Topologie

Dans le dossier «Topologie»

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Exercices dans ce dossier

Exercice

Une famille totale dans \(l^2(\mathbb N)\) *

9 novembre 2022 13:49 — Par Patrice Lassère

L’espace \(l^2(\mathbb N)\) des suite réelles de carré sàmmable est muni du produit scalaire usuel. On fixe \(\alpha\in]-1,1[\) et on pose pour tout \(i\in\mathbb N^\star\) : \(U_i=(\alpha^{ni})_{n\geq 0}\).

  1. Montrer que \((U_i)_{i\in\mathbb N^\star}\) est une famille libre de \(l^2(\mathbb N)\).

  2. Calculer l’orthogonal dans \(l^2(\mathbb N)\) de \(F:=\text{vect}\{U_i,\ i\in\mathbb N^\star\}.\)

  3. Que peut-on en déduire ?

Exercice

La somme de deux sous espaces fermés est-elle fermée ? *

9 novembre 2022 13:49 — Par Patrice Lassère

Soient \(E\) un espace vectoriel normé (sur \(\mathbb K=\mathbb R\) ou \(\mathbb C\)), \(F,G\) deux sous espaces de \(E\). On suppose \(F\) fermé et \(G\) de dimension finie, montrer que \(F+G:=\{\ x+y,\ x\in F,\ G\in G\}\) est fermé.

Exercice

Complémentaire d’un hyperplan dans un espace vectoriel normé *

9 novembre 2022 13:49 — Par Patrice Lassère

[rms]-2006.

Soit \(E\) un espace vectoriel normé réel et \(H\) un hyperplan. Montrer que \(E\setminus H\) est connexe par arcs si, et seulement si \(H\) est fermé.

Exercice

Normes, normes équivalentes *

9 novembre 2022 13:49 — Par Patrice Lassère

Pour \(f\in\mathscr E:=\{f\in\mathscr C^2([0,1], \mathbb R)\ :\ f(0)=f'(0)=0\}\) on pose \[\Vert f\Vert=\Vert f+2f'+f''\Vert_\infty.\]

  1. Montrer que \(\Vert\cdot\Vert\) est sur \(\mathscr E\), une norme plus fine que la norme uniforme \(\Vert\cdot\Vert_\infty\). Déterminer la plus petite constante \(a>0\) vérifiant \(\Vert f\Vert_\infty\leq a \cdot\Vert f\Vert\) sur \(\mathscr E\).

  2. Les normes \(\Vert \cdot\Vert\) et \(\Vert \cdot\Vert_\infty\) sont-elles équivalentes sur \(\mathscr E\) ?

Exercice

Démonstration des inégalités faibles de Kolmogorov via les normes équivalentes, formule de Taylor *

9 novembre 2022 13:49 — Par Patrice Lassère

[rms],2004/05, ??, 114-2,

Soient \(a\in\mathbb R,\ n\in\mathbb N^\star\) et \(f\ :\ [a,+\infty[\) une fonction réelle de classe \(C^{n+1}\). On se propose d’utiliser les résultats du cours pour donner une preuve assez inhabituelle du résultat suivant :

Si \(f\) et \(f^{(n+1)}\) sont bornées sur \([a,+\infty[\), il en est de même pour les dérivées intermédiaires \(f',f^{''},\dots,f^{(n)}\).

  1. Soit \(\delta>0\), pour \(Q=\sum_{k=0}^nc_k x^k\in\mathbb R_n[X]\), on pose \[N_1(Q)=\max_{0\leq k\leq n}\vert c_k\vert\quad\text{et}\quad N_2(Q)=\sup_{x\in[0,\delta]}\vert Q(x)\vert.\] Montrer qu’il existe deux constantes \(\lambda,\mu\in\mathbb R_+^\star\) telles que \[\mu N_2(Q)\leq N_1(Q)\leq\lambda N_2(Q),\quad\forall\,Q\in\mathbb R_n[X].\]

  2. Pour tout \(x\geq a\) et \(\delta\geq u>0\) montrer que (utiliser Taylor-Lagrange) \[\big\vert f(x)+f'(x)u+\dots+f^{(n)}(x)\dfrac{u^n}{n!}\big\vert \leq \Vert f\Vert_{\infty}+\dfrac{\delta^{n+1}}{(n+1)!}\Vert f^{(n+1)}\Vert_\infty:=M,\]\(\displaystyle\Vert g\Vert_\infty :=\sup_{x\geq a}\vert g(x)\vert\).

