On considère l’application \(\displaystyle f(x):=\int_0^\infty\frac{e^{-xt^2}}{1+t^2}dt\).

Montrer que \(f\in\mathscr C^1(\mathbb R_+^\star)\cap\mathscr C^0(\mathbb R_+)\).

En déduire que \(f\) est solution d’une équation différentielle.

Montrer que \(\displaystyle \int_0^\infty e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\) (on pourra introduire la fonction auxilliaire \(g(t)=e^{-t}f(t)\)...).

On considère l’application \(f(x):=\int_0^\infty\frac{sin(t)}{t}e^{-xt}dt\).

Montrer que \(f\in\mathscr C^1(\mathbb R_+^\star)\).

En déduire une forme explicite de \(f\) sur \(\mathbb R_+^\star\).

Montrer que \(f\) est continue à l’origine.

En déduire que \(\int_0^\infty \frac{sin(t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}\).

Montrer que \[\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt=\dfrac{\pi}{2}.\]

Sachant que pour tout \(a>0\)

montrer que

Soient \(\displaystyle f(x)=\int_0^\infty\,\dfrac{\sin(t)}{t+x}dt,\ g(x)=\int_0^\infty\,\dfrac{e^{-xt}}{t^2+1}dt\).

 Montrer que \(f,g\in\mathscr C^2(\mathbb R^\star)\) (pour \(f\), on pourra commencer par montrer que \(f(x)=\int_0^\infty\,\frac{1-\cos(t)}{(t+x)^2}dt\)).

Montrer que \(f\) et \(g\) sont solutions de l’équation différentielle \(y''+y=1/x\).

En déduire que \(f-g\) est \(2\pi\)-périodique (sur son domaine de définition).

Montrer que \(f\) et \(g\) sont équivalentes à \(1/x\) en \(+\infty\) puis, que \(f=g\).

En déduire la valeur que \(\displaystyle\int_0^\infty\,\dfrac{\sin(t)}{t}dt\).

Soit \(\displaystyle F(x)=\int_0^\infty\,\dfrac{\sin(xt)}{t(t^2+1)}dt\). Préciser le domaine de définition de \(F\), étudier la continuite et l’existence des dérivées premières et secondes ; exprimer \(F(x)\) en fonction de \(C:=\int_0^\infty\,\dfrac{\sin(t)}{t}dt\) et en déduire la valeur de \(C\).

Montrer que pour tout \(x\in\mathbb R\) \[\int_0^{\pi/2}\,e^{-x\cos(t)}\cos(x\sin(t))dt=\dfrac{\pi}{2}-\int_0^x\,\dfrac{\sin(t)}{t}dt.\] En déduire que \(\displaystyle \int_0^\infty \frac{sin(t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}\).

Soit \(f\in C([a,b])\) telle que \(\int_a^bf(t)t^ndt=0,\ \forall\,n\in\mathbb N\). Montrer que \(f\) est identiquement nulle (théorème des moments de Hausdorff).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R^+\) par

Montrer que

En déduire que \[\int_0^{+\infty}t^nf(t)dt=0,\ \forall\,n\in\mathbb N.\] (pour cela, remarquer que \(I_{4n+3}\in\mathbb R\)...).

Soit \(a>0\) et \(f\in\mathscr C^0([-a,a])\). Si \[\int_{-a}^a t^nf(t)dt=0,\quad\forall\,n\in\mathbb N,\] montrer que \(f\) impaire sur \([-a,a]\). De même, si \[\int_{-a}^a t^{2n+1}f(t)dt=0,\quad\forall\,n\in\mathbb N,\] montrer que \(f\) paire sur \([-a,a]\).

ExoIntegralesImpropresDontSinusTsurT

Pour \(2>\alpha>0\) étudier la convergence et l’absolue convergence des intégrales impropres ou séries \[I_\alpha = \int_0^{+\infty}{{\sin(t)}\over t^\alpha}dt \quad \& \quad J_\alpha = \int_2^{+\infty}{{\sin(t)}\over {t^\alpha+\sin(t)}} dt \quad \& \quad S_\alpha = \sum_{n\geq 1}{{(-1)^n}\over{n^\alpha + (-1)^n}}\]

Soit pour \[\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt,\quad\forall\,x\in\mathbb R_+^\star.\]

Montrer que \(\displaystyle \int_0^n\left(1-{t\over n}\right)^nt^{x-1}dt={{n^x n!}\over{x(x+1)\dots(x+n)}},\ x>0\).

