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9 novembre 2022 12:19 — Par Patrice Lassère

Exercice 1329

Bibliographie

Histoire dans un corps *

Soient $a_1,a_2,\dots,a_{51}$ des éléments non nuls d’un corps $\mathbb K$. On remplace simultanément chacun de ces éléments par la somme des $50$ autres. Soit $b_1,b_2,\dots,b_{51}$ la suite obtenue, si cette nouvelle suite est une permutation de l’originale que peut être la caractéristique de $\mathbb K$ ?

Le lemme de Riemann-Lebesgue et l’inclusion $\mathscr L^1([0,1])\subset c_{0}$. *

(Lemme de Riemann-Lebesgue) Soit $f\in L^1([0,1])$, alors la suite de ses coefficients de Fourier $\mathscr F(f)=(\hat{f}(n))_{n\in\mathbb Z}$ vérifie \[\lim_{\vert n\vert\to\infty}\hat{f}(n)=0.\] Autrement dit, l’opérateur $\mathscr F$ injecte l’espace $L^1([0,1])$ dans l’espace vectoriel $c_0$ des suites de complexes $(a_n)_{n\in\mathbb Z}$ qui convergent vers zéro, i.e. $\mathscr F(L^1([0,1]))\subset c_0$.
Montrer que l’inclusion $\mathscr F(L^1([0,1]))\subset c_0$ est stricte.

Trois problèmes d’optimisation autour d’une droite et une parabole *

On considère un point $P$, distinct de l’origine et situé sur la parabole $\mathscr P$ d’équation $y=x^2$. La normale à $(\mathscr P)$ passant par $P$ recoupe la parabole en un point $Q$.

Déterminer $P$ pour que l’arc de parabole soit minimum.
Déterminer $P$ pour que le périmètre de la région bornée délimitée par $(\mathscr P)$ et $PQ$ soit minimum.
Déterminer $P$ pour que l’aire de la région bornée délimitée par $(\mathscr P)$ et $PQ$ soit minimum.

Convergence faible dans $\mathscr C^0(X)$ * Polytechnique

Soit $X$ un espace métrique compact.

Montrer qu’une suite $(f_n)_n\subset\mathscr C^0(X)$ est faiblement convergente dans $\mathscr C^0(X)$ si, et seulement si elle est uniformément bornée et simplement convergente sur $X$.
En déduire que pour toute suite $(f_n)_n\subset\mathscr C^0(X)$ uniformément bornée sur $X$ et simplement convergente vers $f$, il existe une suite $(\tilde{f_n})_n$ où $\tilde{f_n}\in\rm{conv}\{f_1,\dots,f_n\},\ \forall\,n\in\mathbb N$, qui converge uniformément sur $X$ vers $f$.

Inégalité de Bernstein (2) *

[rms], 110-9/10.

Montrer qu’un polynôme trigonométrique de degré $n$ qui admet au moins $2n+1$ racines distinctes dans l’intervalle $[0,2\pi[$ est identiquement nul.
Soit $f$ un polynôme trigonométrique de degré $n$ à valeurs réelles. On suppose que $f'(0)=\Vert f'\Vert_\infty>n\Vert f\Vert$ et on considère le polynôme trigonométrique $g(x)=n^{-1}\Vert f'\Vert_\infty\sin(nx)-f(x)$.

-Montrer que $g$ admet au moins $2n$ racines distinctes sur $[0,2\pi[$.

-Montrer que $g'$ admet au moins $2n+1$ racines distinctes sur $[0,2\pi]$.

-Montrer que $g''$ admet au moins $2n+1$ racines distinctes sur $[0,2\pi[$. Conclusion ?
Soit $f$ un polynôme trigonométrique de degré $n$ à valeurs réelles. Montrer que \[\Vert f'\Vert_\infty\leq n\Vert f\Vert_\infty\qquad\text{(Inégalité de Bernstein)}.\]

Une caractérisation de la convexité *

([ney], exo. 1.8.3).

Soit $f\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)$ vérifiant l’inégalité de la moyenne suivante \[f(x)\leq \dfrac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}f(t)dt,\quad\forall\,x\in\mathbb R,\ h\in\mathbb R_+^\star.\] Montrer que

Le maximum de $f$ sur tout segment est atteint en une des extrémités.
$f$ est convexe.

Probabilités, géométrie *

Un point $P$ est choisi au hasard (relativement à la distribution uniforme) dans un triangle équilatéral ${\bf{T}}$. Quelle est la probabilité qu’il existe un point $Q\in{\bf{T}}$ dont la distance à $P$ est supérieure à la hauteur de ${\bf{T}}$ ?

Séries de fourier et séries trigonométriques *

[kn3], [qz].