    En déduire que pour tout \(x\geq a\) (en notant \(P_x(X):=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x)}{k!}X^k\in\mathbb R_n[X]\)) on a : \[N_2(P_x)\leq M.\]

  3. En déduire la version faible des inégalités de Kolmogorov \[\forall\,k\in\{0,1,\dots,n\}\ :\ \Vert f^{(k)}\Vert_\infty\leq k!\lambda M.\]

Exercice

L’ensemble \(\mathscr P\) des nombres premiers est infini : preuve topologique *

9 novembre 2022 13:49 — Par Patrice Lassère

Pour \((a,b)\in\mathbb Z\times\mathbb N^\star\), on pose \[N_{a,b}:=\{a+nb,\ n\in\mathbb Z\}.\] On dira qu’une partie non vide \(O\subset\mathbb Z\) est ouverte si pour tout \(a\in O\) il existe \(b\in\mathbb N^\star\) tel que \(N_{a,b}\subset O\).

  1. Montrer que l’on a bien défini sur \(\mathbb Z\) une topologie \(\mathbb T\) pour laquelle tout ouvert non vide est de cardinal infini et tout \(N_{a,b}\) est à la fois ouvert et fermé.

  2. Montrer que l’ensemble \(\mathscr P\) des nombres premiers est infini.

Exercice

Espace métrique et continuité *

9 novembre 2022 13:49 — Par Patrice Lassère

[amm], (2003), problème 10998.

On considère dans un espace métrique \((X,d)\) une partie \(D\) non vide, ouverte, connexe et relativement compacte. Soit \(f\ :\ D\to D\) une application continue. Si \(f(D)\) est ouvert, montrer qu’il existe \(x_0\in D\) tel que \[d(x_0,\partial D)=d(f(x_0),\partial D).\]

Exercice

Normes sur \(\mathscr C^0([0,1])\) *

9 novembre 2022 14:07 — Par Patrice Lassère

[rms], 2003/04

Soit \((s_n)_n\) une suite dense dans \([0,1]\) et \((a_n)_n\) une suite de réels strictements positifs tels que la série \(\sum_n a_n\) converge. On pose pour \(f\in\mathscr C^0([0,1])\) \[N(f)=\sum_{n\geq 0}a_n\vert f(s_n)\vert.\]

  1. Montrer que l’on définit ainsi une norme sur \(\mathscr C^0([0,1])\).

  2. Cette norme est-elle équivalente à la norme sup ?

Exercice

Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) et \(M_n(\mathbb C)\) : propriétés de \(\mathscr D_n\) et \(\mathscr D'_n\) *

9 novembre 2022 14:17 — Par Patrice Lassère

\(\mathscr D_n(\mathbb C)\) (respectivement \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\)) désigne l’ensemble des matrices diagonalisables (respectivement de matrices ayant \(n\) valeurs propres distinctes) de \(M_n(\mathbb C)\). Montrer que l’intérieur de \(\mathscr D_n(\mathbb C)\) dans \(M_n(\mathbb C)\) est \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\). Montrer que \(\mathscr D_n(\mathbb C)\) et \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\) sont denses dans \(M_n(\mathbb C)\). \(\mathscr D_n(\mathbb R)\) est il dense dans \(M_n(\mathbb R)\) ?

Exercice

Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) : l’adhérence de \(\mathscr D_n(\mathbb R)\) *

9 novembre 2022 14:17 — Par Patrice Lassère

[rms]-1999.

Soit \(P\in\mathbb R[X]\) un polynôme unitaire. Montrer que \(P\) est scindé dans \(\mathbb R[X]\) si, et seulement si \[\forall\,z\in\mathbb C\quad :\quad \vert P(z)\vert\geq \vert\text{Im}(z)\vert^{\text{deg}(P)}.{(\text{$\star$})}\]

Soit \((A_k)_k\in M_n(\mathbb R)\) une suite convergente de matrices trigonalisables sur \(\mathbb R\). Montrer que \(A:=\lim_k A_k\) est trigonalisable.

