Fonctions holomorphes

Dans le dossier «Fonctions holomorphes»

Fonctions holomorphes

Les exercices

Exercices dans ce dossier

Exercice 1329

9 novembre 2022 12:19 — Par Patrice Lassère

Bibliographie

Baireries dans \(\mathscr O(\Omega)\) *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Soit \(\Omega\) un ouvert non vide et distinct de \(\mathbb C\). Pour \(a\in\partial\Omega=\overline{\Omega}\setminus\Omega,\ r\in\mathbb R_+^\star\) et \(n\in\mathbb N^\star\) on note : \[\mathscr E_n:=\left\lbrace \,f\in\mathscr O(\Omega)\ :\ \vert f(z)\vert\leq n,\ \forall\,z\in D(a,r)\cap\Omega\,\right\rbrace .\]

Pour \(f\in\mathscr E_n\), si \((z_k)_k\) est une suite dans \(\Omega\) convergente vers \(a\) on pose \[f_k(z)=2n+\dfrac{z-z_k}{z-a}\left(f(z)-2n\right)=f(z)+\dfrac{z_k-a}{z-a}(2k-f(z)),\quad z\in\Omega.\] Montrer que la suite \((f_k)_k\) converge vers \(f\) dans \(\mathscr O(\Omega)\).
Montrer que \(\mathscr E_n\) est d’intérieur vide dans \(\mathscr O(\Omega)\).
Montrer que \(\mathscr E_n\) est fermé dans \(\mathscr O(\Omega)\).
En déduire que l’ensemble \(\mathscr O(\Omega)\cap L^\infty(D(a,r))\) est maigre dans \(\mathscr O(\Omega)\).
Montrer que l’ensemble \(\mathscr F\) des fonction \(f\in\mathscr O(\Omega)\) analytiquement prolongeables à un ouvert strictement plus grand que \(\Omega\) est un partie maigre de \(\mathscr O(\Omega)\). En déduire que \(\mathscr G:=\mathscr O(\Omega)\setminus \mathscr F\) est non maigre et partout dense.
Montrer que \(\mathscr O(\Omega)=\mathscr G+\mathscr G\) (considérer pour \(f\in\mathscr O(\Omega)\) l’application \(T_f\ :\ \mathscr G\ni g\mapsto f-g\in\mathscr O(\Omega)\) ....).

Calcul de \(\zeta(2)\) par la méthode des résidus *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Appliquer convenablement le théorème des résidus à la fonction méromorphe \(f(z)=\pi z^{-2}\text{cotan}(\pi z)\) pour en déduire la valeur de \(\zeta(2):=\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\).

Le théorème de Rolle version holomorphe *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

J.C. Evard & F. Jafari A complex Rolle’s theorem, [amm], 99, 1992 ou plus simplement [amar].

Soit \(f\) une fonction holomorphe sur un ouvert convexe \(D\subset \mathbb C\), pour \(a\ne b\in D\) vérifiant \(f(a)=f(b)\), montrer qu’il existe \[z_1,z_2\in]a,b[=\{\,a+t(b-a),\ 0<t<1\,\}\] vérifiant \[\text{re}(f'(z_1))= \text{im}(f'(z_2))=0.\]

Une preuve presque holomorphe du théorème de Cayley-Hamilton *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

D’après Charles A. McCarthy , [amm], "The Cayley-Hamilton Theorem", The American Mathematical Monthly, 82 (4), 1975, p. 390–391

Soient \(A\in M_n(\mathbb C)\) une matrice carrée complexe, \(k\in\mathbb N^\star\). Montrer qu’il existe \(R\geq 0\) tel que \[\forall\,r\geq R\ :\ A^k=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left( re^{it}\right)^{k+1}\left( re^{it}Id-A\right)^{-1} dt.\]
En déduire le théorème de Cayley-Hamilton.

Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

On suppose qu’une fonction entière non constante \(f\) ne prends que des valeurs réelles sur deux droites sécantes du plan complexe.

Montrer que l’angle formé par ces deux droites est un multiple rationel de \(\pi\).

Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l’origine. *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Bak & Newman, C.Zuily ref. ??

