Suites et séries de fonctions, séries entières

9 novembre 2022 12:19 — Par Patrice Lassère

Exercice 1329

Bibliographie

Étude d’une série de fonctions *

[rms]-2006.

On considère une suite de fonctions $(f_n)_n\subset\mathscr C([0,1],\mathbb R)$ vérifiant \[\vert f_n(x)f_m(x)\vert\leq 2^{-\vert n-m\vert},\quad\forall\,n,m\in\mathbb N,\ x\in[0,1].{(\text{$\star$})}\]

Montrer que la série de fonctions $\sum_n f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
Montrer que la somme $f=\sum_n f_n$ est bornée sur $[0,1]$.
La convergence est-elle uniforme sur $[0,1]$ ?

Limite d’une suite via les séries entières *

On considère la suite $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par \[a_0=1\quad\rm{et}\quad a_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\dfrac{a_k}{n-k+2}.\] Déterminer la limite \[\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{a_k}{2^k}.\]

Séries entières et convergence uniforme *

Pour une série entière $\sum_n\,a_nz^n$ de rayon de convergence $R\geq 1$, montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes

La série $\sum_n\,a_nz^n$ converge uniformément sur $D(0,1)$.
La série $\sum_n\,a_nz^n$ converge uniformément sur $\overline{D(0,1)}$.
La série $\sum_n\,a_nz^n$ converge uniformément sur $C(0,1)$.

Convergence uniforme et convergence continue *

[kn2]

Soit $A\subset\mathbb R$ une partie non vide (ou plus généralement d’un espace vectoriel normé) et $(f_n)_n$ une suite d’applications de $A$ dans $\mathbb K$. On dira que la suite $(f_n)_n$ converge continuement vers $f\ :\ A\to\mathbb K$ si pour tout $x\in A$, pour toute suite $(x_n)_n\subset A$ convergente vers $x$ la suite $(f_n(x_n))_n$ converge vers $f(x)$.

Montrer que la convergence continue implique la convergence simple.
Soit $(f_n)_n$ une telle suite, $x\in A$ et $(x_n)_n$ dans $A$ convergente vers $x$. Montrer que pour toute sous-suite $(f_{n_k})_k$ \[\lim_{k\to\infty}f_{n_k}(x_k)=f(x).\]
Si $(f_n)_n$ converge continuement vers $f$ sur $A$, montrer que $f$ est continue sur $A$ (même si les $f_n$ ne sont pas continues !)
Montrer que toute suite $(f_n)_n$ uniformément convergente sur $A$ vers une fonction $f\in\mathscr C(A,\mathbb K)$ converge continuement sur $A$. La réciproque est-elle vraie ?
Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions définies sur une partie compacte $K$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.

-La suite $(f_n)_n$ est uniformément convergente vers $f\in\mathscr C^0(K).$

-La suite $(f_n)_n$ est continuement convergente sur $K$ vers $f$.

Étude des séries de fonctions $\sum_{n\geq 0}\,t^nf(t)$ et $\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^nf(t)$ *

([rms] 1993/94 et 1997/98.)

Soit $f\ :\ [0,1]\to\Bbb R$ une application bornée. Montrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}\,t^nf(t)$ converge uniformément sur $[0,1]$ si et seulement si $f$ est dérivable en $t=1$ avec $f(1)=f'(1)=0$.
Soit $f\ :\ [0,1]\to\Bbb R$ une application bornée. Étudier la simple puis uniforme convergence de la série $\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^nf(t)$ sur $[0,1[$.

approximation, convergence uniforme *

Si une suite de polynômes converge uniformément sur $\mathbb R$, alors sa limite est un polynôme.

Une caractérisation de la fonction sinus *

[rms] (3)-2005/06

Soit $f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)$ une application $2\pi$-périodique. Si $f'(0)=1$ et $\vert f^{(n)}(x)\vert\leq 1,$ pour tout $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N$ montrer que $f(x)=\sin(x)$.