En déduire l’adhérence dans \(M_n(\mathbb R)\) de l’ensemble des matrices diagonalisables.

Exercice

Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) et \(M_n(\mathbb C)\) : propriétés de \(\mathscr D_n\) et \(\mathscr D'_n\) *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

\(\mathscr D_n(\mathbb C)\) (respectivement \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\)) désigne l’ensemble des matrices diagonalisables (respectivement de matrices ayant \(n\) valeurs propres distinctes) de \(M_n(\mathbb C)\). Montrer que l’intérieur de \(\mathscr D_n(\mathbb C)\) dans \(M_n(\mathbb C)\) est \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\). Montrer que \(\mathscr D_n(\mathbb C)\) et \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\) sont denses dans \(M_n(\mathbb C)\). \(\mathscr D_n(\mathbb R)\) est il dense dans \(M_n(\mathbb R)\) ?

Exercice

Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) : l’adhérence de \(\mathscr D_n(\mathbb R)\) *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

[rms]-1999.

Soit \(P\in\mathbb R[X]\) un polynôme unitaire. Montrer que \(P\) est scindé dans \(\mathbb R[X]\) si, et seulement si \[\forall\,z\in\mathbb C\quad :\quad \vert P(z)\vert\geq \vert\text{Im}(z)\vert^{\text{deg}(P)}.{(\text{$\star$})}\]

Soit \((A_k)_k\in M_n(\mathbb R)\) une suite convergente de matrices trigonalisables sur \(\mathbb R\). Montrer que \(A:=\lim_k A_k\) est trigonalisable.

En déduire l’adhérence dans \(M_n(\mathbb R)\) de l’ensemble des matrices diagonalisables.

Exercice

\(\exp(A)\in\mathbb C[A],\quad \forall A\in M_n(\mathbb C)\) *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

Soit \(A\in M_n(\mathbb C)\). Montrer qu’il existe un polynôme \(P\in\mathbb C[X]\) tel que \[e^A=P(A).\]

Exercice

Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : autour des matrices nilpotentes *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

  1. Montrer que \(A\) est nilpotente si, et seulement si, il existe une suite de matrices \((B_k)_k\) semblables à \(A\) et de limite nulle.

  2. Montrer que le sous-espace \(\mathscr N\) engendré par les matrices nilpotentes est le sous-espace \(\mathscr T\) des matrices de trace nulle.

Exercice

Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : les classes de conjugaison *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

Si \(A\in M_n(\mathbb C)\) on définit la classe de conjugaison de \(A\) par \[\mathscr S_A=\left\lbrace P^{-1}AP,\quad P\in GL_n(\mathbb R)\right\rbrace.\]

  1. Si \(A\) est nilpotente, montrer que \(0\in\overline{\mathscr S_A}\).

  2. Montrer l’équivalence entre :

    (i)  \(A\) est diagonalisable.

    (ii) \(\mathscr S_A\) est fermée dans \(M_n(\mathbb C).\)

  3. Soit \(A\in M_n(\mathbb C)\). Montrer que

    (i)  Montrer que \(\mathscr S_A\) est borné si, et seulement si \(A\neq\lambda I_n,\ \lambda\in\mathbb C\).

    (ii) Montrer que \(\mathscr S_A\) est connexe par arc, d’interieur vide dans \(M_n(\mathbb C)\).

Exercice

Espace de Banach *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

[rms]-1994/95.

Soit \((E,\Vert .\Vert)\) un espace de Banach admettant une famille libre \((a_n)_{n\geq 1}\).

Montrer que \(F_n:=\text{Vect}(a_1,\dots,a_n)\) est fermé dans \(E\).

