Exercice
Exercice 1329
9 novembre 2022 12:19
— Par Patrice Lassère
Bibliographie
[rms], 1998/99.
Soit \(D\,:\,f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\mapsto D(f)=f'\). Existe-t-il \(T\in\mathscr L(\mathscr C^\infty(\mathbb R))\) tel que \(T\circ T=T^2= D\) ?
[amm], 1984/9.
Soient \(T\ :\ E\to E\) un opérateur continu sur un espace vectoriel normé \(E\) vérifiant \(\Vert 1_E-T\Vert<1\).
Si \(E\) est un espace de Hilbert (ou une algèbre de Banach), montrer que \(T\) est inversible.
Montrer que l’hypothèse de complétude sur \(E\) est essentielle.
[amm] 1-2006.
On considère l’espace vectoriel \(\mathscr S\) des suites \(\textbf{a}=(a_n)_n\) de nombres réels telles que la série \(\sum_0^\infty a_n\) converge.
Soit \(\pi\ :\ \mathbb N\to\mathbb N\) une permutation telle que pour tout \(\textbf{a}=(a_k)_0^\infty\in\mathscr S\) la série \(\sum_{k=0}^\infty a_{\pi(k)}\) converge. On va montrer que \[\sum_{k=0}^\infty a_{\pi(k)}=\sum_{k=0}^\infty a_k,\quad\forall\,\textbf{a}\in\mathscr S.\]
Montrer que \(\mathscr S\), muni de la norme \(\displaystyle\Vert \textbf{a}\Vert=\sup_{n\in\mathbb N}\left\lbrace \left\vert\sum_{k=0}^n a_k\right\vert\right\rbrace\) est un espace de Banach.
Montrer que les formes linéaires sur \(\mathscr S\) ci-dessous sont continues \[\begin{aligned}&U_n\ &:&\quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto U_n(\textbf{a})=\sum_{k=0}^n a_k,\\ &T_n\ &:&\quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto T_n(\textbf{a})=a_n,\\ &T\ &:&\quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto T(\textbf{a})=\sum_{k=0}^\infty a_k. \end{aligned}\]
Montrer que l’application linéaire \(T_\pi \quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto T_\pi(\textbf{a})=(a_{\pi(k)})_k\) est continue.
En déduire que \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n=\sum_{n=0}^\infty a_{\pi(n)},\quad\forall\,\textbf{a}=(a_n)\in\mathscr S.\)