Exercice
Exercice 1329
9 novembre 2022 12:19
— Par Patrice Lassère
Bibliographie
[rms]-2006.
Soit \(E\) un espace vectoriel normé réel et \(H\) un hyperplan. Montrer que \(E\setminus H\) est connexe par arcs si, et seulement si \(H\) est fermé.
[rms],2004/05, ??, 114-2,
Soient \(a\in\mathbb R,\ n\in\mathbb N^\star\) et \(f\ :\ [a,+\infty[\) une fonction réelle de classe \(C^{n+1}\). On se propose d’utiliser les résultats du cours pour donner une preuve assez inhabituelle du résultat suivant :
Si \(f\) et \(f^{(n+1)}\) sont bornées sur \([a,+\infty[\), il en est de même pour les dérivées intermédiaires \(f',f^{''},\dots,f^{(n)}\).
Soit \(\delta>0\), pour \(Q=\sum_{k=0}^nc_k x^k\in\mathbb R_n[X]\), on pose \[N_1(Q)=\max_{0\leq k\leq n}\vert c_k\vert\quad\text{et}\quad N_2(Q)=\sup_{x\in[0,\delta]}\vert Q(x)\vert.\] Montrer qu’il existe deux constantes \(\lambda,\mu\in\mathbb R_+^\star\) telles que \[\mu N_2(Q)\leq N_1(Q)\leq\lambda N_2(Q),\quad\forall\,Q\in\mathbb R_n[X].\]
Pour tout \(x\geq a\) et \(\delta\geq u>0\) montrer que (utiliser Taylor-Lagrange) \[\big\vert f(x)+f'(x)u+\dots+f^{(n)}(x)\dfrac{u^n}{n!}\big\vert \leq \Vert f\Vert_{\infty}+\dfrac{\delta^{n+1}}{(n+1)!}\Vert f^{(n+1)}\Vert_\infty:=M,\] où \(\displaystyle\Vert g\Vert_\infty :=\sup_{x\geq a}\vert g(x)\vert\).
En déduire que pour tout \(x\geq a\) (en notant \(P_x(X):=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x)}{k!}X^k\in\mathbb R_n[X]\)) on a : \[N_2(P_x)\leq M.\]
En déduire la version faible des inégalités de Kolmogorov \[\forall\,k\in\{0,1,\dots,n\}\ :\ \Vert f^{(k)}\Vert_\infty\leq k!\lambda M.\]
[amm], (2003), problème 10998.
On considère dans un espace métrique \((X,d)\) une partie \(D\) non vide, ouverte, connexe et relativement compacte. Soit \(f\ :\ D\to D\) une application continue. Si \(f(D)\) est ouvert, montrer qu’il existe \(x_0\in D\) tel que \[d(x_0,\partial D)=d(f(x_0),\partial D).\]
[rms], 2003/04
Soit \((s_n)_n\) une suite dense dans \([0,1]\) et \((a_n)_n\) une suite de réels strictements positifs tels que la série \(\sum_n a_n\) converge. On pose pour \(f\in\mathscr C^0([0,1])\) \[N(f)=\sum_{n\geq 0}a_n\vert f(s_n)\vert.\]
Montrer que l’on définit ainsi une norme sur \(\mathscr C^0([0,1])\).
Cette norme est-elle équivalente à la norme sup ?
[rms]-1999.
Soit \(P\in\mathbb R[X]\) un polynôme unitaire. Montrer que \(P\) est scindé dans \(\mathbb R[X]\) si, et seulement si \[\forall\,z\in\mathbb C\quad :\quad \vert P(z)\vert\geq \vert\text{Im}(z)\vert^{\text{deg}(P)}.{(\text{$\star$})}\]
Soit \((A_k)_k\in M_n(\mathbb R)\) une suite convergente de matrices trigonalisables sur \(\mathbb R\). Montrer que \(A:=\lim_k A_k\) est trigonalisable.
En déduire l’adhérence dans \(M_n(\mathbb R)\) de l’ensemble des matrices diagonalisables.
[rms]-1999.
