Analyse fonctionnelle

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Exercices dans ce dossier

Exercice

Une bijection linéaire continue dont l’application réciproque est discontinue *

9 novembre 2022 23:11 — Par Patrice Lassère

On munit l’espace \(\mathscr O(\mathbb C)\) des fonctions entières de la norme \[\Vert f\Vert= \sup_{\vert z\vert=1}\vert f(z)\vert,\quad f\in\mathscr O(\mathbb C).\] Considérons l’opérateur \(L : \mathscr O(\mathbb C)\to \mathscr O(\mathbb C)\) définit par \(L(f)(z)=f(z/2)\).

  1. Montrer que \(L\) est une bijection et vérifie \(\Vert L(f)-L(g)\Vert\leq \Vert f-g\Vert,\quad \forall\,f,g\in\mathscr O(\mathbb C)\).

  2. Pour \(f\in\mathscr O(\mathbb C)\) on pose \(f_n(z)=f(z)+\left( \frac{z}{2}\right)^n\). Montrer que la suite \((f_n)_n\) converge vers \(f\) dans \((\mathscr O(\mathbb C),\Vert.\Vert)\) puis, que \(L^{-1}\) est discontinue au point \(f\).

  3. \((\mathscr O(\mathbb C),\Vert.\Vert)\) est-il un espace de Banach ? Donner une preuve directe de ce résultat.

Exercice

Forme faible du théorème de Müntz *

9 novembre 2022 23:12 — Par Patrice Lassère

Soit \((\lambda_n)_n\) une suite strictement croissante de réels positifs vérifiant

\[\begin{cases} \lambda_0=0\\ \lim_{n\to\infty} \lambda_n=+\infty,\\ \sum_{n\geq 1}\lambda_n^{-1}=+\infty.\end{cases}\]

On considère \(E=\text{vect}\{x^{\lambda_k},\ k\in\mathbb N\}\) le sous espace vectoriel de \(\mathscr C^0([0,1])\), l’objectif est ici de montrer le théorème de Müntz : sous ces hypothèses, \(E\) est dense dans \(\mathscr C^0([0,1])\) pour la topologie de la convergence uniforme sur \([0,1]\).

Pour cela, à tout \(m\in\mathbb N^\star\) distinct de tous les \(\lambda_n,\ n\geq 1\) on associe la suite \((R_n)_n\)

dans \(\mathscr C^0([0,1])\) définie par :

\[\begin{cases} R_0(x)=x^m,\ x\in[0,1]\\ R_n(x)=(\lambda_n-m)x^{\lambda_n}\int_x^1R_{n-1}(t)t^ {-1-\lambda_n}dt,\quad n\geq 1,\ x\in[0,1]. \end{cases}\]

  1. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), il existe une suite \((a_{n,k})_{k=0}^n\) de réels telle que

    \[R_n(x)=x^m-\sum_{k=0}^na_{n,k}x^{\lambda_k},\quad x\in[0,1].\]

  2. Montrer que pour tout \(n\geq 1\) : \[\Vert R_n\Vert_\infty\leq\delta_n := \prod_{k=1}^n\left\vert1-{m\over\lambda_k}\right\vert\]

  3. Montrer que la suite de fonctions \(\left ( \sum_{k=0}^na_{n,k}x^{\lambda_k}\right)_n\) converge uniformément sur \([0,1]\) vers \(e_m(x)=x^m\).

  4. Conclure.

Exercice

Sous-espaces de \(\mathscr C([0,1])\) fermés dans \(L^2([0,1]\)) *

9 novembre 2022 23:12 — Par Patrice Lassère

(
[rms], 2003/04 et [amm]-????

Soit \(E= \mathscr C\left([0,1],\mathbb R\right)\) et \(F\) un sous-espace de \(E\) tel que :

\[\exists \,C>0 \quad :\quad \forall\,f\in F \quad :\quad \Vert f\Vert_\infty\leq C\Vert f\Vert_2 {(\text{$\star$})}\]

  1. Montrer que \(F\ne E\).

  2. Montrer que \(F\) est de dimension finie inférieure à \(C^2\).

  3. Donner un exemple pour \(C= \sqrt n\).

Exercice

Opérateur de dérivation *

9 novembre 2022 23:12 — Par Patrice Lassère

[rms], 1998/99.

