Suites et séries

Dans le dossier «Suites et séries»

Exercices dans ce dossier

Exercice

Convergence de \(\sum_n a_n^{-3}\), où \(\vert a_n-a_m\vert>1,\ \forall\,m\neq n\in\mathbb N\) *

9 novembre 2022 21:54 — Par Patrice Lassère

Soit \((a_n)_n\subset\mathbb C^\star\) une suite de nombres complexes vérifiant \[\forall\,m\neq n\in\mathbb N\quad:\quad\vert a_n-a_m\vert\geq 1.{(\text{$\star$})}\] Montrer que la série \[\sum_{n\geq 0}\dfrac{1}{a_n^3}\] converge.

Exercice

Convergence d’une série par sommation par paquets *

9 novembre 2022 21:54 — Par Patrice Lassère

\(\alpha(n),\ (n\in\mathbb N)\) désignant le nombres de \(0\) dans l’écriture décimale de \(n\) en base \(3\). Montrer que la série entière \[\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^{\alpha(n)}}{n^3}\] converge si, et seulement si \(\vert x\vert<25\).

Exercice

Formule de Wallis et applications *

9 novembre 2022 21:54 — Par Patrice Lassère

Établir la formule de Wallis (1655) \[\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2.2}{1.3}\dfrac{4.4}{3.5}\dfrac{6.6}{5.7}\dots=\prod_{n\geq 1} \dfrac{4n^2}{4n^2-1}.{(\text{$\star$})}\]

En déduire que dans le jeu de pile ou face la probabilité \(p_n\) lors de \(2n\) jets successifs d’obtenir \(n\) pile et \(n\) face satifait, quand \(n\) tends vers l’infini, à l’équivalent \[p_n \underset{n\to\infty}{\sim}\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}.\]

En déduire la valeur de l’intégrale de Gauss \[\int_0^\infty \exp{(-t^2)}dt=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.\]

En déduire la formule de Stirling (1730) \[n!\underset{n\to\infty}{\sim}\sqrt{2\pi n}\left( \dfrac{n}{e}\right)^n.\]

Du développement de Stirling \[n!=\sqrt{2\pi n}\left( \dfrac{n}{e}\right)^n\left( 1+\dfrac{1}{12n} +o\left( \dfrac{1}{n^2}\right) \right)\] préciser la formule de Stirling \[\dfrac{\pi}{2}-p_n\underset{n\to\infty}{\sim} \dfrac{\pi}{8n}\]

Exercice

Divergence de la série harmonique (suite) *

9 novembre 2022 21:55 — Par Patrice Lassère

(
[rms],1993/94).

Soit \(s_n=\sum_{k=1}^n{1\over k}\) montrer que \(\displaystyle\lim_ns_{2n}-s_n=\log(2)\). Conclusion ?

Exercice

Divergence de la série \(\sum_{n\geq 1}{{\sin^2(n)}\over n}\) *

9 novembre 2022 21:55 — Par Patrice Lassère

Montrer que dans \(\{x\in\mathbb R\ :\ \sin^2(x)\leq{1\over 2}\}\) on ne trouvera jamais trois entiers consécutifs. En déduire la nature de la série \(\sum_{n\geq 1}{{\sin^2(n)}\over n}\).

Exercice

Calcul de \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F(2^n)}\) *

9 novembre 2022 21:55 — Par Patrice Lassère

[amm], 1984/7.

Montrer que \[\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{F(2^n)} =\dfrac{7-\sqrt{5}}{2},\]\((F(n))_n\) est la suite de Fibonacci : \[F(0)=0, F(1)=1,\quad F(n)=F(n-1)+F(n-2),\quad n\in\mathbb N\setminus\{0,1\}.\]

Exercice

Calcul d’une somme de série *

9 novembre 2022 21:55 — Par Patrice Lassère

Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(\left[ n\right]\) désigne l’entier le plus proche de \(\sqrt{n}\). Montrer que \[\sum_{n=1}^\infty \dfrac{2^{\left[ n\right]}+2^{-\left[ n\right]}}{2^n}=3.\]

Exercice

À propos du produit de Cauchy *

9 novembre 2022 21:55 — Par Patrice Lassère

  1. Montrer que le produit de Cauchy des deux séries convergentes de termes général \(a_n=b_n=(-1)^{n+1}/\sqrt{n+1}\) diverge.

  2. Montrer que le produit de Cauchy des deux séries grossièrement divergentes de termes généraux \(a_0=3,\ a_n=3^n,\ b_0=-2,\ b_n=2^n,\ n\in\mathbb N^\star\) est absolument convergent.

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