Calcul différentiel

9 novembre 2022 12:19 — Par Patrice Lassère

Exercice 1329

Bibliographie

Calcul différentiel, extréma, fonctions harmoniques *

[rms],1994/95, ex. 247.

$\Omega$ est un ouvert borné de $\mathbb R^d$. Soit $f$ une application de $\overline\Omega$ dans $\mathbb R$, continue sur $\overline\Omega$, de classe $\mathscr C^2$ sur $\Omega$ et enfin harmonique sur $\Omega$. Montrer que \[\sup_{x\in\overline\Omega}f(x)\leq\sup_{x\in\partial\Omega}f(x).\]

Calcul différentiel, espaces vectoriels normés, polynômes *

([rms], 2000/01, ex. 52).

On munit $\mathbb R[X]$ de la norme uniforme sur $[0,1]$ et on considère l’application $f\ :\ \mathbb R[X]\longrightarrow\mathbb R$ définie par \[f(P)=\sum_{k\geq 1}\dfrac{1}{1+k^2P^2(k^{-1})}\]

Préciser le domaine de définition de $f$ et vérifier que c’est un ouvert de $\mathbb R[X]$.

Montrer que $f$ est différentiable sur cet ouvert.

Extrémas en dimension plus grande que $2$ : attention aux idées reçues ! *

Considérons une application $f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R^d,\mathbb R)$. Si $f$ admet un point critique qui est un un extrema local (maximum ou minimum local) mais non global, doit-elle posséder au moins un autre point critique ? (d’après J.M.Ash & H.Sexton A surface with one local minimum, Math.Mag. (19??) 58-3, pp. 147-149 and I.Rosenholtz & L.Smylie The only critical point in town, Math.Mag. (19??) 58-3, pp. 149-150 ).
Dans $\mathbb R[X_1,\dots,X_d],\ (d\geq 1)$ donner l’exemple d’un polynôme à coefficients réels minoré sur $\mathbb R^d$ sans atteindre sa borne inférieure.

Soit $\Omega:=\mathbb R^2\setminus\{0\}$ et \[f(x,y)=(x^2-y^2, 2xy).\] Montrer que $f$ est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de $\Omega$ mais que ce n’est pas un difféomorphisme global. Expliciter des ouverts $U,V$ aussi grands que possible et tels que $f\ :\ U\to V$ soit un difféomorphisme global.
Soit $f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R$ définie par \[f(x)=\begin{cases} x+\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)&\text{si}\ x\in\mathbb R\setminus\{0\}\\ 0&\text{sinon. } \end{cases}\] Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$, que $f'(0)\ne 0$ mais que $f$ n’est inversible sur aucun voisinage de l’origine. Commentaire ?

Déterminant et calcul différentiel *

[rou]

On note \[\ \varphi\,:\ A\in M_d(\mathbb C)\mapsto \varphi(A):=\det(A)\in M_d(\mathbb C)\] l’application déterminant.

Montrer que $\varphi\in\mathscr C^\infty (M_d(\mathbb C))$.

À l’aide de la comatrice, calculer pour $\displaystyle(i,j)\in\{1,2,\dots,d\}^2\text{ et }A\in GL_d(\mathbb C)$ la dérivée partielle ${{\partial\varphi(A)}\over{\partial x_{i,j}}}$ pour en déduire $d\varphi(A)$.

Une autre méthode pour calculer $d\varphi(A)$.

-Calculer $d\varphi(I_d)$.

-En déduire $d\varphi(A)$ pour $A\in GL_d(\mathbb C).$

-Conclure.

Matrices et calcul différentiel *

[rou]

Calculer la différentielle de l’application $\ \varphi\,:\ A\in M_d(\mathbb C)\mapsto\varphi(A)=A^2\in M_d(\mathbb C)$. Même question avec $\psi\,:\ A\mapsto \, ^t\!\!A \cdot A$.

Extrémas et convexité *

([achu], sujet 8.)

