Continuité

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Continuité
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Exercices dans ce dossier

Exercice

Exercice 1329

9 novembre 2022 12:19 — Par Patrice Lassère

Bibliographie
Exercice

Les algèbres \(\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) et \(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\) sont-elles isomorphes ? *

9 novembre 2022 14:59 — Par Patrice Lassère

[rms]-2006.

Existe-t-il un isomorphisme d’algèbres entre \(\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) et \(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\) ?

Exercice

Automorphisme d’algèbre de \(\mathscr C(\mathbb R^d,\mathbb R)\) *

9 novembre 2022 14:59 — Par Patrice Lassère

Soit \(K\) un compact de \(\mathscr C(\mathbb R^d)\). Montrer que tout automorphisme d’algèbre unitaire de \(\mathscr C(\mathbb R^d,\mathbb R)\) est une isométrie pour la norme uniforme.

Exercice

Sous-algèbres de dimension finie de \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\) *

9 novembre 2022 14:59 — Par Patrice Lassère

Déterminer les sous-algèbres de dimension finie de \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\).

Exercice

Propriété des valeurs intermédiaires et monotonie impliquent la continuité *

9 novembre 2022 14:59 — Par Patrice Lassère

Montrer que toute application strictement monotone \(f\ :\ [a,b]\mapsto\mathbb R\) qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est continue.
Exercice

Baireries *

9 novembre 2022 14:59 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\ :\ \rbrack 0,+\infty\lbrack\) une application continue telle que \[\forall\,x>0,\quad\lim_{n\to +\infty}f\left( \dfrac{x}{n}\right) =0.\] A-t-on \[\quad\lim_{x\to 0_+}f\left( x\right) =0\quad ?\]
Exercice

L’équation fonctionnelle de Cauchy \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) *

9 novembre 2022 14:59 — Par Patrice Lassère

[boas] Déterminer suivant leurs propriétés les fonctions \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) vérifiant \[f(x+y)=f(x)+f(y),\qquad\forall\,x,y\in\mathbb R.(\bigstar)\]

Exercice

Les fonctions mid-convexes *

9 novembre 2022 14:59 — Par Patrice Lassère

  1. Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb R\), \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) une application continue ; montrer que \(f\) est convexe sur \(I\) si, et seulement si elle est mid-convexe, i.e. \[f\left( \dfrac{x+y}{2}\right) \leq \dfrac{1}{2}f(x)+\dfrac{1}{2}f(y),\quad \forall\,x,y\in I.{(\text{$\star$})}\]

  2. Existe-t-il des applications mid-convexes mais non convexes ?

Exercice

L’équation fonctionnelle \(f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x)f(y)\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbb R)\). *

9 novembre 2022 14:59 — Par Patrice Lassère

Montrer que les solutions continues sur \(\mathbb R\) et non identiquement nulles de l’équation fonctionnelle \[f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x)f(y),\quad\forall\,x,y\in\mathbb R{\text{($\star$)}}\] sont de la forme \(f(x)=f(1)^{x^2}\).
Exercice

Continuité et connexité : le théorème de Borsuk-Ulam *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\) une application continue du cercle unité \(S^1\subset \mathbb R^2\) dans \(\mathbb R\). Montrer qu’il existe sur le cercle deux points diamétralement opposés (antipodaux) en lesquels \(f\) prends la même valeur.

Exercice

Continuité et composition *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

[amm], 19??

Soient \(I,J\) deux intervalles de \(\mathbb R\) et deux fonctions

\[g\,:\,I\longrightarrow J \quad\&\quad f\,:\,J\longrightarrow \mathbb R\]

on suppose \(g\) continue sur \(I\) et \(f\circ g\) continue sur \(I\) ; montrer que \(f\) est continue sur \(g(I)\).

Exercice

Autour des valeurs intermédiaires *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Existe-t-il une fonction continue \(\,f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) prenant exactement deux fois chaque valeur ?

