrac{a_0}{2}\right) dt=\sum_{n\geq 1}\dfrac{a_n\sin(nx)+b_n(1-\cos(nx))}{n}.\]

  2. Montrer que la série \(\sum_{n\geq 1}\dfrac{b_n}{n}\) converge.

  3. En déduire que la série trigonométrique \(\sum_{n\geq 2}\dfrac{\sin(nx)}{\log(n)}\) n’est la série de Fourier d’aucune fonction \(f\in L^1([-\pi,\pi])\).

  4. Soit \((a_n)_n\) une suite décroissante vers zéro vérifiant \[a_{n+1}\leq \dfrac{a_n+a_{n+2}}{2},\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] Montrer que la série trigonométrique \(\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n\geq 1}a_n\cos(nx)\) est la série de fourier d’une fonction \(f\in L^1([-\pi,\pi])\) positive.

  5. En déduire que la série trigonométrique \(\sum_{n\geq 2}\dfrac{\cos(nx)}{\log(n)}\) est la série de Fourier d’une telle fonction.

Exercice

Sur la topologie de la convergence simple *

9 novembre 2022 23:16 — Par Patrice Lassère

Soient \(X\) un ensemble, \((E,(\Vert.\Vert_i)_{i\in I})\) un espace localement convexe (e.l.c.). Sur l’ensemble \(\mathscr F(X,E)\) de toutes les applications de \(X\) dans \(E\), on considère la topologie d’e.l.c. définie par les semi-normes \[\Vert f\Vert_{i,x}=\Vert f(x)\Vert_i,\quad i\in I,\ x\in X.\]

  1. Montrer qu’une suite \((f_n)_n\subset\mathscr F(X,E)\) converge vers une application \(f\ :\ X\to E\) pour cette topologie si, et seulement si, elle converge simplement sur \(X\) vers \(f\). (On appelera donc topologie de la convergence simple cette topologie sur \(\mathscr F(X,E)\) que l’on désignera alors par \(\mathscr F_s(X,E)\)).

  2. Si \(E\) est séparé, montrer que \(\mathscr F_s(X,E)\) est séparé.

  3. Si \(E\) est métrisable et si \(E\neq\{0_E\}\), montrer que l’espace \(\mathscr F_s(X,E)\) est métrisable si, et seulement si, \(X\) est dénombrable.

  4. Si \(E\)est un espace de Fréchet (e.l.c. métrisable complet) et si \(X\) est dénombrable, montrer que \(\mathscr F_s(X,E)\) est un espace de Fréchet.

  5. Si \(E\) est un espace normé et si \(E\neq\{0_E\}\), montrer que l’espace \(\mathscr F_s(X,E)\) est normable si, et seulement si, \(X\) est fini.

  6. On suppose que \(E=\mathbb K (=\mathbb R\text{ où }\mathbb C)\) et on pose \(F=\mathscr F_s(X,\mathbb K)\).

    a)Si \(a\in\mathbb X\), montrer que la forme linéaire sur \(F\)\(\delta_a\ :\ f\mapsto f(a)\) est continue.

    b)Soit \(T\in F'\) une forme linéaire continue, montrer qu’il existe une partie finie \(A\subset X\) telle que \(T(f)=0\) dès que \(f\) est nulle sur \(A\).

    c)En déduire que les formes linéaires continues sur \(F\) sont de la forme \[T=\sum_{a\in A\in PF(X)}\ c_a\delta_a,\quad c_a\in\mathbb K.\]

  7. Un exemple.  On considère l’espace \(\mathbb K[[x]]\) des séries formelles à une indéterminée. Cet espace s’identifie de manière naturelle à \(\mathscr F(\mathbb N,\mathbb K)\) en associant à toute série formelle \(P=\sum_{n\in\mathbb N}a_n x^n\) la fonction \(n\mapsto a_n\). On peut donc définir sur l’espace \(\mathbb K[[x]]\) la topologie de la convergence simple, on le note alors \(\mathbb K_s[[x]]\).

    a)Montrer que l’espace \(\mathbb K_s[[x]]\) possède la propriété de Montel.

    b)Soit \(Q=\sum_{n=0}^N b_nx^n\) un polynôme. Montrer que l’application \[\mathbb K_s[[x]]\ni P\mapsto \langle P,Q\rangle = \sum_{n=0}^N a_nb_n\] est une forme linéaire continue sur \(\mathbb K_s[[x]]\) et que l’on obtient ainsi toutes les formes linéaires continues.