(préliminaire) Soit $f\ :\ U\to \mathbb R$ une fonction de classe $\mathscr C^2$ sur un ouvert $U$ d’un espace vectoriel normé $E$. Soit $a\in U$ tel que $Df(a)=0$ et $D^2f(a)(u,u)\geq 0$ pour tout $x$ dans un vosinage $V$ de $a$ et pour tout $u\in E$. Montrer que $f$ présente un minimum local au point $a$.

Dans l’espace de Hilbert $l^2(\mathbb N)$ des suites de réels de carré intégrable on pose pour $x=(x_n)_{n\geq 1}\in l^2(\mathbb N)$ : \[g(x)=(x_n^2)_{n\geq 1},\quad f(x)=\sum_{n\geq 1}\left( \dfrac{x_n^2}{n}-x_n^3\right) .\]

Montrer que $g\in\mathscr C^\infty(l^2(\mathbb N),l^2(\mathbb N))$ et préciser $dg(x)(h),\ \forall\, x,h\in l^2(\mathbb N)$

Exprimer $f(x)$ en fonction de $g$ et du produit scalaire.

Montrer que $f\in\mathscr C^\infty (l^2(\mathbb N),\mathbb R)$.

Préciser $Df(x),\ \forall\,x\in l^2(\mathbb N)$ et vérifier que la suite nulle $0_{l^2}$ est un point critique de $f$.

Calculer $D^2f(x),\ \forall\,x\in l^2(\mathbb N)$ et vérifier que \[\forall h\in l^2(\mathbb N)\setminus\{0_{l^2}\}\ :\ D^2f(0_{l^2})(h,h)>0.\]

Soit $\varepsilon>0$ et $x_\varepsilon=(x_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $x_n=0\ \forall\, n\neq n_0:=E(2/\varepsilon)+1$ et $x_{n_0}=\varepsilon/2$. Montrer que $f(x_\varepsilon)<0$. Calculer $\Vert x_\varepsilon\Vert_2$ et en déduire que l’origine $0_{l^2}$ n’est pas un minimum local de $f$. Commentaire ?

Étude de $y'=y(y-1)$ *

Trouver les solutions maximales de l’équation différentielle \[y'=y(y-1){(\bigstar)}\]

Étude de $y'=y^2\sin^2(y)$ *

Montrer que les solutions maximales de l’équation différentielle \[y'=y^2\sin^2(y){(\bigstar)}\] sont bornées et définies sur $\mathbb R$ tout entier.

Étude de $xy'=x+y^2$ *

On considère l’équation différentielle \[xy'=x+y^2,\quad x\in\mathbb R_+^\star{(\bigstar)}\]

Montrer que les solutions sont définies sur des intervalles bornés.
Montrer que toute solution maximale possède un intervalle de définition qui est soit de la forme $]a,b[,\ a>0$ (étudier alors le comportement de la solution en $a$ et $b$) soit de la forme $]0,b[$ (étudier alors le comportement de la solution en $0$ et $b$).

Étude de $y'=\exp(-xy)$ *

([rms]-107).

Montrer que la solution maximale $f$ du problème de Cauchy

\[y'=\exp(-xy),\quad\ y(0)=0\qquad(\mathscr E)\]

est impaire, définie sur $\mathbb R$ et admet en $+\infty$ une limite $\displaystyle l\in[1,1+e^{-1}]$.

Domaine de définition des solutions maximales de $X'(t)=X^2(t)$ à valeurs dans $M_n(\mathbb C)$. * Polytechnique

Soit $A \in {\mathscr M}_n (\mathbb{C})$.

Existe-t-il une solution $t\mapsto M(t)$ définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans ${M}_n (\mathbb{C})$, de :

\[\frac{dM}{dt} = M^2\nobreak\ ;\nobreak\ M(0) = A \; ?\]

Résolution de l’équation $f(x)=1-\int_0^x(t+x)f(x-t)dt.$ *

[rms], 109-(9/10).

Trouver les applications $f\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)$ telles que \[\forall\,x\in\mathbb R,\qquad f(x)=1-\int_0^x(t+x)f(x-t)dt.{(\text{$\star$)}}\]

L’équation fonctionnelle de d’Alembert $2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)$ *