Exercice

Le théorème des valeurs intermédiaires *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\,:\,\mathbb R\to\mathbb R\) une application possédant la propriété des valeurs intermédiaires et telle que \(\forall\,q\in\mathbb Q\), \(f^{-1}(\{q\})\) est fermé, montrer que \(f\) est continue.

Exercice

Sur les points de discontinuité d’une bijection \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R_+^\star\) *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Montrer qu’une bijection entre \(\mathbb R\) et \(\mathbb R_+^\star\) possède au moins un ensemble dénombrable de points de discontinuité.
Exercice

Sur la continuité de l’application réciproque *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\,:\ \mathbb R\to\mathbb R\) définie par

\[\forall n\geq 1\,:\,f(2n)=n,\ f(2n+1)={1\over{2n+1}},\ f({1\over n})={1\over{2(n-1)}}\,(n\ne 1),\ \]

et \(f(x)=x\) pour tout autre réel positif ; on prolonge enfin \(f\) sur \(\mathbb R\) par imparité. Montrer que \(f\) est bijective, continue à l’origine avec \(f^{-1}\) discontinue en \(x=0\).
Exercice

Sur la continuité de l’application réciproque, suite *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\) une bijection de \(\mathbb Z\) sur \(\mathbb Q\). Montrer que \(f\) est une bijection continue dont l’application réciproque \(f^{-1}\) est partout discontinue.
Exercice

Continuité, topologie *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\,:\,\mathbb R\to\mathbb R\) une application continue. Si l’image réciproque par \(f\) de tout compact est compacte, montrer que \(f\) est fermée (i.e. l’image par \(f\) de tout fermé est un fermé).
Exercice

Continuité *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Existe-t-il une application continue \(f\) de \(\mathbb C^{\star}\) dans \(\mathbb C\) vérifiant

\[\exp(f(z))=z,\quad\forall z\in\mathbb C^{\star}\qquad ?\]
Exercice

Théorème du point fixe : quelques limites *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\,:\ \mathbb R\to\mathbb R\) définie par

\[f(x)=\begin{cases} x+e^{-x}\quad &\text{ si } x\geq 1 \\ 0\quad &\text{ sinon}, \end{cases}\]

montrer que \(f\) réduit strictement les distances et toutefois ne possède aucun point fixe.
Exercice

Propriétés topologiques de l’ensemble des points de discontinuité d’une application *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Soient \((X,d_1),\ (Y,d_2)\) deux espaces métriques.

  1. Soient \(\emptyset\neq A\subset X\) et \(f\ :\ A\to Y\). Pour \(x\in\overline A\) on pose \[o_f(x,\delta):=\rm{diam}(f(A\cap B(x,\delta))),\quad\delta\in\mathbb R_+^\star.\] L’oscillation de \(f\) au point \(x\) est définie par \[o_f(x)=\lim_{\delta\to 0_+}o_f(x,\delta).\] Montrer que \(f\) est continue en \(a\in A\) si et seulement si \(o_f(a)=0\). Montrer enfin que pour tout \(\varepsilon>0\), l’ensemble \(\{ \,x\in\overline{A}\ :\ o_f(x)\geq \varepsilon\}\) est fermé dans \(X\).

  2. Montrer que l’ensemble des points de continuité d’une application \(f\ :\ X\to Y\) est un \(G_\delta\) (i.e. une intersection dénombrable d’ouverts). Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de \(f\) est un \(F_\sigma\) (i.e. une réunion dénombrable de fermés).

  3. Montrer que tout \(F_\sigma\) dans \(\mathbb R\) est l’ensemble des points de discontinuité d’une application \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\).

  4. Soit \(A\) un \(F_\sigma\) d’un espace métrique \(X\). Existe-t-il une application \(f\ :\ X\to\mathbb R\) dont l’ensemble des points de discontinuité soit précisément \(A\) ?