On pose pour \(z\in\mathbb C\) \[f(z)=\int_0^{\infty}\dfrac{e^{zt}}{t^t}dt.\]

Montrer que \(f\) est bien définie et continue sur \(\mathbb C\).
Montrer que \(f\) est holomorphe sur \(\mathbb C\) et y vérifie \(\overline{f(z)}=f(\overline z)\).
On désigne par \(\log\) la fonction logarithme définie dans le demi-plan \(U=\{ z=x+iy\ :\ x+y>0\}\) qui coïncide avec le logarithme usuel sur le demi-axe réel positif et par \(w\mapsto w^w\) la fonction holomorphe sur \(U\) égale à \(\exp(w\log(w))\). Soient enfin \(C_r\) et \(C_\varepsilon\) les quarts de cercles de rayon respectivement \(r\) et \(\varepsilon\) centrés à l’origine dans le premier quadrant. En intégrant la fonction \(w\mapsto \dfrac{\exp(wz)}{w^w}\) sur le contour ci-contre, montrer que \[f(z)=\int_0^\infty\dfrac{\exp(itz)}{\exp(it\log(t)-t\frac{\pi}{2})}- \lim_{r\to\infty}\int_{C_r}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw.\]
Pour \(z=x+iy\) avec \(y=\frac{\pi}{2}+C\) où \(C>0\). Montrer que la première intégrale est majorée par \(C^{-1}\) et en déduire que \(\vert f(z)\vert\leq C^{-1}\). Montrer que \(\vert f(z)\vert\leq 1\) pour \(\vert\text{Im}(z)\vert\geq \pi\).
Soit \(g(z)=f(z-2i\pi)\). Montrer que \(g\) est bornée sur toute demi-droite issue de l’origine et holomorphe sur \(\mathbb C\).
Montrer que \(\displaystyle\lim_{\vert z\vert\to\infty}\vert g(x+2i\pi)\vert=+\infty\).

Sur \(\mathscr O(\Omega)\), les topologies de la convergence compacte et \(L^1_{loc}\) coïncident *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Soit \(\Omega\) un ouvert du plan complexe. Montrer que sur \(\mathscr O(\Omega)\) la topologie induite par \(L^1_{loc}(\Omega)\) coïncide avec la topologie usuelle de la convergence compacte sur \(\Omega\).

Une fonction entière universelle *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

( C.Blair & L.A.Rubel, [amm], 5-1983).

Montrer qu’il existe une fonction entière \(f\) telle que l’ensemble \(\{ f^{(n)},\ n\in\mathbb N\}\) de toute les dérivées de \(f\) soit dense dans l’ensemble des fonctions entières \(\mathscr O(\mathbb C)\). Une telle fonction est dire universelle.

L’équation \(f^2+g^2=1\) dans \(\mathscr O(\mathbb C)\) *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

[amm], 1981-5.

Montrer que les solutions de l’équation \[f^2+g^2=1,\qquad f,g\in\mathscr O(\mathbb C){(\text{$\star$})}\] sont \(f=\cos(h),\ g=\sin(h)\) où \(h\in \mathscr O(\mathbb C)\).

Comportement au voisinage d’un point singulier essentiel isolé et non isolé *

9 novembre 2022 23:04 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\) une fonction holomorphe sur un ouvert \(\Omega\setminus\{a\}\subset\mathbb C\).

On suppose le point \(a\) est isolé (i.e. que \(f\) st holomorphe sur un un disque épointé \(D(a,r)\setminus\{a\}\subset\Omega\setminus\{a\}\)) et qu’il existe une suite \((r_n)_n\subset]0,r[\) décroissante vers \(0\) telle que \(f\) soit bornée sur chaque cercle \(C(a,r_n)\). Montrer que \(f\) présente au point \(a\) une singularité virtuelle (i.e. sur prolonge holomorphiquement au point \(a\)).
Montrer que le résultat précédent tombe en défaut si le point \(a\) n’est plus isolé (au sens où \(f\) admet une suite de pôles \((a_n)_n\subset\mathbb C\setminus\Omega\) qui converge vers \(a\).)

;

Success message!