Approximations uniforme de la valeur absolue sur $[-1,1]$ *

Utiliser les séries de Fourier pour approcher uniformément $f(x)=\vert x\vert$ sur $[-1,1]$ par des polynômes.

Montrer que pour $\alpha\in\mathbb R\setminus\mathbb N$ et $\vert x\vert<1$

\[(1+x)^\alpha = 1+\sum_{n=1}^{+\infty}{{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}\over{n!}}x^n {(\bigstar)}\]

en déduire pour $\vert x\vert<1$ que

\[\vert x\vert = 1-{1\over 2}(1-x^2)-\sum_{n=2}^{+\infty}{{(2n-3)!!}\over{(2n)!!}}(1-x^2)^n {(\text{$\star$})}\]

Montrer que la suite de polynômes $(P_n)_n$ définie par

\[P_0(x)=0,\quad P_{n+1}(x)=P_n(x)+{1\over 2}\left(x-P_n^2(x)\right),\quad n\in\mathbb N\]

converge uniformément sur $[0,1]$ vers $g(x)=\sqrt x$. En déduire une suite de polynômes qui converge uniformément sur $[-1,1]$ vers $f(x)=\vert x\vert$.

$f(x)=\sum_{m=0}^\infty e^{-m}\cos(m^2x)$ n’est pas développable en série entière *

Exemple d’une fonction $\mathscr C^\infty$ sur $\mathbb R$ dont la série de Taylor en $x=0$ admet un rayon de convergence nul :

Soit

\[f(x)=\sum_{m=0}^\infty e^{-m}\cos(m^2x)=\sum_{m=0}^\infty f_m(x),\]

montrer que $f\in \mathscr C^\infty(\mathbb R)$ mais n’est pas développable en série entière à l’origine.

Développement en série de Fourier de $f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}$, série entière *

([rms],1997/98). Développer en série de Fourier la fonction $\displaystyle\qquad f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}$.

Inégalité de Bernstein via les séries de Fourier *

A.Pommellet, [rms]-6, 1992/93. On appelle polynôme trigonométrique toute application de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ de la forme $\displaystyle \quad P(t)= \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{ikt},\ a_k\in\mathbb C$ ; et toute application du type $\displaystyle \quad P(t)= \sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i\lambda_kt}$, avec $\ a_k\in\mathbb C, \lambda_k\in\mathbb R$ est un polynôme trigonométrique généralisé.

L’objectif de cet exercice est d’établir à l’aide des séries de Fourier la célébre inégalité suivante, due au mathématicien russe Bernstein :

\[\Vert P'\Vert_\infty\leq n\,\Vert P\Vert_\infty\quad \text{ pour tout polynôme trigonométrique }\ P.{(\bigstar)}\]

Pour tout polynôme trigonométrique généralisé, on pose $\displaystyle\Lambda:= \max_{-n\leq k\leq n}\vert \lambda_k\vert$, on va montrer que

\[\Vert P'\Vert_\infty\leq \Lambda\,\Vert P\Vert_\infty \quad \text { pour tout polynôme trigonométrique généralisé }\ P.{(\text{$\star$})}\]

] Montrer que $(\text{$\star$})\ \Longrightarrow\ (\bigstar)$.
Montrer que pour établir $(\text{$\star$})$ on peut toujours supposer que $\Lambda= {\pi\over 2}$.
Soit $\Psi$ la fonction numérique qui vaut $\ t$ sur $[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}]$, $\pi-t$ sur $[{\pi\over 2},{3\pi\over 2}]$ et qui est prolongée par $2\pi$-périodicité sur $\mathbb R$ tout entier. Montrer que

\[\Psi(t)= \sum_{l\geq 0}{{4 (-1)^l}\over{\pi(2l+1)^2}}\sin\left((2l+1)t\right), \quad\forall\,t\in\mathbb R.\]
Montrer que $\displaystyle P'(t)= i\sum_{k= -n}^na_k\Psi(\lambda_k)e {i\lambda_k t}$.
En déduire que $\quad\displaystyle P'(t)= {2\over \pi}\sum_{l= 0}^\infty {{(-1)^l}\over{(2l+1)^2}} \left( \,\sum_{k= -n}^n\,a_ke^{i(t+2l+1)\lambda_k}-\sum_{k= -n}^n a_ke^{i(t-2l-1)\lambda_k} \right)$
Puis $\displaystyle\quad\Vert P'\Vert_\infty\leq {4\over\pi}\left(\sum_{l= 0}^\infty{1\over (2l+1)^2}\right)\Vert P\Vert_\infty$ et conclure.

Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (1) *

Soit $f\,:\ \mathbb R\rightarrow \mathbb R$ la fonction paire, $2\pi$-périodique égale à $\sqrt x$ sur $[0,\pi]$.

Y a-t-il dans le cours un théorème permettant d’affirmer que $f$ est développable en série de Fourier ?
Soit $G$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $\displaystyle G(x)= \int_0^x \sin(t^2)dt$, montrer que pour tout $x>0$

\[G(x) = {{1-\cos(x^2)}\over 2x}+\int_0^x{{1-\cos(t^2)}\over 2t^2}dt.\]

En déduire que la limite $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}G(x)$ existe, est finie et strictement positive.
Soit pour $\displaystyle n\in\mathbb N,\ a_n= {2\over \pi}\int_0^\pi f(t)\cos(nt)dt$. à l’aide de la question précédente montrer que $a_n= 0(n^{-3/2})$.
Montrer sans Fejèr que $f$ est développable en série de Fourier.
Montrer avec Fejèr que $f$ est développable en série de Fourier.

Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (2) *

Soit $\displaystyle f(x)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{\sin(nx)}{n^2}$.

Montrer que $f\in\mathscr C_0^{2\pi}$.
Montrer que $f$ est développable en série de Fourier sur $\mathbb R$.
On va montrer que $f$ n’est pas dérivable à l’origine.

$\bullet$ Montrer que $\sin(x)\geq \frac{2 x}{\pi},\ \forall\,x\in[0,\pi/2].$

$\bullet$ Soit $x\in]0,\pi/2[$, pour $N={\rm{E}}(\pi/2x)$ ($E$ est la partie entière...) montrer que \[\begin{aligned}\dfrac{f(x)}{x}&= \sum_{k=1}^N\dfrac{\sin(kx)}{kx}\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{x}\sum_{k\geq N+1}\dfrac{\sin(kx)}{k^2}\\ & \geq \dfrac{2}{\pi}\sum_{k=1}^N\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{x}\sum_{k\geq N+1}\dfrac{\sin(kx)}{k^2}:=\dfrac{2}{\pi}\sum_{k=1}^N\dfrac{1}{k}+R_N(x).\end{aligned}\]

$\bullet$ Montrer que $\displaystyle R_N(x)=\sum_{k\geq N+1}\dfrac{\varphi_n(x)}{x}\left( \dfrac{1}{k^2}-\dfrac{1}{(k+1)^2}\right)$ où $\varphi_n(x)=\sum_{k=0}^n\sin(kx).$

$\bullet$ Montrer que pour $x\in\,]0,\pi/2[$ : \[\left\vert \varphi_n(x)\right\vert\leq \left\vert\dfrac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\right\vert\leq\dfrac{1}{\sin(x/2)}\leq \dfrac{\pi}{x}.\]

$\bullet$ En déduire que pour $x\in\,]0,\pi/2[$ et $N={\rm{E}}(\pi/2x)$ : \[\dfrac{f(x)}{x}\geq \dfrac{2}{\pi}\sum_{k=1}^N\dfrac{1}{k}-\dfrac{\pi}{N^2x^2}.\]

$\bullet$ En déduire que $f$ n’est pas dérivable à l’origine.

Une fonction continue dont la série de Fourier diverge à l’origine *

On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n\geq 1}$ définie sur $[0,\pi]$ par \[f_n(x)=\dfrac{1}{n^2}\sin\left[ \left( 2^{n^3}+1\right) \dfrac{x}{2}\right] .\]

Montrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq 1}f_n$ converge normalement sur $[0,\pi]$.

