Fonctions holomorphes

Exercices dans ce dossier

Exercice

Le théorème de Rolle version holomorphe *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\) une fonction holomorphe sur un ouvert convexe \(D\subset \mathbb C\), pour \(a\ne b\in D\) vérifiant \(f(a)=f(b)\), montrer qu’il existe \[z_1,z_2\in]a,b[=\{\,a+t(b-a),\ 0<t<1\,\}\] vérifiant \[\text{re}(f'(z_1))= \text{im}(f'(z_2))=0.\]

Exercice

Une preuve presque holomorphe du théorème de Cayley-Hamilton *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

D’après Charles A. McCarthy ,
[amm], "The Cayley-Hamilton Theorem", The American Mathematical Monthly, 82 (4), 1975, p. 390–391

  1. Soient \(A\in M_n(\mathbb C)\) une matrice carrée complexe, \(k\in\mathbb N^\star\). Montrer qu’il existe \(R\geq 0\) tel que \[\forall\,r\geq R\ :\ A^k=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left( re^{it}\right)^{k+1}\left( re^{it}Id-A\right)^{-1} dt.\]

  2. En déduire le théorème de Cayley-Hamilton.

Exercice

Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l’origine. *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Bak & Newman, C.Zuily ref. ??

On pose pour \(z\in\mathbb C\) \[f(z)=\int_0^{\infty}\dfrac{e^{zt}}{t^t}dt.\]

  1. Montrer que \(f\) est bien définie et continue sur \(\mathbb C\).

  2. Montrer que \(f\) est holomorphe sur \(\mathbb C\) et y vérifie \(\overline{f(z)}=f(\overline z)\).

  3. On désigne par \(\log\) la fonction logarithme définie dans le demi-plan \(U=\{ z=x+iy\ :\ x+y>0\}\) qui coïncide avec le logarithme usuel sur le demi-axe réel positif et par \(w\mapsto w^w\) la fonction holomorphe sur \(U\) égale à \(\exp(w\log(w))\). Soient enfin \(C_r\) et \(C_\varepsilon\) les quarts de cercles de rayon respectivement \(r\) et \(\varepsilon\) centrés à l’origine dans le premier quadrant. En intégrant la fonction \(w\mapsto \dfrac{\exp(wz)}{w^w}\) sur le contour ci-contre, montrer que \[f(z)=\int_0^\infty\dfrac{\exp(itz)}{\exp(it\log(t)-t\frac{\pi}{2})}- \lim_{r\to\infty}\int_{C_r}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw.\]

  4. Pour \(z=x+iy\) avec \(y=\frac{\pi}{2}+C\)\(C>0\). Montrer que la première intégrale est majorée par \(C^{-1}\) et en déduire que \(\vert f(z)\vert\leq C^{-1}\). Montrer que \(\vert f(z)\vert\leq 1\) pour \(\vert\text{Im}(z)\vert\geq \pi\).

  5. Soit \(g(z)=f(z-2i\pi)\). Montrer que \(g\) est bornée sur toute demi-droite issue de l’origine et holomorphe sur \(\mathbb C\).

  6. Montrer que \(\displaystyle\lim_{\vert z\vert\to\infty}\vert g(x+2i\pi)\vert=+\infty\).

Exercice

Une fonction entière universelle *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Montrer qu’il existe une fonction entière \(f\) telle que l’ensemble \(\{ f^{(n)},\ n\in\mathbb N\}\) de toute les dérivées de \(f\) soit dense dans l’ensemble des fonctions entières \(\mathscr O(\mathbb C)\). Une telle fonction est dire universelle.

Exercice

L’équation \(f^2+g^2=1\) dans \(\mathscr O(\mathbb C)\) *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

[amm], 1981-5.

Montrer que les solutions de l’équation \[f^2+g^2=1,\qquad f,g\in\mathscr O(\mathbb C){(\text{$\star$})}\] sont \(f=\cos(h),\ g=\sin(h)\)\(h\in \mathscr O(\mathbb C)\).

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