Soit $f\in L^1([-\pi,\pi])$ une application $2\pi$-périodique. $(a_n)_n,(b_n)_n$ désignant ses coefficients de Fourier réels, montrer que pour tout $x\in[0,2\pi]$ : \[\int_0^x\left( f(t)-\dfrac{a_0}{2}\right) dt=\sum_{n\geq 1}\dfrac{a_n\sin(nx)+b_n(1-\cos(nx))}{n}.\]
Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\dfrac{b_n}{n}$ converge.
En déduire que la série trigonométrique $\sum_{n\geq 2}\dfrac{\sin(nx)}{\log(n)}$ n’est la série de Fourier d’aucune fonction $f\in L^1([-\pi,\pi])$.
Soit $(a_n)_n$ une suite décroissante vers zéro vérifiant \[a_{n+1}\leq \dfrac{a_n+a_{n+2}}{2},\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] Montrer que la série trigonométrique $\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n\geq 1}a_n\cos(nx)$ est la série de fourier d’une fonction $f\in L^1([-\pi,\pi])$ positive.
En déduire que la série trigonométrique $\sum_{n\geq 2}\dfrac{\cos(nx)}{\log(n)}$ est la série de Fourier d’une telle fonction.

Sur la topologie de la convergence simple *

Soient $X$ un ensemble, $(E,(\Vert.\Vert_i)_{i\in I})$ un espace localement convexe (e.l.c.). Sur l’ensemble $\mathscr F(X,E)$ de toutes les applications de $X$ dans $E$, on considère la topologie d’e.l.c. définie par les semi-normes \[\Vert f\Vert_{i,x}=\Vert f(x)\Vert_i,\quad i\in I,\ x\in X.\]

Montrer qu’une suite $(f_n)_n\subset\mathscr F(X,E)$ converge vers une application $f\ :\ X\to E$ pour cette topologie si, et seulement si, elle converge simplement sur $X$ vers $f$. (On appelera donc topologie de la convergence simple cette topologie sur $\mathscr F(X,E)$ que l’on désignera alors par $\mathscr F_s(X,E)$).
Si $E$ est séparé, montrer que $\mathscr F_s(X,E)$ est séparé.
Si $E$ est métrisable et si $E\neq\{0_E\}$, montrer que l’espace $\mathscr F_s(X,E)$ est métrisable si, et seulement si, $X$ est dénombrable.
Si $E$est un espace de Fréchet (e.l.c. métrisable complet) et si $X$ est dénombrable, montrer que $\mathscr F_s(X,E)$ est un espace de Fréchet.
Si $E$ est un espace normé et si $E\neq\{0_E\}$, montrer que l’espace $\mathscr F_s(X,E)$ est normable si, et seulement si, $X$ est fini.
On suppose que $E=\mathbb K (=\mathbb R\text{ où }\mathbb C)$ et on pose $F=\mathscr F_s(X,\mathbb K)$.

a)Si $a\in\mathbb X$, montrer que la forme linéaire sur $F$$\delta_a\ :\ f\mapsto f(a)$ est continue.

b)Soit $T\in F'$ une forme linéaire continue, montrer qu’il existe une partie finie $A\subset X$ telle que $T(f)=0$ dès que $f$ est nulle sur $A$.

c)En déduire que les formes linéaires continues sur $F$ sont de la forme \[T=\sum_{a\in A\in PF(X)}\ c_a\delta_a,\quad c_a\in\mathbb K.\]
Un exemple. On considère l’espace $\mathbb K[[x]]$ des séries formelles à une indéterminée. Cet espace s’identifie de manière naturelle à $\mathscr F(\mathbb N,\mathbb K)$ en associant à toute série formelle $P=\sum_{n\in\mathbb N}a_n x^n$ la fonction $n\mapsto a_n$. On peut donc définir sur l’espace $\mathbb K[[x]]$ la topologie de la convergence simple, on le note alors $\mathbb K_s[[x]]$.

a)Montrer que l’espace $\mathbb K_s[[x]]$ possède la propriété de Montel.

b)Soit $Q=\sum_{n=0}^N b_nx^n$ un polynôme. Montrer que l’application \[\mathbb K_s[[x]]\ni P\mapsto \langle P,Q\rangle = \sum_{n=0}^N a_nb_n\] est une forme linéaire continue sur $\mathbb K_s[[x]]$ et que l’on obtient ainsi toutes les formes linéaires continues.

c)Montrer que le sous-espace vectoriel $\mathbb K[x]$ des polynômes est dense dans $\mathbb K_s[[x]]$ et que les formes linéaires sur ce sous-espace s’écrivent $P\mapsto \langle P,Q\rangle$ où $Q\in\mathbb K[x]$. Si $P$ est une série formelle qui n’est pas un polynôme, vérifier que la forme linéaire $P\mapsto \langle P,Q\rangle$ sur l’espace $\mathbb K[x]$ n’est pas continue.

Un bien utile lemme de factorisation *

Soient $E,F,G$ trois espaces vectoriels. Si $G$ est de dimension finie et s’il existe $f\in\mathscr L(E,F),\ g\in\mathscr L(E,G)$ telles que \[\left( \forall\,x\in E\right) \left( g(x)=0 \right) \Longrightarrow\left( f(x)=0\right),{(\text{$\star$})}\] alors il existe $h\in\mathscr L(G,F)$ telle que $f=h\circ g$.
Application 1 : Soient $E$ un espace vectoriel, $f,f_1,\dots,f_n\in E^\star$ des formes linéaire telles que \[\left( \forall\,x\in E\right)\left( f_i(x)=0,\quad\forall\,i=1\dots n\right) \Longrightarrow\left( f(x)=0\right),\] alors il existe des scalaires $c_1,\dots,c_n$ tels que $f=c_1f_1+c_2f_2+\dots+c_nf_n.$
Application 2 : Montrer que toute distribution $T\in\mathscr D'(\mathbb R^d)$ de support l’origine est combinaison linéaire de dérivées de la distribution de Dirac.