    c)Montrer que le sous-espace vectoriel \(\mathbb K[x]\) des polynômes est dense dans \(\mathbb K_s[[x]]\) et que les formes linéaires sur ce sous-espace s’écrivent \(P\mapsto \langle P,Q\rangle\)\(Q\in\mathbb K[x]\). Si \(P\) est une série formelle qui n’est pas un polynôme, vérifier que la forme linéaire \(P\mapsto \langle P,Q\rangle\) sur l’espace \(\mathbb K[x]\) n’est pas continue.

Exercice

Exemple d’une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

Soit \(\sum_{n\geq 1}\,a_n\sin(nt)\) une série trigonométrique où \(a_n\geq 0\ \forall\,n\geq 1.\)

  1. On suppose que cette série est une série de Fourier, c’est à dire qu’il existe \(f\in L_{loc}^1(\mathbb R)\) telle que \(c_n(f)=\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt\ \forall\,n\in\mathbb Z\) i.e. \(c_0(f)=0\) et, si \(n\geq 1 :\) \(c_n(f)={a_n\over 2i},\ c_{-n}(f)=-{a_n\over 2i}\). Soit \(F(t)=\int_0^t\,f(u)du\). Montrer que \(F\) est continue et \(2\pi\)-périodique sur \(\mathbb R\) et, pour \[\vert n\vert\geq 1\ :\ c_{\vert n\vert}(F)=-{a_{\vert n\vert}\over 2\vert n\vert}\]

  2. En déduire que \(\sum_{n\geq 1}{a_n\over n}\) converge.

  3. Montrer que la série trigonométrique partout convergente \(\sum_{n\geq 2}{\sin(nt)\over \log(n)}\) n’est pas une série de Fourier.

Exercice

\(\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace=e^{-1}.\) *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

Existence et calcul de \[m:=\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace.\]

Exercice

Études de quelques équations fonctionnelles *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

  1. Déterminer les solutions continues à l’origine (voire bornée sur un voisinage de l’origine) de l’équation fonctionnelle \[2f(2x)=f(x)+x,\quad\forall\,x\in\mathbb R.{\text{($\star$)}}\]

  2. Déterminer les applications \(f\ :\ \mathbb R^\star_+\to\mathbb R^\star_+\) tendant vers zéro en \(+\infty\) et solutions de l’équation fonctionnelle \[f(xf(y))=yf(x),\quad\forall\,x,y\in\mathbb R^\star_+.{\text{($\star$)}}\]

Exercice

Quelques applications de l’inégalité de Jensen *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

  1. Montrer que pour tout \(x>1\) \[\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{3}{x}.{(\text{$\star$})}\] En déduire une nouvelle démonstration de la divergence de la série harmonique.

  2. Démontrer que parmi tous les polygones convexes inscrits dans un cercle, ce sont les polygones réguliers qui possèdent une aire maximale.

Exercice

Combinatoire : les nombres de Bell *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

Pour tout \(n\in\mathbb N^\star\), on désigne par \(B_n\) le nombre de partitions de l’ensemble \(\mathbb [1,\dots,n]\) avec par convention \(B_0=1\).

  1. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\) : \(\displaystyle B_{n+1}=\sum_{k=0}^n C_n^k B_k.\)

  2. Montrer que le rayon de convergence \(R\) de la série génératrice exponentielle\(f(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{B_n}{n!}z^n\) de la suite \((B_n)_0^\infty\) est strictement positif et calculer \(f(z)\) pour \(\vert z\vert<R\).

  3. Montrer que\(\displaystyle B_n=\dfrac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \dfrac{k^n}{k!}.\)

Exercice

Probabilités et formule de Taylor *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

[letac], exercice 12.

Donner une preuve probabiliste de l’affirmation suivante : la somme des coefficients de \(x^0, x^1, x^2,\dots, x^{n-1}\) dans le développement en série de Taylor de \((2-x)^{-n}\) est \(1/2\).

Exercice

Une suite dans \(\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]\) qui s’annule sur \(\mathbb C\) * Polytechnique

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

[rms], 2004.

