Exercice
Exercice 1329
9 novembre 2022 12:19
— Par Patrice Lassère
Bibliographie
[rms], 110-9/10.
Montrer qu’un polynôme trigonométrique de degré \(n\) qui admet au moins \(2n+1\) racines distinctes dans l’intervalle \([0,2\pi[\) est identiquement nul.
Soit \(f\) un polynôme trigonométrique de degré \(n\) à valeurs réelles. On suppose que \(f'(0)=\Vert f'\Vert_\infty>n\Vert f\Vert\) et on considère le polynôme trigonométrique \(g(x)=n^{-1}\Vert f'\Vert_\infty\sin(nx)-f(x)\).
-Montrer que \(g\) admet au moins \(2n\) racines distinctes sur \([0,2\pi[\).
-Montrer que \(g'\) admet au moins \(2n+1\) racines distinctes sur \([0,2\pi]\).
-Montrer que \(g''\) admet au moins \(2n+1\) racines distinctes sur \([0,2\pi[\). Conclusion ?
Soit \(f\) un polynôme trigonométrique de degré \(n\) à valeurs réelles. Montrer que \[\Vert f'\Vert_\infty\leq n\Vert f\Vert_\infty\qquad\text{(Inégalité de Bernstein)}.\]
([ney], exo. 1.8.3).
Soit \(f\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\) vérifiant l’inégalité de la moyenne suivante \[f(x)\leq \dfrac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}f(t)dt,\quad\forall\,x\in\mathbb R,\ h\in\mathbb R_+^\star.\] Montrer que
Le maximum de \(f\) sur tout segment est atteint en une des extrémités.
\(f\) est convexe.
[letac], exercice 12.
Donner une preuve probabiliste de l’affirmation suivante : la somme des coefficients de \(x^0, x^1, x^2,\dots, x^{n-1}\) dans le développement en série de Taylor de \((2-x)^{-n}\) est \(1/2\).
[rms], 2004.
Soit \((P_k)_k\subset\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]\). On suppose que pour tout \(x\in\mathbb C^n\) il existe \(k\in\mathbb N\) tel que \(P_k(x)=0\). Montrer qu’il existe un entier \(k\) tel que \(P_k\) soit le polynôme nul.
Si on remplace \(\mathbb C\) par \(\mathbb Q\), la conclusion de la première question reste-t-elle valable ?
[amm], E 733-1947.
Montrer que toute matrice magique \(A\in M_n(\mathbb R)\) admet \(n(n^2+1)/2\) comme valeur propre.
[amm], (8)1986.
Un fonction arithmétique \(f\,:\ \mathbb N\to\mathbb N\) non identiquement nulle est dite multiplicative si \[f(mn)=f(m)f(n)\quad \text{dès que}\ \ m\wedge n=1,\] et complétement multiplicative si \[f(mn)=f(m)f(n)\quad \text{pour tous}\ n,m\in\mathbb N.\]
Montrer que si \(f\) est complétement multiplicative et croissante, il existe une constante \(\alpha\) telle que \(f(n)=n^\alpha,\ \forall\,n\in\mathbb N^\star\).
Montrer que toute application multiplicative croissante est complétement multiplicative.
[rms]-2006.
Montrer que l’application \(f\ :\ M_n(\mathbb R)\to\mathbb R^n\) définie par \[f(M)=(\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n)),\quad M\in M_n(\mathbb R^n)\] est différentiable et calculer \(df(M)(H)\).
Soit \(M\in M_n(\mathbb R)\). montrer que le rang de \(df(M)\) est égal au degré du polynôme minimal de \(M\).
En déduire que l’ensemble des matrices de \(M_n(\mathbb R)\) dont le polynôme caractéristique coïncide avec le polynôme minimal est un ouvert de \(M_n(\mathbb R)\).
[amm], mai 1993.
La constante d’Euler \(\gamma\) est traditionellement définie par la limite \[\gamma=\lim_{n\to\infty}U_n:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}-\log(n)\right):=\lim_{n\to\infty}U_n.\]
Montrer que \(\quad \dfrac{1}{2(n+1)}<U_n-\gamma<\dfrac{1}{2n},\ n\in\mathbb N.\)
Si on modifie légèrement la suite \((U_n)_n\) en la remplacant par la suite \((V_n)_n\) où \[V_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}-\log\left( n+\dfrac{1}{2}\right),\] nous allons vérifier que la convergence est notablement accélérée, plus précisément nous avons \[\dfrac{1}{24(n+1)^2}<V_n-\gamma<\dfrac{1}{24n^2},\ n\in\mathbb N.\] Pour cela, soit \(f(x)=-(x+1)^{-1}-log(x+\frac{1}{2})+log(x+\frac{3}{2})\).