Exemple d’une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier *

[qz]

Soit $\sum_{n\geq 1}\,a_n\sin(nt)$ une série trigonométrique où $a_n\geq 0\ \forall\,n\geq 1.$

On suppose que cette série est une série de Fourier, c’est à dire qu’il existe $f\in L_{loc}^1(\mathbb R)$ telle que $c_n(f)=\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt\ \forall\,n\in\mathbb Z$ i.e. $c_0(f)=0$ et, si $n\geq 1 :$ $c_n(f)={a_n\over 2i},\ c_{-n}(f)=-{a_n\over 2i}$. Soit $F(t)=\int_0^t\,f(u)du$. Montrer que $F$ est continue et $2\pi$-périodique sur $\mathbb R$ et, pour \[\vert n\vert\geq 1\ :\ c_{\vert n\vert}(F)=-{a_{\vert n\vert}\over 2\vert n\vert}\]
En déduire que $\sum_{n\geq 1}{a_n\over n}$ converge.
Montrer que la série trigonométrique partout convergente $\sum_{n\geq 2}{\sin(nt)\over \log(n)}$ n’est pas une série de Fourier.

Nombre de points à coordonnées entières dans un disque, comportement au bord d’une série entière *

Soient pour $n\in\mathbb N$, \[D_n:=B_{\mathbb R^2}(0,n),\ p_n:={\rm{card}}\left( D_n\cap \mathbb Z^2\right),\ p_n^+:={\rm{card}}\left( D_n\cap \mathbb N^2\right).\]

Montrer que \[\quad p_n\underset{n\to+\infty}{\sim}\pi n^2\quad \text{et}\quad p_n^+\underset{n\to+\infty}{\sim}\pi n^2/4.\]
En déduire que \[\lim_{t\to 1_-}(1-t^2)^{1/2}\sum_{n\geq 0}t^{n^2}=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{1-t}}.\]
En déduire que \[\lim_{x\to -1_+}\sum_{n\geq 0}x^{n^2}=\frac{1}{2}.\]

Optimisation dans un triangle *

Dans triangle $ABC$ où $AB=1$, $h$ désigne la mesure de la hauteur issue de $C$ et $f(h)$ le produit des trois hauteurs. Montrer que $f$ est bornée et atteint sa borne supérieure. À quelle configuration de $ABC$ cet extréma correspond-t-il ?

(APMO, 1990).

optimisation, combinatoire *

Quelle est la valeur maximum $f(n)$ de \[\vert\sigma(1)-\sigma(2)\vert+\vert\sigma(3)-\sigma(4)\vert+\dots+\vert\sigma(n-1)-\sigma(n)\vert\] $\sigma$ décrivant toutes les permutations de $\{1,2,\dots,n\}$ ?

Étude des espaces ${\rm{vect}}\{ f^{(k)},\ k\in\mathbb N\}$ et ${\rm{vect}}\{x\mapsto f(x+a),\ a\in\mathbb R\}$ *

Pour $f\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb C)$ on définit \[\mathscr T_f:={\rm{Vect}}\{ x\mapsto f_a(x)=f(x-a),\ a\in\mathbb R\},\] et pour $f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)$ \[\mathscr D_f:={\rm{Vect}}\{ x\mapsto f^{(k)}(x),\ k\in\mathbb N\}.\]

Caractériser les applications $f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)$ vérifiant $\dim\mathscr D_f<\infty$.
Soient $k\in\mathbb N\cup\{\infty\},\ f\in\mathscr C^k(\mathbb R,\mathbb C)$. On suppose $\dim\mathscr T_f=d<\infty$, montrer qu’il existe $a_1,\dots,a_d\in\mathbb R$ et $\varphi_1,\dots,\varphi_d\in \mathscr C^k(\mathbb R,\mathbb C)$ telles que \[\forall\,a\in\mathbb R,\quad f_a=\sum_{j=1}^d \varphi_j(a)f_{a_j}.\]
Plus précisément, si $f\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb C)$ vérifiant $\dim\mathscr T_f=d<\infty$, montrer que les applications $\varphi_1,\dots,\varphi_d$ sont $\mathscr C^\infty$.
En déduire que $f\in\mathbb C^\infty(\mathbb R)$.
Établir l’équivalence \[\left( \dim\mathscr T_f=d<\infty\right) \Longleftrightarrow \left(\dim\mathscr D_f=d<\infty \right)\Longleftrightarrow\left( f(t)=\sum_{j=1}^d P_j(t)e^{\lambda_j t}\right).\]

$\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace=e^{-1}.$ *

[rms]

Existence et calcul de \[m:=\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace.\]

Études de quelques équations fonctionnelles *

[kn2]

Déterminer les solutions continues à l’origine (voire bornée sur un voisinage de l’origine) de l’équation fonctionnelle \[2f(2x)=f(x)+x,\quad\forall\,x\in\mathbb R.{\text{($\star$)}}\]
Déterminer les applications $f\ :\ \mathbb R^\star_+\to\mathbb R^\star_+$ tendant vers zéro en $+\infty$ et solutions de l’équation fonctionnelle \[f(xf(y))=yf(x),\quad\forall\,x,y\in\mathbb R^\star_+.{\text{($\star$)}}\]

Quelques applications de l’inégalité de Jensen *

[steele]

Montrer que pour tout $x>1$ \[\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{3}{x}.{(\text{$\star$})}\] En déduire une nouvelle démonstration de la divergence de la série harmonique.
Démontrer que parmi tous les polygones convexes inscrits dans un cercle, ce sont les polygones réguliers qui possèdent une aire maximale.