On désigne alors par $f$ la fonction paire, continue, $2\pi$-périodique sur $\mathbb R$ vérifiant pour tout $x\in[0,\pi]\ :\quad f(x)=\sum_{n\geq 1}f_n(x)$.
Montrer que $f\in\mathscr C^0_{2\pi}$.
On pose pour $\displaystyle p,k\in\mathbb N,\quad I_{p,k}=\int_0^\pi\cos(pt)\sin\left( \dfrac{2k+1}{2}t\right) dt,\quad$ et pour tout entier $q\in\mathbb N\quad:\quad T_{q,k}=\sum_{p=0}^q I_{p,k}$.
1. Calculer, pour $p,k$ entiers naturels l’intégrale $I_{p,k}$.
2. Pour $q,k\in\mathbb N$, déterminer un réel positif $c_k$ tel que $\displaystyle T_{q,k}=c_k+\sum_{j=k-q}^{k+q}\dfrac{1}{2j+1}$.
3. En déduire que $\ T_{q,k}\geq 0$ pour tout couple $(q,k)$ d’entiers.
4. Déterminer un équivalent simple de $\ \sum_{k=0}^N\dfrac{1}{2k+1}$ au voisinage de $+\infty$.
5. En déduire que $\displaystyle \ T_{k,k}\underset{k\to+\infty}{\sim}\dfrac{\log(k)}{2}.$
Montrer que pour tout $\displaystyle p\in\mathbb N^\star,\quad a_p(f)=\dfrac{2}{\pi}\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}I_{p,2^{n^3-1}}.$
Montrer que pour tout $\displaystyle p\in\mathbb N^\star,\quad S_{2^{p^3-1}}(f)(0)\geq -\dfrac{a_0(f)}{2}+\dfrac{2}{\pi p^2}T_{2^{p^3-1},2^{p^3-1}}$ (on pourra remarquer que $\frac{a_0(f)}{2}+\sum_{l=1}^Na_l(f)=-\frac{a_0(f)}{2}+\sum_{l=0}^Na_l(f)$...).
En déduire que la suite $(S_n(f)(0))_n$ diverge.

Séries de Fourier, dérivation *

[rms], 2003.

Soit $f\in\mathscr C^2([0,1],\mathbb R)$ vérifiant $f(0)=f(1)=0$. Avec les séries de Fourier, montrer que \[\Vert f\Vert_ \infty\leq \dfrac{\Vert f''\Vert_2}{3\sqrt 5}.\]

Séries entières, déterminant, systèmes linéaires *

(http://problemoftheweek...)

Soit $a,b,c,d$ des nombres complexes, si $d\ne 0$ et soit la suite $(c_n)_n\subset\mathbb C$ telle que \[\dfrac{az+b}{z^2+cz+d}=c_0+c_1z+c_2z^2+\dots+c_nz^n\dots\] pour $\vert z\vert$ assez petit. Montrer que la quantité \[\dfrac{\text{det}\begin{pmatrix}c_n &c_{n+1}\\c_{n+1}&c_{n+2}\end{pmatrix}} {\text{det}\begin{pmatrix}c_{n+1} &c_{n+2}\\c_{n+2}&c_{n+3}\end{pmatrix}}\] est indépendante de $n$ lorsque $abc-b^2-ad^2\ne 0$.

Étude de $f(x) = \sum^{ \infty}_{ n=1}\sin (nx) \exp \left(-n^a \right)$ *

[rms], 2003/04.

Pour $a > 0$, $x$ réel quelconque, on pose $f(x) = \sum^{ \infty}_{ n=1}\sin (nx) \exp \left(-n^a \right)$.

Montrer que $f$ est bien définie et de classe ${\mathscr C}^{\infty}$.
Pour quelles valeurs de $a$, $f$ est-elle développable en série entière au voisinage de tout point ?

Séries entières, comportement au bord *

Soit $\sum_{n\geq 0} a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence égal à $1$. On suppose que $\forall\,n\geq 1\ :\ a_n\geq 0$. Si la série $\sum_n a_n$ diverge, montrer que $\displaystyle\lim_{x\to 1_-}\sum_n a_nx^n=+\infty$.

