Dérivabilité

Exercices dans ce dossier

Exercice

Existence d’un opérateur à la dérivée de Dirac sur \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\) *

9 novembre 2022 15:18 — Par Patrice Lassère

Déterminer les formes linéaires \(D\) sur \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\) vérifiant \[D(fg)=f(0)D(g)+D(f)g(0),\quad\forall\,f,g\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R).\]

Exercice

Deux fonctions \(f,g\) dérivables telles que \(f'g'\) ne soit pas une dérivéee *

9 novembre 2022 15:18 — Par Patrice Lassère

Montrer qu’il existe deux fonction dérivables \(f,g\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) telles que \(f'g'\) ne soit pas une dérivée.

Exercice

Approche matricielle du théorème des accroissements finis *

9 novembre 2022 15:18 — Par Patrice Lassère

Soient \(f,g,h\) trois fonctions continues sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\). On définit

\[F(x)=\det\begin{pmatrix} f(x)&g(x)&h(x)\\ f(a)&g(a)&h(a)\\ f(b)&g(b)&h(b)\end{pmatrix}\]

montrer qu’il existe \(c\in]a,b[\) tel que \(F'(c)=0\), en déduire le théorème des accroissements finis puis la forme généralisée de ce théorème.

Exercice

Comportement asymptotique du point intermédiaire dans la formule de Taylor-Lagrange *

9 novembre 2022 15:18 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\,:\,\mathbb R\to\mathbb R\) une application \(n\) fois dérivable. Fixons \(x\in\mathbb R\), alors pour \(h>0\) la formule de Taylor-Lagrange assure de l’existence d’un réel \(\theta(h)\) tel que

\[f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\dots+{{h^{n-1}}\over{(n-1)!}}f^{(n-1)}(x)+{{h^n}\over{n!}}f^{(n)}(x+\theta(h)h).\] Si de plus \(f^{(n+1)}(x)\) existe et est différent de zéro,montrer que

\[\lim_{h\to 0}\theta(h)={1\over n+1}.\]

Exercice

Zéros des dérivées d’une fonctions \(\mathscr C^\infty\) à support compact *

9 novembre 2022 15:19 — Par Patrice Lassère

[rms],1991/92.

Soit \(f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R,\mathbb R)\) une fonction identiquement nulle sur \(\mathbb R\setminus ]-a,a[\). Montrer qu’il existe \(n\in\mathbb N\) tels que \(f^{(n)}\) admette au moins \(n+1\) zéros sur \(]-a,a[\).

Exercice

Sur l’inégalité de Kolmogorov \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\). *

9 novembre 2022 15:19 — Par Patrice Lassère

Soit \(I\subset\mathbb R\) un intervalle et \(f\ :\ I\to\mathbb R\) une application deux fois dérivable telle que \[M_k:=\sup_{x\in I}\vert f^{(k)}(x)\vert<+\infty,\quad\forall\,k=0,1,2.\]

On suppose que \(I=\mathbb R\). Montrer que \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\).

On suppose que \(I=[-c,c],\ c\in\mathbb R_+^\star\). Montrer que \[\vert f'(x)\vert\leq \dfrac{M_0}{c}+(x^2+c^2)\dfrac{M_2}{2c},\quad \forall\,x\in[-c,c].{\text{(\ding{56})}}\] \[M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\quad\text{si}\quad c\geq \sqrt{\dfrac{M_0}{M_2}}.{\text{(\ding{52})}}\]

On suppose que \(I=(c,+\infty),\ c\in\mathbb R\). Montrer que \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\).

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