Construire une suite \((\alpha_n)_n\) de réels strictement positifs vérifiant pour tout \(n\in\mathbb N^\star\) \[\alpha_n.\Vert a_{n+1}\Vert\leq \dfrac{1}{3}d(\alpha_na_n,F_{n-1}).\]

Justifier l’existence de \(x=\sum_{k\geq 1}\alpha_ka_k\). Existe-t-il \(n\in\mathbb N^\star\) tel que \(x\in F_n\) ?

Conclusion ?

Exercice

Surjectivité universelle de l’ensemble de Cantor *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

[amm] 10/1998.

Il s’agit de quelques applications, souvent surprenantes de la propriété universelle de surjectivité de l’ensemble de Cantor \(C\) :

Tout espace métrique compact est image continue de l’ensemble de Cantor

(Alexandroff-Hausdorff)

  1. Il existe une surjection continue \(f\) de \([0,1]\) sur \([0,1]^d\).

  2. Une fonction continue qui interpole toute suite bornée : Il existe une application continue \(f\in\mathscr C (\mathbb R,\mathbb R)\) telle que pour toute suite \(\mathbf{y}=(y_n)_n\in[-1,1]^{\mathbb Z}\), il existe \(a\in\mathbb R\) tel que \[f(a+n)=y_n,\quad \forall\,n\in\mathbb Z.\]

  3. Le théorème de Banach-Mazur : Tout Banach séparable est linéairement isométrique à un sous-espace de \(\mathscr C([0,1])\).

Exercice

Sur les espaces de Baire *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

Soient \(X\) un espace topologique, \(Y\) un sous-espace de \(X\)

  1. Soit \(A\subset Y\) un ensemble fermé d’intérieur vide (dans \(Y\)). Montrer que \(A\) est rare dans \(X\) i.e. \(\mathring{\overline{A}^X}=\emptyset\).

  2. Si \(A\subset Y\) est maigre dans \(Y\), montrer qu’il est maigre dans \(X\).

  3. Dans un espace de Baire, montrer que le complémentaire de toute partie maigre est un espace de Baire.

  4. Montrer qu’un espace de Baire séparé et sans points isolés est non dénombrable.

Exercice

Sur la norme d’une forme linéaire *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

[rms], 2005.

Soient \(E\) un espace vectoriel normé, \(\psi\in E'\) une forme linéaire continue non identiquement nulle sur \(E\). Soit \(e\in E\) tel que \(\psi(e)\neq 0\). Montrer que \[\vert\vert\vert \psi\vert\vert\vert = \dfrac{\vert \psi(e)\vert}{\rm{dist}(e,\ker(\psi))}.\]

Exercice

Applications linéaires continues et compacité *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

[rms], 19??.

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb R^d\) d’intérieur non vide (i.e. \(\exists a>0\ :\ B(0,a)\subset K\)) ; et soit \(L:=\{ u\in\mathscr L(\mathbb R^d)\ :\ u(K)\subset K\}\). Montrer que \(L\) est une partie compacte de \(\mathscr L(\mathbb R^d)\).

L’hypothèse \(\exists\, a>0\ :\ B(0,a)\subset K\) est-elle nécessaire ?

Exercice

Trois preuves du théorème d’approximation de Weierstrass trigonométrique *

9 novembre 2022 14:43 — Par Patrice Lassère

Soit \(f\in\mathscr C_{2\pi}\), montrer qu’il existe une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément sur \(\mathbb R\) .

  1. Commencer par montrer qu’il existe une suite d’applications affines par morceaux et \(2\pi\)-périodiques qui converge uniformément sur \([-1,1]\) vers \(f\) puis conclure. Conclure.

  2. En utilisant le théorème de Fejèr.

  3. (
    [fgnan2]) Une troisième approche plus constructive. On considère pour tout \(n\in\mathbb N\) \[f_n(x):=(f\star u_n)(x)= \int_0^{2\pi}f(x-t)u_n(t)dt,\quad x\in\mathbb R,\]\[u_n(t):=c_n(1+\cos(t))^n,\ t\in\mathbb R\quad {\rm{avec}}\quad c_n^{-1}=\int_0^{2\pi}(1+\cos(t))^ndt.\]

    a) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(f_n\) est un polynôme trigonométrique.

    b) Montrer que la suite \((f_n)_n\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\mathbb R\).

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