  5. Soient \(X\) un espace métrique complet et \(f\ :\ X\to\mathbb R\). Montrer que si \(f\) est limite simple sur \(X\) d’une suite de fonctions continues alors l’ensemble des points de discontinuité de \(f\) est maigre dans \(X\) (i.e. réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide) ; en déduire que l’ensemble des points de contuité de \(f\) est dense dans \(X\).

  6. Existe-t-il une application \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) dont l’ensemble des points de discontinuité soit exactement \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) ?

Exercice

Une application discontinue sur \(\mathbb Q\) *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\,:\ \mathbb R\to\mathbb R\) définie par

\[f(x)=\begin{cases} {1\over q}\qquad\text{ si }x={p\over q}\in\mathbb Q^\star,\ pgcd(p,q)=1,\\ 0\qquad\text{ sinon. } \end{cases}\]

Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\setminus\mathbb Q^\star\), discontinue sur \(\mathbb Q^\star\).
Exercice

Continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

On dira qu’une suite \((x_n)_n\) de nombres réels converge vers \(x\in\mathbb R\) au sens de Césaro si \[\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=x\] et on écrira \(x_n\to x\ (C)\). Il est bien connu que la convergence usuelle implique la convergence au sens de Cesàro et que la réciproque esr fausse. On dira qu’une application \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) est continue au sens de Cesàro au point \(x\), si \(x_n\to x\ (C)\) implique \(f(x_n)\to f(x)\ (C)\).

  1. Etudier la continuité au sens de Cesàro des applications \(f(x)=ax+b,\ g(x)=\sqrt{x},\ h(x)=x^2\) sur leur domaine de définition

  2. Soit \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) une application continue au sens de Cesàro en un point \(x_0\in\mathbb R\).

    -Montrer qu’on peut toujours supposer que \(x_0=0\) et \(f(x_0)=0\).

    -Soient \(a,b\in\mathbb R\). Montrer que la suite \(a,\ b,\ -(a+b),\ a,\ b,\ -(a+b),a,\ b,\ -(a+b),\ \dots\) converge au sens de Cesàro vers \(0\). En déduire que \(f(a+b)=f(a)+f(b)\).

    -Montrer que \(f(qx)=qf(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R,\ q\in\mathbb Q\).

    -Soit \((x_n)_n\) une suite convergente vers \(0\). Montrer qu’il existe une suite de réels \((y_n)_n\) telle que \(x_n=n^{-1}(y_1+\dots+y_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N^\star\).

    -Montrer que \(f\) est continue à l’origine.

    -En déduire que \(f\) est de la forme \(f(x)=ax+b\).
Exercice

Des petits o *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\ :\ \mathbb R_+^\star\to\mathbb R\). Si \[\lim_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{et}\quad f(x)-f\left( \dfrac{x}{2}\right) =o(x),\ (x\to 0),\] montrer que \(\quad f(x)=o(x),\ (x\to 0).\)

Exercice

L’équation fonctionnelle \(f^{2}(x)=\int_0^x\,\left( f^2(t)+f'^2(t)\right)dt+2007\). *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Déterminer les fonctions \(f\in\mathscr C^1(\mathbb R)\) vérifiant \[f^{2}(x)=\int_0^x\,\left( f^2(t)+f'^2(t)\right)dt+2007,\quad x\in\mathbb R.{(\text{$\star$})}\]

Exercice

Encore quelques équations fonctionnelles *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

[rms], 2008.

  1. Déterminer les fonctions \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) continues telles que \(f(x)+f(2x)=0,\ \forall\,x\in\mathbb R\).

  2. Soient \(a,b,c>0\) deux à deux distincts. Trouver les fonctions \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) de classe \(\mathcal C^\infty\) telles que \(f(ax)+f(bx)+f(cx)=0,\ \forall\,x\in\mathbb R\).

Exercice

Une inéquation fonctionnelle *

9 novembre 2022 15:00 — Par Patrice Lassère

Déterminer toutes les fonctions \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) vérifiant \[\forall\,x\in\mathbb R,\ q\in\mathbb Q\ :\ \vert f(x)-f(q)\vert\leq \vert x-q\vert^2.\]

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