  1. Soit \((P_k)_k\subset\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]\). On suppose que pour tout \(x\in\mathbb C^n\) il existe \(k\in\mathbb N\) tel que \(P_k(x)=0\). Montrer qu’il existe un entier \(k\) tel que \(P_k\) soit le polynôme nul.

  2. Si on remplace \(\mathbb C\) par \(\mathbb Q\), la conclusion de la première question reste-t-elle valable ?

Exercice

Autour de la série harmonique *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

On pose pour \(\displaystyle n\in\mathbb N^\star,\quad H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}\). Montrer que

\(\displaystyle\quad\rightsquigarrow\quad\text{La série }\quad \sum_{k=1}^\infty\dfrac{1}{kH_k}\quad\text{diverge}.\)

Exercice

\(n(n^2+1)/2\) est valeur propre de toute matrice magique \(A\in M_n(\mathbb R)\). *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

[amm], E 733-1947.

Montrer que toute matrice magique \(A\in M_n(\mathbb R)\) admet \(n(n^2+1)/2\) comme valeur propre.

Exercice

Encore un peu de dénombrement *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

Dans chacune des \(n\) maisons d’une rue rectiligne se trouve un ou plusieurs enfants. Dans quelle maison doivent-ils tous se rencontrer de telle sorte que la somme des distances parcourues soit minimale ?

Exercice

La courbe d’équation \(y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4\) admet-elle \(4\) points alignés ? *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

Soit \(\alpha\in\mathbb R\). Pour quelles valeurs de \(\alpha\) la courbe \[y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4{(C_\alpha)}\] admet-elle \(4\) points alignés ?

Exercice

Un théorème d’Erdös sur les fonctions multiplicatives monotones *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

[amm], (8)1986.

Un fonction arithmétique \(f\,:\ \mathbb N\to\mathbb N\) non identiquement nulle est dite multiplicative si \[f(mn)=f(m)f(n)\quad \text{dès que}\ \ m\wedge n=1,\] et complétement multiplicative si \[f(mn)=f(m)f(n)\quad \text{pour tous}\ n,m\in\mathbb N.\]

  1. Montrer que si \(f\) est complétement multiplicative et croissante, il existe une constante \(\alpha\) telle que \(f(n)=n^\alpha,\ \forall\,n\in\mathbb N^\star\).

  2. Montrer que toute application multiplicative croissante est complétement multiplicative.

Exercice

Autour du théorème de Gauss-Lucas *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

  1. Montrer que pour tout polynôme \(P(z)=a_0+a_1z+\dots+a_dz^d\in\mathbb C[z]\), les racines du polynôme dérivée \(P'\) sont dans l’enveloppe convexe des racines de \(P\) (théorème de Gauss-Lucas).

  2. (l’inégalité arithmético-géométrique complexe) Soient \(n\) nombres complexes \(z_1,\dots,z_n\) tels qu’il existe \(\psi\in[0,\pi/2[\) vérifiant \[z_j=\rho_je^{i\theta_j},\quad 0\leq \vert\theta_j\vert< \psi<\pi/2,\quad\forall\,1\leq j\leq n.\] (voir la figure) Montrer que \[\cos(\psi)\vert z_1\dots z_n\vert^{1/n}\leq \dfrac{\vert z_1+z_2+\dots+z_n\vert}{n}.\]

  3. Soit \(H\) l’enveloppe convexe des zéros de \(P(z)=a_0+a_1z+\dots+a_dz^d\in\mathbb C[z],\ (d\geq 1)\). Montrer que \[\left\vert \dfrac{a_d}{P(z)}\right\vert^{1/d}\leq \dfrac{1}{d\cos(\varphi)}\left\vert\dfrac{P'(z)}{P(z)}\right\vert,\quad\forall\,z\not\in H,\] (c’est l’inégalité de Wilf) où \(\varphi\) est la moitié de l’angle de vision de \(H\) du point \(z\) (voir la figure ci-dessous). Retrouver le théorème de Gauss-Lucas.

Exercice

Différentiabilité de \(M_n(\mathbb R)\ni M\mapsto (\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n))\) et applications *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

[rms]-2006.

  1. Montrer que l’application \(f\ :\ M_n(\mathbb R)\to\mathbb R^n\) définie par \[f(M)=(\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n)),\quad M\in M_n(\mathbb R^n)\] est différentiable et calculer \(df(M)(H)\).

