Géométrie

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Dans le dossier «Géométrie»

Géométrie
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Exercices dans ce dossier

Exercice

Optimisation dans un triangle *

9 novembre 2022 11:17 — Par Patrice Lassère

On désigne par \(h_1,h_2,h_3\) les hauteurs d’un triangle et par \(\rho\) le rayon de son cercle inscrit. Déterminer le minimum de \[\dfrac{h_1+h_2+h_3}{\rho}\] lorsque l’on décrit tous les triangles non dégénérés du plan.
Exercice

Sur la longueur de l’intersection entre une parabole et un disque *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

(Putnam, 2001).

Une parabole intersecte un disque de rayon \(1\). Est-il possible que la longueur de l’arc de parabole inscrit dans le disque soit supérieure ou égale à \(4\) ?
Exercice

Inégalités dans un triangle (1) *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

Soit \(ABC\) un triangle propre du plan affine euclidien et trois points \(D, E,F\) respectivement sur \([BC],[CA]\) et \([AB]\) tels que \((AD),(BE)\) et \((CF)\) soient sécantes en un point \(P\) intérieur au triangle \(ABC\). Montrer que

\[6\leq {AP\over PD}+{BP\over PE}+{CP\over PF}\quad\&\quad 8\leq {AP\over PD}{BP\over PE}{CP\over PF} .\]

Exercice

Inégalités dans un triangle (2) *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

Soit \(ABC\) un triangle propre du plan affine euclidien et \(\mathscr S\) son aire. Établir l’inégalité

\[a^2+b^2+c^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4\mathscr S\sqrt 3\quad\text{(Hadwiger-Finsler (1937))}\]

Cas d’égalité ?

Exercice

Coniques : le théorème de Joachimsthal *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

Une ellipse centrée \(\mathscr E\) rencontre un cercle \(\mathscr C\) (distinct de l’ellipse) en \(4\) points d’arguments respectifs \(\theta_1,\dots,\theta_4\). Montrer que \(\theta_1+\dots+\theta_4\equiv 0(2\pi).\)
Exercice

Heptadivision d’un triangle *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

À partir de chaque sommet \(A,B,C\) d’un triangle non dégénéré on construit sur le côté opposé les points \(A',B',C'\) tels que \(AB'={1\over 3}AC\), \(BC'={1\over 3}BA\), \(CA'={1\over 3}CB\). Les points d’intersection des droites \((AA')\), \((BB')\), \((CC')\) forment un nouveau triangle. Montrer que l’aire de ce nouveau triangle vaut exactement \(1/7\) de l’aire du triangle initial.

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Exercice

Disposition de \(n\) points sur une sphère *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

On dispose \(n\) points sur la sphère \(\mathscr S_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\ :\ x^2+y^2+z^2=1\}\) de \(\mathbb R^3\). Montrer que la somme des carrés des \(n(n-1)/2\) distances (dans \(\mathbb R^3\)) entre ces points au plus égale à \(n\).
Exercice

Une suite associée à un polygône *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

\(S_n\) désigne la somme des longueurs de toutes les faces et de toutes les diagonales d’un polygone régulier inscrit dans le cercle unité. Montrer que \[\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac{2}{\pi}.\]
Exercice

Sur la longueur de l’ellipse *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

\(L\) est la longueur de l’ellipse d’équation \[\left( \dfrac{x}{a}\right)^2+\left( \dfrac{y}{b}\right)^2=1,\quad a>b>1.\]

  1. Montrer que \(\displaystyle \pi(a+b)\leq L\leq \pi\sqrt{2(a^2+b^2)}.\)

  2. Montrer que \[L=2\pi a\left( 1-\sum_{n=1}^\infty\left( \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \dfrac{\mathbf{e}^{2n}}{2n-1}\right)\] \(\mathbf{e}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\) étant l’exentricité de l’ellipse.

Exercice

Même périmètre et même aire *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

Déterminer tous les nombres réels \(a>0\) pour lequels il existe il existe une fonction positive \(f\in\mathscr C^0([0,a])\) telle que le domaine \[\mathscr D=\{(x,y)\ :\ 0\leq x\leq a,\ 0\leq f(x)\leq f(x)\}\] admette une aire et un périmètre de même valeur.

Exercice

Deux inégalités *

9 novembre 2022 11:18 — Par Patrice Lassère

  1. Soient \(a_1,\dots, a_n,b_1,\dots,b_n\) des réels strictement positifs, montrer que \[\max\left\lbrace \dfrac{a_1}{b_1}+\dfrac{a_2}{b_2}+\dots+\dfrac{a_n}{b_n},\ \dfrac{b_1}{a_1}+\dfrac{b_2}{a_2}+\dots+\dfrac{b_n}{a_n}\right\rbrace \geq n.\]

  2. Soient \(a_1,\dots, a_n\) des réels \(\geq 1\), montrer que \[(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)\geq \dfrac{2^n}{n+1}(1+a_1+a_2+\dots+a_n).\]

Exercice

Exercice 1329

9 novembre 2022 12:19 — Par Patrice Lassère

Bibliographie

Les-Mathematiques.net Mathématiques vivantes

Thématiques

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