Soit \(P\in\mathbb R[X]\) un polynôme unitaire. Montrer que \(P\) est scindé dans \(\mathbb R[X]\) si, et seulement si \[\forall\,z\in\mathbb C\quad :\quad \vert P(z)\vert\geq \vert\text{Im}(z)\vert^{\text{deg}(P)}.{(\text{$\star$})}\]
Soit \((A_k)_k\in M_n(\mathbb R)\) une suite convergente de matrices trigonalisables sur \(\mathbb R\). Montrer que \(A:=\lim_k A_k\) est trigonalisable.
En déduire l’adhérence dans \(M_n(\mathbb R)\) de l’ensemble des matrices diagonalisables.
[rms]-1994/95.
Soit \((E,\Vert .\Vert)\) un espace de Banach admettant une famille libre \((a_n)_{n\geq 1}\).
Montrer que \(F_n:=\text{Vect}(a_1,\dots,a_n)\) est fermé dans \(E\).
Construire une suite \((\alpha_n)_n\) de réels strictement positifs vérifiant pour tout \(n\in\mathbb N^\star\) \[\alpha_n.\Vert a_{n+1}\Vert\leq \dfrac{1}{3}d(\alpha_na_n,F_{n-1}).\]
Justifier l’existence de \(x=\sum_{k\geq 1}\alpha_ka_k\). Existe-t-il \(n\in\mathbb N^\star\) tel que \(x\in F_n\) ?
Conclusion ?
[amm] 10/1998.
Il s’agit de quelques applications, souvent surprenantes de la propriété universelle de surjectivité de l’ensemble de Cantor \(C\) :
Tout espace métrique compact est image continue de l’ensemble de Cantor
(Alexandroff-Hausdorff)
Il existe une surjection continue \(f\) de \([0,1]\) sur \([0,1]^d\).
Une fonction continue qui interpole toute suite bornée : Il existe une application continue \(f\in\mathscr C (\mathbb R,\mathbb R)\) telle que pour toute suite \(\mathbf{y}=(y_n)_n\in[-1,1]^{\mathbb Z}\), il existe \(a\in\mathbb R\) tel que \[f(a+n)=y_n,\quad \forall\,n\in\mathbb Z.\]
Le théorème de Banach-Mazur : Tout Banach séparable est linéairement isométrique à un sous-espace de \(\mathscr C([0,1])\).
[rms], 2005.
Soient \(E\) un espace vectoriel normé, \(\psi\in E'\) une forme linéaire continue non identiquement nulle sur \(E\). Soit \(e\in E\) tel que \(\psi(e)\neq 0\). Montrer que \[\vert\vert\vert \psi\vert\vert\vert = \dfrac{\vert \psi(e)\vert}{\rm{dist}(e,\ker(\psi))}.\]
[rms], 19??.
Soit \(K\) un compact de \(\mathbb R^d\) d’intérieur non vide (i.e. \(\exists a>0\ :\ B(0,a)\subset K\)) ; et soit \(L:=\{ u\in\mathscr L(\mathbb R^d)\ :\ u(K)\subset K\}\). Montrer que \(L\) est une partie compacte de \(\mathscr L(\mathbb R^d)\).
L’hypothèse \(\exists\, a>0\ :\ B(0,a)\subset K\) est-elle nécessaire ?
Soit \(f\in\mathscr C_{2\pi}\), montrer qu’il existe une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément sur \(\mathbb R\) .
Commencer par montrer qu’il existe une suite d’applications affines par morceaux et \(2\pi\)-périodiques qui converge uniformément sur \([-1,1]\) vers \(f\) puis conclure. Conclure.
En utilisant le théorème de Fejèr.
([fgnan2]) Une troisième approche plus constructive. On considère pour tout \(n\in\mathbb N\) \[f_n(x):=(f\star u_n)(x)= \int_0^{2\pi}f(x-t)u_n(t)dt,\quad x\in\mathbb R,\] où \[u_n(t):=c_n(1+\cos(t))^n,\ t\in\mathbb R\quad {\rm{avec}}\quad c_n^{-1}=\int_0^{2\pi}(1+\cos(t))^ndt.\]
a) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(f_n\) est un polynôme trigonométrique.
b) Montrer que la suite \((f_n)_n\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\mathbb R\).