  2. Soit \(M\in M_n(\mathbb R)\). montrer que le rang de \(df(M)\) est égal au degré du polynôme minimal de \(M\).

  3. En déduire que l’ensemble des matrices de \(M_n(\mathbb R)\) dont le polynôme caractéristique coïncide avec le polynôme minimal est un ouvert de \(M_n(\mathbb R)\).

Exercice

Une inégalité... *

9 novembre 2022 23:17 — Par Patrice Lassère

Soient \(x_1\geq x_2\geq \dots,x_n\geq 0\) tels que \[\sum_{j=1}^nx_j\leq 400\quad\text{et}\quad \sum_{j=1}^nx_j^2\leq 10^3,\] montrer que \[\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\geq 10.\]

Exercice

Autour des ! universelles des fonctions continues *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

[HAL], [rms]-2007/4.

Soit \(f\in\mathscr C([0,1],\mathbb R)\) telle que \(f(0)=f(1)\). On dira que \(c>0\) est une corde pour \(f\) s’il existe un nombre réel \(x\) tel que \(x\) et \(x+c\) soient tous deux les dans \([0,1]\) et vérifient \(f(x+c)=f(x)\). On dira que \(c\) est une corde universelle s’il est une corde pour toute fonction \(f\in\mathscr C([0,1],\mathbb R)\) telle que \(f(0)=f(1)\).

  1. Montrer que les réels \(1,1/2,1/3,\dots,1/n,\dots (n\in\mathbb N^\star)\) sont des cordes universelles.

  2. Soit \(0<c<1\) qui ne soit pas l’inverse d’un entier. Construire une fonction \(g\in\mathscr C([0,1],\mathbb R)\) vérifiant \(g(0)=0\), \(g(1)=1\) et \(g(x+c)=g(x),\ x\in[0,1-c]\). En considérant \(f(x):=g(x)-x\), montrer que \(c\) n’est pas une corde universelle.

  3. (Application) Un marcheur parcourt (continuement) \(40\) kilomètres en deux heures. Montrer qu’il existe une période d’une heure où il parcourt \(20\) kilomètres exactement.

  4. On suppose que \[f(x+3/10)\neq f(x),\quad\forall\,x\in[0,7/10].\] Montrer que \(f\) s’annule au moins \(7\) fois sur \([0,1]\).

Exercice

Accélération de la convergence vers la contante d’Euler *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

[amm], mai 1993.

La constante d’Euler \(\gamma\) est traditionellement définie par la limite \[\gamma=\lim_{n\to\infty}U_n:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}-\log(n)\right):=\lim_{n\to\infty}U_n.\]

  1. Montrer que \(\quad \dfrac{1}{2(n+1)}<U_n-\gamma<\dfrac{1}{2n},\ n\in\mathbb N.\)

  2. Si on modifie légèrement la suite \((U_n)_n\) en la remplacant par la suite \((V_n)_n\)\[V_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}-\log\left( n+\dfrac{1}{2}\right),\] nous allons vérifier que la convergence est notablement accélérée, plus précisément nous avons \[\dfrac{1}{24(n+1)^2}<V_n-\gamma<\dfrac{1}{24n^2},\ n\in\mathbb N.\] Pour cela, soit \(f(x)=-(x+1)^{-1}-log(x+\frac{1}{2})+log(x+\frac{3}{2})\).

    \(\rightsquigarrow\quad\) Vérifier que \(V_n-V_{n+1}=f(n),\ n\in\mathbb N\).

    \(\rightsquigarrow\quad\) Montrer que \(-f'(x)<\frac{1}{4}(x+\frac{1}{2})^{-4}.\) En déduire que \[f(k) \leq \dfrac{1}{12}(k+\dfrac{1}{2})^{-3}<\int_k^{k+1}t^{-3}\dfrac{dt}{12}\] et montrer l’inégalité de droite.

    \(\rightsquigarrow\quad\) Faire de même à gauche et conclure.

Exercice

A la recherche des points isolés de \(\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\},\ P\in\mathbb C[x]\) *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

[rms]-2005.