Combinatoire : les nombres de Bell *

[fgna1]

Pour tout $n\in\mathbb N^\star$, on désigne par $B_n$ le nombre de partitions de l’ensemble $\mathbb [1,\dots,n]$ avec par convention $B_0=1$.

Montrer que pour tout $n\in\mathbb N$ : $\displaystyle B_{n+1}=\sum_{k=0}^n C_n^k B_k.$
Montrer que le rayon de convergence $R$ de la série génératrice exponentielle$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{B_n}{n!}z^n$ de la suite $(B_n)_0^\infty$ est strictement positif et calculer $f(z)$ pour $\vert z\vert<R$.
Montrer que$\displaystyle B_n=\dfrac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \dfrac{k^n}{k!}.$

Probabilités et formule de Taylor *

[letac], exercice 12.

Donner une preuve probabiliste de l’affirmation suivante : la somme des coefficients de $x^0, x^1, x^2,\dots, x^{n-1}$ dans le développement en série de Taylor de $(2-x)^{-n}$ est $1/2$.

Une suite dans $\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]$ qui s’annule sur $\mathbb C$ * Polytechnique

[rms], 2004.

Soit $(P_k)_k\subset\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]$. On suppose que pour tout $x\in\mathbb C^n$ il existe $k\in\mathbb N$ tel que $P_k(x)=0$. Montrer qu’il existe un entier $k$ tel que $P_k$ soit le polynôme nul.
Si on remplace $\mathbb C$ par $\mathbb Q$, la conclusion de la première question reste-t-elle valable ?

Autour de la série harmonique *

[bonar].

On pose pour $\displaystyle n\in\mathbb N^\star,\quad H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$. Montrer que

$\displaystyle\quad\rightsquigarrow\quad\text{La série }\quad \sum_{k=1}^\infty\dfrac{1}{kH_k}\quad\text{diverge}.$

$n(n^2+1)/2$ est valeur propre de toute matrice magique $A\in M_n(\mathbb R)$. *

[amm], E 733-1947.

Montrer que toute matrice magique $A\in M_n(\mathbb R)$ admet $n(n^2+1)/2$ comme valeur propre.

Une base de deux Banach $X$ et $Y$ n’en est pas forcément une pour $X\cap Y$ * Polytechnique

[amm]

Encore un peu de dénombrement *

[putnam]

Dans chacune des $n$ maisons d’une rue rectiligne se trouve un ou plusieurs enfants. Dans quelle maison doivent-ils tous se rencontrer de telle sorte que la somme des distances parcourues soit minimale ?

La courbe d’équation $y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4$ admet-elle $4$ points alignés ? *

[rms].

Soit $\alpha\in\mathbb R$. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la courbe \[y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4{(C_\alpha)}\] admet-elle $4$ points alignés ?

Un théorème d’Erdös sur les fonctions multiplicatives monotones *

[amm], (8)1986.

Un fonction arithmétique $f\,:\ \mathbb N\to\mathbb N$ non identiquement nulle est dite multiplicative si \[f(mn)=f(m)f(n)\quad \text{dès que}\ \ m\wedge n=1,\] et complétement multiplicative si \[f(mn)=f(m)f(n)\quad \text{pour tous}\ n,m\in\mathbb N.\]

Montrer que si $f$ est complétement multiplicative et croissante, il existe une constante $\alpha$ telle que $f(n)=n^\alpha,\ \forall\,n\in\mathbb N^\star$.
Montrer que toute application multiplicative croissante est complétement multiplicative.

Autour d’une ellipse *

Problem of the week, spring 2006.

Dans une ellipse $\mathscr E$ d’aire $1$, on considère deux cordes parallèles respectivement aux deux axes de $\mathscr E$. Ces deux cordes divisent l’ellipse en quatre régions, montrer qu’au moins deux regions ont une aire inférieure ou égale à $1/4$.

Autour du théorème de Gauss-Lucas *

[steele]

Montrer que pour tout polynôme $P(z)=a_0+a_1z+\dots+a_dz^d\in\mathbb C[z]$, les racines du polynôme dérivée $P'$ sont dans l’enveloppe convexe des racines de $P$ (théorème de Gauss-Lucas).
(l’inégalité arithmético-géométrique complexe) Soient $n$ nombres complexes $z_1,\dots,z_n$ tels qu’il existe $\psi\in[0,\pi/2[$ vérifiant \[z_j=\rho_je^{i\theta_j},\quad 0\leq \vert\theta_j\vert< \psi<\pi/2,\quad\forall\,1\leq j\leq n.\] (voir la figure) Montrer que \[\cos(\psi)\vert z_1\dots z_n\vert^{1/n}\leq \dfrac{\vert z_1+z_2+\dots+z_n\vert}{n}.\]
Soit $H$ l’enveloppe convexe des zéros de $P(z)=a_0+a_1z+\dots+a_dz^d\in\mathbb C[z],\ (d\geq 1)$. Montrer que \[\left\vert \dfrac{a_d}{P(z)}\right\vert^{1/d}\leq \dfrac{1}{d\cos(\varphi)}\left\vert\dfrac{P'(z)}{P(z)}\right\vert,\quad\forall\,z\not\in H,\] (c’est l’inégalité de Wilf) où $\varphi$ est la moitié de l’angle de vision de $H$ du point $z$ (voir la figure ci-dessous). Retrouver le théorème de Gauss-Lucas.