\(\rightsquigarrow\quad\) Vérifier que \(V_n-V_{n+1}=f(n),\ n\in\mathbb N\).
\(\rightsquigarrow\quad\) Montrer que \(-f'(x)<\frac{1}{4}(x+\frac{1}{2})^{-4}.\) En déduire que \[f(k) \leq \dfrac{1}{12}(k+\dfrac{1}{2})^{-3}<\int_k^{k+1}t^{-3}\dfrac{dt}{12}\] et montrer l’inégalité de droite.
\(\rightsquigarrow\quad\) Faire de même à gauche et conclure.
[rms]-2005.
Soit \(P\in\mathbb C[x]\), un polynôme non constant. L’objectif est de déterminer les points isolés de \(\mathscr E:=\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\}\)
Soit \(A\in\mathscr E\), montrer qu’il existe une voisinage \(V\) de l’origine dans \(M_n(\mathbb C)\) tel que \((I_n+H)A(I_n+H)^{-1}=A\) pour tout \(H\in V\).
Si de plus \(A\) est isolée, montrer que \(AM=MA\) pour toute matrice \(M\in M_n(\mathbb C)\), en déduire que \(A=\lambda I_n,\ \lambda\in\mathbb C\).
Soit \(\lambda\) une racine de \(P\) de multiplicité supérieure ou égale à 2 ; à l’aide des matrices \(M_k=\lambda I_n+k^{-1}E_{12}\), montrer que \(\lambda I_n\not\in \rm{Iso}(\mathscr E)\). Enfin, montrer que \(\rm{Iso}(\mathscr E)\) est l’ensemble des matrices scalaires \(\lambda I_n\) où \(\lambda\) est racine de \(P\) de multiplicité 1.
[amm] 7-1985 & 8-1986.
Soit \(E\) un \(\mathbb K\) espace vectoriel de dimension finie \(d\). On dira qu’une famille \((E_i)_{i\in I}\) (\(I\) est au plus dénombrable) de sous-espaces de même dimension \(k\) de \(E\) admet un supplémentaire universel \(F\) dans \(E\) si \(E_i\oplus F=E\) pour tout \(i\in I\).
Étudier le cas où \(E=\mathbb Z/2\mathbb Z\).
Ici \(\mathbb K=\mathbb R\) (\(\mathbb K=\mathbb C\) se traite de même) et pour tout \(i\in I\), \((e^i_1,e^i_2,\dots,e^i_k)\) désignera une base de \(E_i\) enfin, si \(E^{d-k}=E\times\dots\times E\) désigne le \(d-k\) produit cartésien de \(E\) avec lui-même on définit \(f_i\ :\ E^{d-k}\to\mathbb R\) par \[f_i\ :\ E^{d-k}\ni (v_1,\dots,v_{d-k})\mapsto f_i(v_1,\dots,v_{d-k}):=\det(e^i_1,e^i_2,\dots,e^i_k,v_1,\dots,v_{d-k})\in\mathbb R.\]
- Montrer que \(O_i=f_i^{-1}(\mathbb R^\star)\) est un ouvert dense de \(E^{d-k}\).
- Conclure.
[amm], 2007-3.
Soit \(X_\lambda\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr A, p)\) suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\), i.e. \[p(X_\lambda=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k\in\mathbb N.\]
Calculer sa fonction caractéristique \(\varphi_{X_\lambda}\) et montrer que \[I_k:=\dfrac{k^k}{k!}e^{-\lambda}=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\,e^{k(e^{i\theta}-1-i\theta)}d\theta,\quad \forall\, k\in\mathbb N.\]
En déduire la formule Stirling \[k!\simeq \left( \dfrac{k}{e}\right)^k\cdot\sqrt{2\pi k}.\]
[rms] 2001/2002.
0n considère une matrice \(A\in M_n(\mathbb R)\) vérifiant \[\det(A+X)=\det(X),\quad\forall\, X\in M_n(\mathbb R).\] Montrer que \(A\) est la matrice nulle. En déduire que si \(A,B\in M_n(\mathbb R)\) vérifient \(\forall\,X\in M_n(\mathbb R)\ :\ \det(A+X)=\det(B+X)\), alors \(A=B\).