Exercice
Exercice 1329
9 novembre 2022 12:19
— Par Patrice Lassère
Bibliographie
D’après Charles A. McCarthy , [amm], "The Cayley-Hamilton Theorem", The American Mathematical Monthly, 82 (4), 1975, p. 390–391
Soient \(A\in M_n(\mathbb C)\) une matrice carrée complexe, \(k\in\mathbb N^\star\). Montrer qu’il existe \(R\geq 0\) tel que \[\forall\,r\geq R\ :\ A^k=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left( re^{it}\right)^{k+1}\left( re^{it}Id-A\right)^{-1} dt.\]
En déduire le théorème de Cayley-Hamilton.
( C.Blair & L.A.Rubel, [amm], 5-1983).
Montrer qu’il existe une fonction entière \(f\) telle que l’ensemble \(\{ f^{(n)},\ n\in\mathbb N\}\) de toute les dérivées de \(f\) soit dense dans l’ensemble des fonctions entières \(\mathscr O(\mathbb C)\). Une telle fonction est dire universelle.