Montrer que \[\Gamma(x)=\lim_{n\to\infty}\int_0^n\left(1-{t\over n}\right)^nt^{x-1}dt,\ x>0.\]

En déduire que \[\Gamma(x)= \lim_{n\to\infty}{{n^x n!}\over{x(x+1)\dots(x+n)}},\ x>0.\]

Montrer que \(\log\Gamma\) est convexe sur \(\mathbb R_+^\star\).

Réciproquement soit \(f\,:\,\mathbb R_+^\star\to\mathbb R_+^\star\) une application log-convexe vérifiant \[f(1)=1\quad \text{et}\quad \forall\,x>0,\ f(x+1)=xf(x).\] Montrer que \(f=\Gamma\) (théorème de Bohr-Mollerup)

Soit \(f\in\mathscr C^1([0,1])\) montrer que \[\lim_{n\to\infty}n\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\dfrac{k}{n} \right)-\int_0^1f(t)dt\right) =\dfrac{f(1)-f(0)}{2}.\]

Si \(f\) est deux fois dérivable sur \([0,1]\) et si \(f''\) est bornée et intégrable sur \([0,1]\), montrer que \[\lim_{n\to\infty}n^2\left(\int_0^1f(t)dt- \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\dfrac{2k-1}{n} \right) \right) =\dfrac{f'(1)-f'(0)}{24}.\]

Soit \(I\subset\mathbb R\) un intervalle, \(f\ :\ I\to\mathbb R\) une application convexe. Montrer que \[f(\lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n)\leq \lambda_1f(x_1)+\dots+\lambda_n f(x_n)\] pour tous \(x_1,\dots,x_n\) dans \(I\), \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\mathbb R_+\) tels que \(\lambda_1+\dots+\lambda_n=1\).

Cas d’égalité dans l’inégalité de Jensen. On suppose \(f\) strictement convexe (i.e. \(x\neq y\) implique \(f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)\) ), montrer que si \[f(\lambda_1x_1+\dots+\lambda_nx_n)= \lambda_1f(x_1)+\dots+\lambda_n f(x_n)\] alors \(x_1=x_2=\dots=x_n\).

Supposons \(f\) Riemann intégrable sur \([a,b],\ m\leq f(x)\leq M\). Si \(\varphi\) est continue et convexe sur \([m,M]\), démontrer l’inégalité de Jensen \[\varphi\left( \dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(t)dt\right) \leq\dfrac{1}{b-a}\int_a^b\varphi\left( f(t)\right) dt.\]

Soient \((a_n)_n,\,(b_n)_n\) deux suites de nombres réels telles que la suite de fonctions \(\left(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right)_n\) converge simplement sur \(\mathbb R\) vers la fonction nulle. Montrer que \(\lim_n a_n=\lim_n b_n=0\) (lemme de Cantor).

Montrer que la conclusion subsiste si la convergence simple à lieu seulement sur un intervalle \([a,b]\) (où \(a<b\)).

On définit \(F\ :\ ]1,+\infty[\to\mathbb R\) par \[F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{\log(t)}.\] Montrer que \(F\) est injective et préciser son image \(F(]1,+\infty[)\).

Soit \(f\in\mathscr C^2(\mathbb R,\mathbb R)\). Si \(f''>0\) sur \([a,b]\), déterminer la fonction affine \(l(x)=\alpha x+\beta\leq f(x)\) sur \([a,b]\) minimisant \(\displaystyle \int_a^b(f(t)-l(t))dt.\)

Montrer que \[\Gamma'(1)=\lim_{n\to\infty}\int_0^n\,\left(1-\dfrac{t}{n}\right)^n\log(t)dt\] pour en déduire que \[\Gamma'(1)=-\gamma:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}-\log(n)\right).\] (\(\gamma\) est la trés célèbre constante d’Euler) On pourra effectuer le changement de variables \(u=1-t/n\) dans l’intégrale.

En intégrant \(f(x,t)=e^{-xy}sin(x)\) sur \([\epsilon, T]\times[0,+\infty[,\,0<\epsilon <T,\) calculer \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\,{{\sin (t)}\over t}dt.\)