Soit \(P\in\mathbb C[x]\), un polynôme non constant. L’objectif est de déterminer les points isolés de \(\mathscr E:=\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\}\)

  1. Soit \(A\in\mathscr E\), montrer qu’il existe une voisinage \(V\) de l’origine dans \(M_n(\mathbb C)\) tel que \((I_n+H)A(I_n+H)^{-1}=A\) pour tout \(H\in V\).

  2. Si de plus \(A\) est isolée, montrer que \(AM=MA\) pour toute matrice \(M\in M_n(\mathbb C)\), en déduire que \(A=\lambda I_n,\ \lambda\in\mathbb C\).

  3. Soit \(\lambda\) une racine de \(P\) de multiplicité supérieure ou égale à 2 ; à l’aide des matrices \(M_k=\lambda I_n+k^{-1}E_{12}\), montrer que \(\lambda I_n\not\in \rm{Iso}(\mathscr E)\). Enfin, montrer que \(\rm{Iso}(\mathscr E)\) est l’ensemble des matrices scalaires \(\lambda I_n\)\(\lambda\) est racine de \(P\) de multiplicité 1.

Exercice

Supplémentaires universels d’un espace de dimension finie *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

[amm] 7-1985 & 8-1986.

Soit \(E\) un \(\mathbb K\) espace vectoriel de dimension finie \(d\). On dira qu’une famille \((E_i)_{i\in I}\) (\(I\) est au plus dénombrable) de sous-espaces de même dimension \(k\) de \(E\) admet un supplémentaire universel \(F\) dans \(E\) si \(E_i\oplus F=E\) pour tout \(i\in I\).

  1. Étudier le cas où \(E=\mathbb Z/2\mathbb Z\).

  2. Ici \(\mathbb K=\mathbb R\) (\(\mathbb K=\mathbb C\) se traite de même) et pour tout \(i\in I\), \((e^i_1,e^i_2,\dots,e^i_k)\) désignera une base de \(E_i\) enfin, si \(E^{d-k}=E\times\dots\times E\) désigne le \(d-k\) produit cartésien de \(E\) avec lui-même on définit \(f_i\ :\ E^{d-k}\to\mathbb R\) par \[f_i\ :\ E^{d-k}\ni (v_1,\dots,v_{d-k})\mapsto f_i(v_1,\dots,v_{d-k}):=\det(e^i_1,e^i_2,\dots,e^i_k,v_1,\dots,v_{d-k})\in\mathbb R.\]

    -  Montrer que \(O_i=f_i^{-1}(\mathbb R^\star)\) est un ouvert dense de \(E^{d-k}\).

    -  Conclure.

Exercice

Le saviez vous ? *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

[wizehall], [amm] (1974-81).

  1.  Montrer qu’il existe une famille non dénombrable \((N_x)_{x\in\mathbb R}\) de parties deux à deux distinctes de \(\mathbb N\) qui soit totalement ordonnée pour l’inclusion.

  2.  Montrer qu’il existe une famille non dénombrable \((N_x)_{x\in\mathbb R}\) de parties deux à deux distinctes de \(\mathbb N\) dont l’intersection de deux quelconques éléments est finie.

Exercice

La formule de Stirling via la loi de Poisson *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

[amm], 2007-3.

Soit \(X_\lambda\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr A, p)\) suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\), i.e. \[p(X_\lambda=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k\in\mathbb N.\]

  1.  Calculer sa fonction caractéristique \(\varphi_{X_\lambda}\) et montrer que \[I_k:=\dfrac{k^k}{k!}e^{-\lambda}=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\,e^{k(e^{i\theta}-1-i\theta)}d\theta,\quad \forall\, k\in\mathbb N.\]

  2.  En déduire la formule Stirling \[k!\simeq \left( \dfrac{k}{e}\right)^k\cdot\sqrt{2\pi k}.\]

Exercice

Preuve probabiliste du théorème d’approximation de Bernstein *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

Pour \(f\in\mathscr C^0([0,1])\), \(B_n\) désigne le \(n\)-ième polynôme de Bernstein associé à \(f\), il est défini par \[B_n(f,x)=\sum_{k=0}^n\,f\left( \dfrac{k}{n}\right) \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}.\] (avec la convention \(0^0=1\)). Soit, sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr A, P)\) et pour \(x\in [0,1]\) une suite \((X_n)_n\) de variables aléatoire indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre \(x\). On note \[S_n=\sum_{k=1}^n X_k.\]