Séries de Fourier : histoires d’unicité *

[kn3],

Montrer que pour tout $a\neq 0$ \[e^{ax}=\begin{cases} \dfrac{e^{2a\pi}-1}{\pi}\left( \dfrac{1}{2a}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a\cos(nx)-n\sin(nx)}{a^2+n^2}\right),\quad 0<x<2\pi\\ \dfrac{e^{a\pi}-1}{a\pi}+\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left\lbrace (-1)^ne^{a\pi}-1\right\rbrace \dfrac{a\cos(nx)}{a^2+n^2},\quad 0<x<\pi\\ \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left\lbrace 1-(-1)^ne^{a\pi}\right\rbrace \dfrac{n\sin(nx)}{a^2+n^2},\quad 0<x<\pi. \end{cases}\] et préciser les sommes de ces trois séries à l’origine.

SON et SCV *

0n considère une suite $(f_n)_n\subset\mathscr C^0([0,1])$ vérifiant \[\int_0^1f_n(t)f_m(t)dt=\begin{cases} 0\quad \rm{si}\quad &n=m\\ 1\quad \rm{sinon}\quad &n\neq m\end{cases}\] et \[\sup\{ \vert f_n(x)\vert\ :\ x\in\mathbb R,\ n\in\mathbb N\,\}<+\infty.\] Montrer que la suite $(f_n)_n$ n’admet pas de sous-suite $(f_{n_k})_k$ simplement convergente sur $[0,1]$.

Fonction $2\pi$-périodique continue à coefficients de Fourier positifs *

[rms], 115/4.

Soit $f\ :\ \mathbb R\to\mathbb C$ une application $2\pi$ périodique et continue. On suppose tous ses coefficients de Fourier ($c_k(f),\ k\in\mathbb Z$) positifs ; montrer que $f$ est développable en série de Fourier.

Pour cela

Montrer que pour tout $0<r<1$ \[\sum_{n\in\mathbb Z} c_n(f)r^{\vert n\vert}=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(t)+r^2}f(t)dt:=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r(t)f(t)dt\]
En déduire que \[\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r(t)dt=1\quad\text{et}\quad\sum_{n\in\mathbb Z} c_n(f)r^{\vert n\vert}\leq \Vert f\Vert_\infty.\]
En déduire que la série $\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(f)$ converge et conclure.

$\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dx)^2 dy+\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dy)^2 dx\leq ( \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dxdy)^2+\int_0^1\int_0^1\,f(x,y)^2dxdy$ *

Putnam (2005), [amm] 2005/8.

Soit $f\in\mathscr C^0([0,1]\times[0,1],\mathbb R)$, montrer que \[\begin{aligned}\int_0^1\left( \int_0^1 f(x,y)dx\right)^2 dy+&\int_0^1\left( \int_0^1 f(x,y)dy\right)^2 dx\\ &\leq \left( \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dxdy\right)^2+\int_0^1\int_0^1\,f(x,y)^2dxdy.\end{aligned}\]

Calcul de $\int_0^\pi \cos(\cos(x))\rm{ch}(\sin(x))\cos(nx)dx, n\in\mathbb N$, via Fourier *

Utiliser les séries de Fourier pour évaluer l’intégrale \[I_n=\int_0^\pi \cos(\cos(x)){\rm}{ch}(\sin(x))\cos(nx)dx,\quad n\in\mathbb N.\]

Preuve du théorème des moments de Hausdorff par les séries de Fourier *

Soit $f\in\mathscr C^0([0,\pi])$ telle que \[\int_0^{2\pi}\,t^nf(t)dt=0,\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] Montrer que \[\int_0^{2\pi}\,e^{int}f(t)dt=0,\quad\forall\,n\in\mathbb Z\] et en déduire que $f\equiv 0$.

$\sum_{k=0}^n C_{2n+2}^{2k+1}=2^{2n+1}(2n+1)(2n+2)$ via les séries entières *