Est-ce que le coefficient de \(x^{45}\) dans le développement en série entière à l’origine de \[(1-x)^{-1}(1-x^3)^{-1}(1-x^9)^{-1}(1-x^{15})^{-1}\] vaut \(88\) ?

Si l’on choisit deux réels au hasard dans l’intervalle \([0,1]\), quelle est la probabilité que la distance dans le plan complexe des deux racines du polynôme \(p(z)=z^2+bz+c\) soit inférieure ou égale à \(1\) ?

(Putnam 1993).

Si \(x\) et \(y\) sont choisis au hasard dans \([0,1]\) (avec une densité uniforme), quelle est la probabilité que l’entier le plus proche de \(\frac{x}{y}\) soit pair ?

On se propose de démontrer que la probabilité \(r_n\) que deux entiers pris au hasard dans \(\{1,\dots,n\}\) soient premiers entre-eux vérifie \[r_n=\dfrac{1}{n^2}\sum_{d\geq 1}\mu(d)E\left( \dfrac{n}{d}\right)^2\quad\text{et}\quad \lim_n r_n=\dfrac{6}{\pi^2}\] où l’application (c’est la fonction de möebius) \(\mu\ :\ \mathbb N^\star\to\ \{-1,0,1\}\) est définie par : \[\mu(n)=\begin{cases} &1\qquad\quad\text{ si }n=1,\\ &0\qquad\quad\text{ si }n\text{ possède au moins un facteur carré, }\\ &(-1)^k\quad\text{ si }n=p_1 \dots p_k\text{où les }p_i\text{ sont des nombres premiers distincts.} \end{cases}\] Soient \(p_1,\dots,p_k\) les nombres premiers \(\leq n\) et pour \(1\leq i\leq k\) : \[V_i:=\left\lbrace (a,b)\in\{1,\dots,n\}^2\ :\ p_i\text{ divise }a\text{ et }b\right\rbrace .\]

Montrer que

\[\begin{aligned}\text{card}\left( \bigcup_{i=1}^k V_i\right) &=\sum_{\emptyset\neq I\subset\{1,\dots,n\}}(-1)^{1+\text{card}(I)}\text{card}\left( \bigcap_{i\in I}V_i\right) \\ &=-\sum_{\emptyset\neq I\subset\{1,\dots,n\}} (-1)^{\text{card}(I)}E\left(\dfrac{n}{\prod_{i\in I}p_i}\right)^2\\ &=-\sum_{d=2}^n\mu(d)E\left( \dfrac{n}{d}\right)^2\end{aligned}\] Et en déduire \(r_n\).

Montrer que \(\displaystyle\left\vert r_n-\sum_{d=1}^n \dfrac{\mu(d)}{d^2}\right\vert=0\left( \dfrac{\log(n)}{n}\right).\)

Montrer que \(\displaystyle\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}\sum_{d\geq 1} \dfrac{\mu(d)}{d^2}=\sum_{i\geq 1}\sum_{l\text{ divise } i}\dfrac{\mu(l)}{i^2}=1.\)

Conclure.

(Putnam, 1967).

Soit \(u_n\) le nombre de matrices \(n\times n\), symétriques à coefficients dans \(\{0,1\}\) avec exactement un \(1\) sur chaque ligne (on notera \(S_n\) cet ensemble). Avec \(u_0:=1\), montrer que \[u_{n+1}=u_n+nu_{n-1},\quad \sum_{n\geq 0}\dfrac{u_nx^n}{n!}=\exp{(x)+\dfrac{x^2}{2}}:=f(x).\]

(Putnam, 1961).

On choisit deux points au hasard et de manière indépendante sur un segment \(I\) de longueur \(d\). Soit \(0<l<d\), quelle est la probabilité que la distance entre ces deux points soit supérieure ou égale à \(l\) ?

Il s’agit de dénombrer le nombre de manières de distribuer \(n\) euros à \(p\) personnes.

Soit \(G\) un groupe fini non commutatif. On note \(p(G)\) la probabilité pour que deux éléments de \(G\) tirés au hasard commutent entre eux. Montrer que \(p(G)\leq \frac{5}{8}\) et préciser pour quels groupes cette valeur maximale est atteinte.

Références ???

Montrer qu’il n’est pas possible de piper deux dés de sorte que la variable aléatoire somme des deux faces soit uniformément répartie.

Est-il toutefois possible de piper les deux dés et que la variable aléatoire somme des deux faces continue à suivre la loi usuelle associée à deux dés normaux ?

Soient \(A_1,A_2,\dots,A_{n+1}\) des parties non vides de \(\{1,2,\dots,n\}\). Montrer qu’il existe deux ensembles \(I,J\subset\{1,2,\dots,n+1\}\) non vides et disjoints tels que \[\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcup_{j\in J}A_j.\]

On jette \(n\) fois un dé équilibré ; quelle est la probabilité que la somme des \(n\) faces obtenues soit divisible par \(5\) ?

Soient \(A_0=B_0=((1))\in M_1(\mathbb R)\). Pour \(n\geq 1\) on définit les suites de matrices par \[A_n=\begin{pmatrix}A_{n-1}&A_{n-1}\\A_{n-1}&B_{n-1}\end{pmatrix},\quad \rm{et}\quad B_n=\begin{pmatrix}A_{n-1}&A_{n-1}\\A_{n-1}& 0\end{pmatrix}\in M_{2n}(\mathbb R).\] Montrer que \[S(A_n^{k-1})=S(A_k^{n-1}),\forall\,n,k\in\mathbb N^\star\] avec \(S(M)=\sum_{1\leq i,j\leq n}m_{ij}\) où \(M=((m_{ij}))\).

Déterminer les entiers \(n\in\mathbb N^\star\) tels que l’écriture décimale de \(n!\) se termine par 2006 zéros exactement.