Soit \(D\,:\,f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\mapsto D(f)=f'\). Existe-t-il \(T\in\mathscr L(\mathscr C^\infty(\mathbb R))\) tel que \(T\circ T=T^2= D\) ?

Exercice

\((\Vert 1_E-T\Vert<1,\ T\in\mathscr L(E))\Rightarrow(T\ {\text{inversible}})\ \) ? *

9 novembre 2022 23:12 — Par Patrice Lassère

[amm], 1984/9.

Soient \(T\ :\ E\to E\) un opérateur continu sur un espace vectoriel normé \(E\) vérifiant \(\Vert 1_E-T\Vert<1\).

  1. Si \(E\) est un espace de Hilbert (ou une algèbre de Banach), montrer que \(T\) est inversible.

  2. Montrer que l’hypothèse de complétude sur \(E\) est essentielle.

Exercice

Une permutation qui conserve les séries convergentes *

9 novembre 2022 23:12 — Par Patrice Lassère

[amm] 1-2006.

On considère l’espace vectoriel \(\mathscr S\) des suites \(\textbf{a}=(a_n)_n\) de nombres réels telles que la série \(\sum_0^\infty a_n\) converge.

Soit \(\pi\ :\ \mathbb N\to\mathbb N\) une permutation telle que pour tout \(\textbf{a}=(a_k)_0^\infty\in\mathscr S\) la série \(\sum_{k=0}^\infty a_{\pi(k)}\) converge. On va montrer que \[\sum_{k=0}^\infty a_{\pi(k)}=\sum_{k=0}^\infty a_k,\quad\forall\,\textbf{a}\in\mathscr S.\]

  1. Montrer que \(\mathscr S\), muni de la norme \(\displaystyle\Vert \textbf{a}\Vert=\sup_{n\in\mathbb N}\left\lbrace \left\vert\sum_{k=0}^n a_k\right\vert\right\rbrace\) est un espace de Banach.

  2. Montrer que les formes linéaires sur \(\mathscr S\) ci-dessous sont continues \[\begin{aligned}&U_n\ &:&\quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto U_n(\textbf{a})=\sum_{k=0}^n a_k,\\ &T_n\ &:&\quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto T_n(\textbf{a})=a_n,\\ &T\ &:&\quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto T(\textbf{a})=\sum_{k=0}^\infty a_k. \end{aligned}\]

  3. Montrer que l’application linéaire \(T_\pi \quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto T_\pi(\textbf{a})=(a_{\pi(k)})_k\) est continue.

  4. En déduire que \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^\infty a_{\pi(n)},\quad\forall\,\textbf{a}=(a_n)\in\mathscr S.\)

Exercice

Topologie de la convergence simple : points adhérents et suites *

9 novembre 2022 23:12 — Par Patrice Lassère

Soit \(\mathscr T\) la topologie sur \(\mathscr C([0,1])\) engendrée par le système de voisinages \[V_{F, f,\varepsilon}=\left\lbrace \,g\in\mathscr C([0,1])\ :\ \vert f(x)-g(x)\vert<\varepsilon,\ \forall\,x\in F\,\right\rbrace,\]\(F\) est une partie finie non vide dans \([0,1]\), \(f\in\mathscr C([0,1]),\ \varepsilon>0\) (c’est la topologie de la convergence simple sur \([0,1]\) i.e. engendrée par la famille de semi-normes \((p_x)_{x\in[0,1]}\) avec \(p_x(f)=\vert f(x)\vert\)). On considère alors le sous-ensemble de \(\mathscr C([0,1])\) définit par \[\mathscr A=\left\lbrace\, f\in\mathscr C([0,1])\ :\ 0\leq f(x)\leq 1\ {\text{et}}\ \lambda(x\in[0,1]\ :\ f(x)=1)\geq 1/2\,\right\rbrace.\] (\(\lambda\) est la mesure de Lebesgue) Montrer que la fonction identiquement nulle \(0\) est adhérente à \(\mathscr A\) bien qu’il n’existe pas de suite \((f_n)_n\subset\mathscr A\) qui converge vers \(0\) dans \((\mathscr C([0,1]),\,\mathscr T)\).

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