Différentiabilité de $M_n(\mathbb R)\ni M\mapsto (\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n))$ et applications *

[rms]-2006.

Montrer que l’application $f\ :\ M_n(\mathbb R)\to\mathbb R^n$ définie par \[f(M)=(\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n)),\quad M\in M_n(\mathbb R^n)\] est différentiable et calculer $df(M)(H)$.
Soit $M\in M_n(\mathbb R)$. montrer que le rang de $df(M)$ est égal au degré du polynôme minimal de $M$.
En déduire que l’ensemble des matrices de $M_n(\mathbb R)$ dont le polynôme caractéristique coïncide avec le polynôme minimal est un ouvert de $M_n(\mathbb R)$.

Une inégalité... *

[amm]

Soient $x_1\geq x_2\geq \dots,x_n\geq 0$ tels que \[\sum_{j=1}^nx_j\leq 400\quad\text{et}\quad \sum_{j=1}^nx_j^2\leq 10^3,\] montrer que \[\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\geq 10.\]

Autour des ! universelles des fonctions continues *

[HAL], [rms]-2007/4.

Soit $f\in\mathscr C([0,1],\mathbb R)$ telle que $f(0)=f(1)$. On dira que $c>0$ est une corde pour $f$ s’il existe un nombre réel $x$ tel que $x$ et $x+c$ soient tous deux les dans $[0,1]$ et vérifient $f(x+c)=f(x)$. On dira que $c$ est une corde universelle s’il est une corde pour toute fonction $f\in\mathscr C([0,1],\mathbb R)$ telle que $f(0)=f(1)$.

Montrer que les réels $1,1/2,1/3,\dots,1/n,\dots (n\in\mathbb N^\star)$ sont des cordes universelles.
Soit $0<c<1$ qui ne soit pas l’inverse d’un entier. Construire une fonction $g\in\mathscr C([0,1],\mathbb R)$ vérifiant $g(0)=0$, $g(1)=1$ et $g(x+c)=g(x),\ x\in[0,1-c]$. En considérant $f(x):=g(x)-x$, montrer que $c$ n’est pas une corde universelle.
(Application) Un marcheur parcourt (continuement) $40$ kilomètres en deux heures. Montrer qu’il existe une période d’une heure où il parcourt $20$ kilomètres exactement.
On suppose que \[f(x+3/10)\neq f(x),\quad\forall\,x\in[0,7/10].\] Montrer que $f$ s’annule au moins $7$ fois sur $[0,1]$.

Accélération de la convergence vers la contante d’Euler *

[amm], mai 1993.

La constante d’Euler $\gamma$ est traditionellement définie par la limite \[\gamma=\lim_{n\to\infty}U_n:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}-\log(n)\right):=\lim_{n\to\infty}U_n.\]

Montrer que $\quad \dfrac{1}{2(n+1)}<U_n-\gamma<\dfrac{1}{2n},\ n\in\mathbb N.$
Si on modifie légèrement la suite $(U_n)_n$ en la remplacant par la suite $(V_n)_n$ où \[V_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}-\log\left( n+\dfrac{1}{2}\right),\] nous allons vérifier que la convergence est notablement accélérée, plus précisément nous avons \[\dfrac{1}{24(n+1)^2}<V_n-\gamma<\dfrac{1}{24n^2},\ n\in\mathbb N.\] Pour cela, soit $f(x)=-(x+1)^{-1}-log(x+\frac{1}{2})+log(x+\frac{3}{2})$.

$\rightsquigarrow\quad$ Vérifier que $V_n-V_{n+1}=f(n),\ n\in\mathbb N$.

$\rightsquigarrow\quad$ Montrer que $-f'(x)<\frac{1}{4}(x+\frac{1}{2})^{-4}.$ En déduire que \[f(k) \leq \dfrac{1}{12}(k+\dfrac{1}{2})^{-3}<\int_k^{k+1}t^{-3}\dfrac{dt}{12}\] et montrer l’inégalité de droite.

$\rightsquigarrow\quad$ Faire de même à gauche et conclure.

A la recherche des points isolés de $\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\},\ P\in\mathbb C[x]$ *

[rms]-2005.

Soit $P\in\mathbb C[x]$, un polynôme non constant. L’objectif est de déterminer les points isolés de $\mathscr E:=\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\}$

Soit $A\in\mathscr E$, montrer qu’il existe une voisinage $V$ de l’origine dans $M_n(\mathbb C)$ tel que $(I_n+H)A(I_n+H)^{-1}=A$ pour tout $H\in V$.
Si de plus $A$ est isolée, montrer que $AM=MA$ pour toute matrice $M\in M_n(\mathbb C)$, en déduire que $A=\lambda I_n,\ \lambda\in\mathbb C$.
Soit $\lambda$ une racine de $P$ de multiplicité supérieure ou égale à 2 ; à l’aide des matrices $M_k=\lambda I_n+k^{-1}E_{12}$, montrer que $\lambda I_n\not\in \rm{Iso}(\mathscr E)$. Enfin, montrer que $\rm{Iso}(\mathscr E)$ est l’ensemble des matrices scalaires $\lambda I_n$ où $\lambda$ est racine de $P$ de multiplicité 1.