  1.  Déterminer la moyenne \({\rm E}\left[ f\left( \dfrac{S_n}{n}\right)\right] .\)

  2.  Pour \(\varepsilon>0\) on pose \[\delta(\varepsilon)=\sup\left\lbrace \,\vert f(x)-f(y)\vert\ :\ x,y\in[0,1],\ \vert x-y\vert\leq \varepsilon\,\right\rbrace.\] Démontrer que \[\sup_{x\in[0,1]}\left\vert\, B_n(f,x)-f(x)\right\vert\leq \delta(\varepsilon)+\dfrac{2\Vert f\Vert_\infty}{n\varepsilon^2}\] et en déduire que la suite \((B_n(f,\cdot))_n\) converge uniformément sur \([0,1]\) vers \(f\).

Exercice

L’équation \(\det(A+X)=\det(X),\ X\in M_n(\mathbb R)\). * Polytechnique

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

[rms] 2001/2002.

0n considère une matrice \(A\in M_n(\mathbb R)\) vérifiant \[\det(A+X)=\det(X),\quad\forall\, X\in M_n(\mathbb R).\] Montrer que \(A\) est la matrice nulle. En déduire que si \(A,B\in M_n(\mathbb R)\) vérifient \(\forall\,X\in M_n(\mathbb R)\ :\ \det(A+X)=\det(B+X)\), alors \(A=B\).

Exercice

Isométries rationnellles *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

  1.   Montrer qu’une tranformation \(T\) du plan dans lui même préservant les distances rationnelles est une isométrie.

  2.   Montrer que le résultat correspondant sur la droite réelle est faux.

Exercice

Une fonction continue nulle part dérivable *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

  1.  (Préliminaire) Soient \(I\) un intervalle ouvert de \(\mathbb R\), \(f\ :\ I\to\mathbb R\) une application dérivable un point \(a\in I\) montrer que pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que \[\left\vert\dfrac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}-\dfrac{f(u_1)-f(u_2)}{u_1-u_2}\right\vert<\varepsilon\] pour tous \(t_1<a<t_2,\ u_1<a<u_2\) dans \(]a-\delta,a+\delta[\).

  2.  Soit \(G\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) définie par \(G(x)=\text{dist}(x,\mathbb Z)\) ; pour \(n\in\mathbb N\) on pose \(G_(x)=\text{dist}(2^nx,\mathbb Z)\) puis \(H(x)=\sum_{n\geq 0}2^{-n}G_n(x)\).

    -Montrer que \(H\in\mathscr C^0(\mathbb R)\) et que la réunion des points de non dérivabilité des fonctions \(G_n\) est dense dans \(\mathbb R\).

    Soient \(a\in\mathbb R,\ \delta>0\).

    -Montrer qu’il existe \(k\in\mathbb N,\ r\in\mathbb Z\) tels que \[a-\delta<x_1=\dfrac{r}{2^k}<x_2=\dfrac{r+1}{2^k}<a+\delta\] et étudier la quantité \[\dfrac{H(\xi)-f(x_1)}{\xi-x_1}-\dfrac{H(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\] (où \(\xi=(x_1+x_2)/2\)) pour en déduire la non dérivabilité de \(H\) au point \(a\).

Exercice

Restes et sommes partielles de deux séries *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

Soient pour \(n\in\mathbb N^\star\) \[a_n=(-1)^n, b_n=(-1)^n+\dfrac{1}{n},\ c_n=\dfrac{(-1)^n}{n},\ d_n=\dfrac{(-1)^n}{n}+\dfrac{1}{n\sqrt{n}}.\]

  1.  Montrer que \(a_n\sim_n b_n\), que les deux séries \(\sum_n\,a_n,\ \sum_n\,b_n\) divergent mais que leurs sommes partielles ne sont pas équivalentes.

  2.  Montrer que \(c_n\sim_n d_n\), que les deux séries \(\sum_n\,c_n,\ \sum_n\,d_n\) convergent mais que leurs restes ne sont pas équivalents.

Exercice

Géométrie *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

Soit \(HOMF\) un rectangle avec \(HO=11,\ OM=5\). Soit \(ABC\) un triangle tel que : \(H\) est à l’intersection des hauteurs, \(O\) est le centre du cercle circonscrit, \(M\) est le milieu de \(BC\) et \(F\) est le pied de la hauteur issue de \(A\). Déterminer la longueur du segment \(BC\).

