Cercle

Dans le dossier «Cercle»

Les exercices

$\bullet$Exercice 25 **
$\bullet$Exercice 570 **
$\bullet$Exercice 268 **
$\bullet$Exercice 302 **
$\bullet$Exercice 339 **
$\bullet$Exercice 894 **
$\bullet$Exercice 295 **
$\bullet$Exercice 530 **
$\bullet$Exercice 727 *
$\bullet$Exercice 203 *
$\bullet$Exercice 757 **
$\bullet$Exercice 175 **
$\bullet$Exercice 202 **
$\bullet$Exercice 395 **
$\bullet$Exercice 102 **
$\bullet$Exercice 989 **
$\bullet$Exercice 488 **
$\bullet$Exercice 847 **
$\bullet$Droite de Simson d’un triangle **
$\bullet$Puissance d’un point par rapport à un cercle **
$\bullet$Exercice 338 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 727 *

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer le centre et le rayon des cercles d’équations cartésiennes :

\(x^2+y^2-4x+4y-1=0\)
\(x^2+y^2-6x+8y+24=0\)

Exercice 203 *

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(\mathscr C\) le cercle de centre \(\Omega(2;-1)\) et de rayon \({\scriptstyle\sqrt{5}\over\scriptstyle 2}\) et \(\mathscr D\) la droite d’équation \(2x+y=0\). Déterminer les droites qui sont tangentes à \(\mathscr C\) et parallèles à \(\mathscr D\).

Exercice 757 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le cercle d’équation \[\mathcal{C}~: x^2 + y^2 + x - 3y - 3 = 0\] et le point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\-2 \end{matrix}\right.}\). Une droite passant par \(A\) est tangente au cercle \(\mathcal{C}\) au point \(M\). Calculer la longueur \(AM\).

Exercice 202 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le cercle d’équation \[\mathcal{C}:~ x^2 + y^2 + 10x - 2y + 6 = 0\] et la droite d’équation \[\mathcal{D}:~ 2x + y - 7 = 0\] Écrire les équations cartésiennes des tangentes au cercle \(\mathcal{C}\) et parallèles à la droite \(\mathcal{D}\).

Exercice 395 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le cercle d’équation \[\mathcal{C}:~ x^2 + y^2 + 4x - 6y - 17 = 0\] et la droite d’équation \[\mathcal{D}:~ 5x+2y-13 = 0\] Trouver l’équation cartésienne du diamètre de \(\mathcal{C}\) perpendiculaire à la droite \(\mathcal{D}\).

Exercice 102 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Tracer la courbe d’équation \(y = -3 + \sqrt{21 - 4x - x^2}\)

Exercice 570 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les cercles de centre \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 3\\-1 \end{matrix}\right.}\) qui coupent la droite d’équation \[\mathcal{D}:~ 2x-5y+18=0\] en deux points \(A\), \(B\) avec \(AB = 6\).

Exercice 268 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les équations de cercles tangents aux deux droites d’équation \(\mathcal D_1~:4x-3y+10=0\), \(\mathcal D_2~:4x-3y-30=0\) et dont le centre se trouve sur la droite d’équation \(2x + y = 0\).

Exercice 894 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le cercle d’équation \[\mathcal{C}:~ x^2 + y^2 - 6x +2y + 5 = 0\] Par le point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 4\\-4 \end{matrix}\right.}\), on mène deux tangentes au cercle. Calculer la distance \(d\) entre les points de tangence.

Exercice 530 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, déterminer les droites passant par l’origine, orthogonales et tangentes à un cercle de centre \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 2\\1 \end{matrix}\right.}\).

Exercice 989 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère deux points \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 3\\-1 \end{matrix}\right.}\).

Écrire l’équation cartésienne de la droite \((AB)\).
On considère le cercle d’équation : \[x^2 + y^2 - 8x -10y + 37 = 0\] Déterminer la distance entre la droite \((AB)\) et ce cercle.

Exercice 488 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, pour \(\lambda > 0\), on note \(\mathcal{C}_{\lambda}\) le cercle de centre \(\underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ 0 \end{matrix}\right.}\) tangent à l’axe \((Oy)\) et \(\Gamma_{\lambda}\) le cercle de centre \(\underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ \lambda \end{matrix}\right.}\) tangent à l’axe \((Ox)\). Déterminer les coordonnées des deux points d’intersection de ces cercles, puis le lieu de ces points lorsque \(\lambda\) varie.

Exercice 847 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}=(0, \vec{\imath}, \vec{\jmath})\). On considère le point \(A=(a,a)\) (\(a>0\)).