Supplémentaires universels d’un espace de dimension finie *

[amm] 7-1985 & 8-1986.

Soit $E$ un $\mathbb K$ espace vectoriel de dimension finie $d$. On dira qu’une famille $(E_i)_{i\in I}$ ($I$ est au plus dénombrable) de sous-espaces de même dimension $k$ de $E$ admet un supplémentaire universel $F$ dans $E$ si $E_i\oplus F=E$ pour tout $i\in I$.

Étudier le cas où $E=\mathbb Z/2\mathbb Z$.
Ici $\mathbb K=\mathbb R$ ($\mathbb K=\mathbb C$ se traite de même) et pour tout $i\in I$, $(e^i_1,e^i_2,\dots,e^i_k)$ désignera une base de $E_i$ enfin, si $E^{d-k}=E\times\dots\times E$ désigne le $d-k$ produit cartésien de $E$ avec lui-même on définit $f_i\ :\ E^{d-k}\to\mathbb R$ par \[f_i\ :\ E^{d-k}\ni (v_1,\dots,v_{d-k})\mapsto f_i(v_1,\dots,v_{d-k}):=\det(e^i_1,e^i_2,\dots,e^i_k,v_1,\dots,v_{d-k})\in\mathbb R.\]

- Montrer que $O_i=f_i^{-1}(\mathbb R^\star)$ est un ouvert dense de $E^{d-k}$.

- Conclure.

Partie entière de $\sum_{k=1}^{10^9}k^{-2/3}$ *

[fgna1].

Déterminer la partie entière de $\displaystyle\sum_{k=1}^{10^9}k^{-2/3}$.

Le saviez vous ? *

[wizehall], [amm] (1974-81).

Montrer qu’il existe une famille non dénombrable $(N_x)_{x\in\mathbb R}$ de parties deux à deux distinctes de $\mathbb N$ qui soit totalement ordonnée pour l’inclusion.
Montrer qu’il existe une famille non dénombrable $(N_x)_{x\in\mathbb R}$ de parties deux à deux distinctes de $\mathbb N$ dont l’intersection de deux quelconques éléments est finie.

Analyse sur une ligne brisée *

On considère une ligne brisée dont les longueurs $L_1, L_2,\dots L_n,\dots$ des segments successifs $S_1,S_2,\dots,S_n,\dots$ valent respectivement $1,1/2,\dots,1/n,\dots$. Soit $\theta\in [0,2\pi[$, on suppose en outre que chaque segment fait avec le précédent un angle $\theta$. Déterminer la distance et l’angle entre l’extrémité initiale et finale (lorsqu’elle existe...) de cette ligne brisée.

La formule de Stirling via la loi de Poisson *

[amm], 2007-3.

Soit $X_\lambda$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathscr A, p)$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$, i.e. \[p(X_\lambda=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k\in\mathbb N.\]

Calculer sa fonction caractéristique $\varphi_{X_\lambda}$ et montrer que \[I_k:=\dfrac{k^k}{k!}e^{-\lambda}=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\,e^{k(e^{i\theta}-1-i\theta)}d\theta,\quad \forall\, k\in\mathbb N.\]
En déduire la formule Stirling \[k!\simeq \left( \dfrac{k}{e}\right)^k\cdot\sqrt{2\pi k}.\]

Preuve probabiliste du théorème d’approximation de Bernstein *

[ledoux], [ouvrard].

Pour $f\in\mathscr C^0([0,1])$, $B_n$ désigne le $n$-ième polynôme de Bernstein associé à $f$, il est défini par \[B_n(f,x)=\sum_{k=0}^n\,f\left( \dfrac{k}{n}\right) \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}.\] (avec la convention $0^0=1$). Soit, sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathscr A, P)$ et pour $x\in [0,1]$ une suite $(X_n)_n$ de variables aléatoire indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètre $x$. On note \[S_n=\sum_{k=1}^n X_k.\]

Déterminer la moyenne ${\rm E}\left[ f\left( \dfrac{S_n}{n}\right)\right] .$
Pour $\varepsilon>0$ on pose \[\delta(\varepsilon)=\sup\left\lbrace \,\vert f(x)-f(y)\vert\ :\ x,y\in[0,1],\ \vert x-y\vert\leq \varepsilon\,\right\rbrace.\] Démontrer que \[\sup_{x\in[0,1]}\left\vert\, B_n(f,x)-f(x)\right\vert\leq \delta(\varepsilon)+\dfrac{2\Vert f\Vert_\infty}{n\varepsilon^2}\] et en déduire que la suite $(B_n(f,\cdot))_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers $f$.