Exercice

Irrationalité de \(\sqrt{2}\) *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

Donner plusieurs démonstrations de l’irrationalité de \(\sqrt{2}\).

Exercice

\(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\). (part. 3) *

9 novembre 2022 23:18 — Par Patrice Lassère

Le but de cet exercice est la construction d’une fonction infiniment dérivable non identiquement nulle et nulle en dehors d’une intervalle fermé.

Étant donné \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\), on appelle support de \(f\) le plus petit fermé de \(\mathbb R\) tel que \(f\) soit nulle sur son complémentaire. Si le support est borné, on dit que \(f\) est à support compact. Soit \(\alpha\) un réel strictement positif, on définit la fonction \(H_\alpha\) sur \(\mathbb R\) par \[H_\alpha(x)=\begin{cases} 1/\alpha,\quad&{\text{si }}\ x\in]0,\alpha[,\\ 0,\quad&\text{sinon.}\end{cases}\] Soit \((a_n)_n\) une suite décroissante de réels strictement positifs telle que la série \(\sum_n a_n\) converge, on note \(a\) sa somme. Pour \(m\in\mathbb N\) on désigne par \(\mathscr C^m_{0,a}\) l’ensemble des fonctions de classe \(\mathscr C^m\) sur \(\mathbb R\) à support inclu dans \([0,a]\).

1) Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) ou possédant un nombre fini de discontinuités et à support compact. On définit la fonction \(f*g\) pour \(x\in\mathbb R\) pa r \[(f*g)(x)=\int_\mathbb R\, f(t)g(x-t)dt.\] Montrer que \(f*g\) est une fonction à support compact et plus précidément si pour \(\alpha,\beta\in\mathbb R_+^\star\), \(f\) (resp. \(g\)) est à support compact dans \([0,\alpha]\) (resp. \([0,\beta]\)), alors \(f*g\) est à support compact dans \([0,\alpha+\beta]\). Donner également une expression simple de \[\int_\mathbb R\,(f*g)(x)dx.\] 2) On définit la fonction \(u_1\) par \[u_1=H_{a_0}*H_{a_1}.\] Déterminer explicitement \(u_1\) et en déduire \(m_1\) le plus grand entier tel que \(u_1\) appartienne à \(\mathscr C^m_{0,a}\).

3) On définit maintenant la fonction \(u_k\) par \[u_k=u_{k-1}*H_{a_k}.\] Déterminer \(m_k\) le plus grand entier tel que \(u_k\) appartienne à \(\mathscr C^m_{0,a}\).

4) Montrer que pour \(k\geq 2\) et pour tout \(x\in\mathbb R\), on a pour tout \(j\leq m_k\), \[\vert u^{(j)}_k(x)\vert\leq \dfrac{2^j}{a_0\dots a_j}.\]

5) Montrer que pour tout couple d’entiers \(k,m\) supérieurs ou égaux à 2, et pour tout \(x\in\mathbb R\), on a : \[\vert u_{k+m}(x)-u_m(x)\vert \leq 2\cdot\dfrac{a_{m+1}+\cdots +a_{m+k}}{a_0a_1}.\]

6) Montrer que, quand \(k\) tends vers \(+\infty\), la suite \((u_k)_k\) converge uniformément sur \(\mathbb R\) vers une fonction \(u\) appartenant à \(\mathscr C^\infty_{0,a}\). Montrer également que \[\int_\mathbb R\, u(x)dx=1.\]

Exercice

Co-trigonalisation *

9 novembre 2022 23:19 — Par Patrice Lassère

Soient \(A,B\in M_n(\mathbb C)\) telles que \(AB=BA\).

  1. Montrer que \(A\) et \(B\) ont un vecteur propre commun.

  2. Montrer que \(A\) et \(B\) se trigonalisent simultanément.

Exercice

Diagonalisation simultanée *

9 novembre 2022 23:19 — Par Patrice Lassère

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie.

  1. Montrer que la restriction d’un endomorphisme à un sous-espace stable est diagonalisable.

  2. Soit \(\mathscr A\subset\mathscr L(E)\) une famille d’endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux, montrer qu’il existe une base commune de diagonalisation pour les éléments de \(\mathscr A\).

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