Équicontinuité *

Pour $n\in\mathbb N$ on pose $f_n(x)=\sin(nx)$ ; étudier l’équicontinuité sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_n$.
Soient $X$ un espace métrique, $(f_n)_n\subset\mathscr C(X)$. Démontrer que si la suite $(f_n)_n$ est équicontinue en un point $x\in X$ alors, pour toute suite $(x_n)_n$ dans $X$ convergente vers $x$ la suite $(f_n(x_n)-f_n(x))_n$ converge vers $0$. En déduire que la suite de terme général $f_n(x)=\sin(nx)$ n’est équicontinue en aucun point $x\in\mathbb R$.
On munit l’espace $\mathscr C_b(\mathbb R_+,\mathbb R)$ des fonctions continues et bornées sur $\mathbb R_+$ de la norme sup et soit dans $\mathscr C_b(\mathbb R_+,\mathbb R)$ la suite de terme général \[f_n(x)=\sin\sqrt{x+4\pi^2n^2},\quad x\in\mathbb R_+,\ n\in\mathbb N.\]

- Montrer que la suite $(f_n)_n$ est uniformément équicontinue sur $\mathbb R_+$.

- Montrer que $(f_n)_n$ est simplement convergente sur $\mathbb R_+$ vers $f\equiv 0$ et que $f_n(\mathbb R_)$ est relativement compact pour tout entier $n$.

- Supposons $(f_n)_n$ relativement compacte dans $\mathscr C_b(\mathbb R_+,\mathbb R)$, montrer qu’elle converge uniformément sur $\mathbb R_+$. En déduire que $(f_n)_n$ n’est pas relativement compacte dans $\mathscr C_b(\mathbb R_+,\mathbb R)$.

L’équation $\det(A+X)=\det(X),\ X\in M_n(\mathbb R)$. * Polytechnique

[rms] 2001/2002.

0n considère une matrice $A\in M_n(\mathbb R)$ vérifiant \[\det(A+X)=\det(X),\quad\forall\, X\in M_n(\mathbb R).\] Montrer que $A$ est la matrice nulle. En déduire que si $A,B\in M_n(\mathbb R)$ vérifient $\forall\,X\in M_n(\mathbb R)\ :\ \det(A+X)=\det(B+X)$, alors $A=B$.

Isométries rationnellles *

[putnam]

Montrer qu’une tranformation $T$ du plan dans lui même préservant les distances rationnelles est une isométrie.
Montrer que le résultat correspondant sur la droite réelle est faux.

Une fonction continue nulle part dérivable *

[boas], [hau].

(Préliminaire) Soient $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$, $f\ :\ I\to\mathbb R$ une application dérivable un point $a\in I$ montrer que pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que \[\left\vert\dfrac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}-\dfrac{f(u_1)-f(u_2)}{u_1-u_2}\right\vert<\varepsilon\] pour tous $t_1<a<t_2,\ u_1<a<u_2$ dans $]a-\delta,a+\delta[$.
Soit $G\ :\ \mathbb R\to\mathbb R$ définie par $G(x)=\text{dist}(x,\mathbb Z)$ ; pour $n\in\mathbb N$ on pose $G_(x)=\text{dist}(2^nx,\mathbb Z)$ puis $H(x)=\sum_{n\geq 0}2^{-n}G_n(x)$.

-Montrer que $H\in\mathscr C^0(\mathbb R)$ et que la réunion des points de non dérivabilité des fonctions $G_n$ est dense dans $\mathbb R$.

Soient $a\in\mathbb R,\ \delta>0$.

-Montrer qu’il existe $k\in\mathbb N,\ r\in\mathbb Z$ tels que \[a-\delta<x_1=\dfrac{r}{2^k}<x_2=\dfrac{r+1}{2^k}<a+\delta\] et étudier la quantité \[\dfrac{H(\xi)-f(x_1)}{\xi-x_1}-\dfrac{H(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\] (où $\xi=(x_1+x_2)/2$) pour en déduire la non dérivabilité de $H$ au point $a$.

Restes et sommes partielles de deux séries *

[hau].

Soient pour $n\in\mathbb N^\star$ \[a_n=(-1)^n, b_n=(-1)^n+\dfrac{1}{n},\ c_n=\dfrac{(-1)^n}{n},\ d_n=\dfrac{(-1)^n}{n}+\dfrac{1}{n\sqrt{n}}.\]

Montrer que $a_n\sim_n b_n$, que les deux séries $\sum_n\,a_n,\ \sum_n\,b_n$ divergent mais que leurs sommes partielles ne sont pas équivalentes.
Montrer que $c_n\sim_n d_n$, que les deux séries $\sum_n\,c_n,\ \sum_n\,d_n$ convergent mais que leurs restes ne sont pas équivalents.

Géométrie *

[putnam]

Soit $HOMF$ un rectangle avec $HO=11,\ OM=5$. Soit $ABC$ un triangle tel que : $H$ est à l’intersection des hauteurs, $O$ est le centre du cercle circonscrit, $M$ est le milieu de $BC$ et $F$ est le pied de la hauteur issue de $A$. Déterminer la longueur du segment $BC$.

Donner plusieurs démonstrations de l’irrationalité de $\sqrt{2}$.

$\forall\,F$ fermé dans $\mathbb R$, $\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)$. *

Soit $F$ un fermé de $\mathbb R$, construire une fonction $f\in\mathbb C^\infty(\mathbb R, \mathbb R_+^\star)$ telle que $F=f^{-1}(0)$. Commencer par traiter le cas où $\Omega=\mathbb R\setminus F$ est un intervalle.

${\text{dist}}(a, \ker(T))$ où $T$ est une forme linéaire continue. *

Soient $E$ un espace vectoriel normé, $T\in E'$ une forme linéaire continue non identiquement nulle sur $E$.

Montrer que pour tout $a\in E\setminus\ker(T)$, ${\mid\mid\mid T\mid\mid\mid}=\dfrac{\vert T(a)\vert}{{\text{dist}}(a, \ker(T))}$.
Dans l’espace de Banach $c_0(\mathbb N)$ des suites réelles convergentes vers $0$ (muni de la norme sup) on considère

$\forall\,F$ fermé dans $\mathbb R$, $\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)$. (part. 3) *

Le but de cet exercice est la construction d’une fonction infiniment dérivable non identiquement nulle et nulle en dehors d’une intervalle fermé.

Étant donné $f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R$, on appelle support de $f$ le plus petit fermé de $\mathbb R$ tel que $f$ soit nulle sur son complémentaire. Si le support est borné, on dit que $f$ est à support compact. Soit $\alpha$ un réel strictement positif, on définit la fonction $H_\alpha$ sur $\mathbb R$ par \[H_\alpha(x)=\begin{cases} 1/\alpha,\quad&{\text{si }}\ x\in]0,\alpha[,\\ 0,\quad&\text{sinon.}\end{cases}\] Soit $(a_n)_n$ une suite décroissante de réels strictement positifs telle que la série $\sum_n a_n$ converge, on note $a$ sa somme. Pour $m\in\mathbb N$ on désigne par $\mathscr C^m_{0,a}$ l’ensemble des fonctions de classe $\mathscr C^m$ sur $\mathbb R$ à support inclu dans $[0,a]$.

1) Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ ou possédant un nombre fini de discontinuités et à support compact. On définit la fonction $f*g$ pour $x\in\mathbb R$ pa r \[(f*g)(x)=\int_\mathbb R\, f(t)g(x-t)dt.\] Montrer que $f*g$ est une fonction à support compact et plus précidément si pour $\alpha,\beta\in\mathbb R_+^\star$, $f$ (resp. $g$) est à support compact dans $[0,\alpha]$ (resp. $[0,\beta]$), alors $f*g$ est à support compact dans $[0,\alpha+\beta]$. Donner également une expression simple de \[\int_\mathbb R\,(f*g)(x)dx.\] 2) On définit la fonction $u_1$ par \[u_1=H_{a_0}*H_{a_1}.\] Déterminer explicitement $u_1$ et en déduire $m_1$ le plus grand entier tel que $u_1$ appartienne à $\mathscr C^m_{0,a}$.

3) On définit maintenant la fonction $u_k$ par \[u_k=u_{k-1}*H_{a_k}.\] Déterminer $m_k$ le plus grand entier tel que $u_k$ appartienne à $\mathscr C^m_{0,a}$.

4) Montrer que pour $k\geq 2$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on a pour tout $j\leq m_k$, \[\vert u^{(j)}_k(x)\vert\leq \dfrac{2^j}{a_0\dots a_j}.\]

5) Montrer que pour tout couple d’entiers $k,m$ supérieurs ou égaux à 2, et pour tout $x\in\mathbb R$, on a : \[\vert u_{k+m}(x)-u_m(x)\vert \leq 2\cdot\dfrac{a_{m+1}+\cdots +a_{m+k}}{a_0a_1}.\]

6) Montrer que, quand $k$ tends vers $+\infty$, la suite $(u_k)_k$ converge uniformément sur $\mathbb R$ vers une fonction $u$ appartenant à $\mathscr C^\infty_{0,a}$. Montrer également que \[\int_\mathbb R\, u(x)dx=1.\]

$e$ est transcendant *

0n suppose

$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\,\binom{n}{k}^{-k}\geq \left(\frac{n+1}{2^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}$ *

CMJ 2-2008, problème 846.

Montrer que pour tout $n\in\mathbb N^\star$ \[\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\,\binom{n}{k}^{-k}\geq \left(\dfrac{n+1}{2^n}\right)^{\frac{n+1}{2}}.\]

Polynômes et inégalité arithmético-géométrique *

On suppose que le polynôme \[P(x)=x^n+a_{1}x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+1,\quad a_i\geq 0,\ i=1\dots n-1.\] n’admet que des racines réelles. Montrer que

$P(2)\geq 3^n$.
$P(x)\geq (x+1)^n,\quad \forall\,x\in\mathbb R^+.$
$a_{k}\geq\binom{n}{k},\quad \ k=1\dots n-1.$

Co-trigonalisation *

[fgna1]

Soient $A,B\in M_n(\mathbb C)$ telles que $AB=BA$.

Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre commun.
Montrer que $A$ et $B$ se trigonalisent simultanément.

Diagonalisation simultanée *

[fgna1]

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.

Montrer que la restriction d’un endomorphisme à un sous-espace stable est diagonalisable.
Soit $\mathscr A\subset\mathscr L(E)$ une famille d’endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux, montrer qu’il existe une base commune de diagonalisation pour les éléments de $\mathscr A$.

Algèbre linéaire : exercices d’échauffement *