On considère la famille des cercles \(\mathcal{C}_t\) passant par \(A\) et \(O\). On désigne par \(t\) l’abscisse du centre de \(\mathcal{C}_t\). Former l’équation cartésienne de \(\mathcal{C}_t\).
Le cercle \(\mathcal{C}_t\) coupe la droite \((Ox)\) en \(O\) et un second point \(K_t\). Former l’équation cartésienne de la tangente \(D_t\) à \(\mathcal{C}_t\) en \(K_t\).
Déterminer en fonction de \(t\) l’équation cartésienne de la normale à \(D_t\) passant par \(A\) puis les coordonnées de la projection orthogonale \(H_t\) de \(A\) sur \(D_t\).
Reconnaître l’ensemble des points \(H_t\) lorsque \(t\) varie.

Exercice 295 **

4 janvier 2021 18:48 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère le point \(B=(a,0)\) du plan et un cercle \(\mathcal{C}\) passant par \(B\) de centre \(P=(x_0,y_0)\).

Écrire l’équation de \(\mathcal{C}\).
On considère une droite passant par \(O\) d’équation \[y=mx\] Écrire une condition nécessaire et suffisante sur \(m\) pour que cette droite soit tangente à \(\mathcal{C}\).
Trouver l’ensemble des points \(P\) tels que les deux tangentes à \(\mathcal{C}\) passant par l’origine soient orthogonales.

Droite de Simson d’un triangle **

4 janvier 2021 18:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R} = (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\), on considère un triangle \((ABC)\) avec \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\a \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} b\\0 \end{matrix}\right.}\) et \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} c\\0 \end{matrix}\right.}\), (\(a, b, c \neq 0\) et \(b\neq c\)).

Déterminer l’équation du cercle \(\mathcal{C}\) circonscrit au triangle \((ABC)\).
Écrire l’équation cartésienne de la droite \((AB)\) et donner un vecteur \(\overrightarrow{n_1}\) normal à cette droite.
Écrire l’équation cartésienne de la droite \((AC)\) et donner un vecteur \(\overrightarrow{n_2}\) normal à cette droite.
On considère un point \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x_0\\ y_0 \end{matrix}\right.}\) du plan. On note \(A'\) le projeté orthogonal du point \(M\) sur la droite \((BC)\), \(B'\) le projeté orthogonal de \(M\) sur la droite \((AC)\) et \(C'\) le projeté orthogonal de \(M\) sur la droite \((AB)\). Trouver les coordonnées des points \(A'\), \(B'\), \(C'\).
Montrer que les points \(A'\), \(B'\), \(C'\) sont alignés si et seulement si le point \(M\) se trouve sur le cercle \(\mathcal{C}\). Dans ce cas, la droite portant les points \(A'\), \(B'\) , \(C'\) et \(M\) est la droite de Simson du triangle \(ABC\).

Exercice 175 **

4 janvier 2021 18:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère deux cercles \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\). Déterminer le lieu du milieu des points \(M \in \mathcal{C}\) et \(M' \in \mathcal{C}'\) tels que les tangentes aux cercles en \(M\) et \(M'\) soient orthogonales.

Puissance d’un point par rapport à un cercle **

4 janvier 2021 18:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(M\) un point et \(\mathscr C\) un cercle de centre \(O\). Une droite \(\Delta\) passant par \(M\) coupe \(\mathscr C\) en deux points \(A\) et \(B\), éventuellement confondus si \(\Delta\) est tangente à \(\mathscr C\).

Démontrer que \(\overline{MA}.\overline{MB}\) ne dépend pas de la droite \(\Delta\) choisie.

Exercice 338 **

4 janvier 2021 18:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère dans le plan un cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\). Soit \(M\) un point du plan. On appelle puissance de \(M\) par rapport au cercle \(C\), le réel \[\pi_C(M) = \lVert \overrightarrow{\Omega M} \rVert_{ }^2 - R^2\]

On considère une droite passant par \(M\) et qui coupe le cercle \(C\) en deux points \(A\) et \(B\). Montrer que \[\pi_C(M) = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\]
On considère deux cercles non-concentriques \(C\) et \(C'\) et l’on appelle axe radical l’ensemble des points \(M\) du plan vérifiant \(\pi_C(M) = \pi_C(M')\). Montrer que cet ensemble est une droite orthogonale à la droite joignant les centres des cercles.

Exercice 25 **

4 janvier 2021 18:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Par le sommet \(A\) d’un carré \(ABCD\), on mène une droite qui rencontre la droite \((BC)\) en \(E\) et la droite \(\left(CD\right)\) en \(F\). Démontrer que la droite qui joint le point \(F\) au milieu \(I\) du segment \([BE]\) est tangente au cercle inscrit au carré et rencontre la droite \((DE)\) en un point \(M\) situé sur le cercle circonscrit au carré.

Exercice 302 **

4 janvier 2021 18:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\). On considère un diamètre \([AB]\) de ce cercle et un point \(C\) sur le cercle différent de \(A\) et de \(B\) et non situé sur la médiatrice de \([AB]\). On appelle \(D\) le point de la droite \((AC)\) qui se projette orthogonalement sur \((AB)\) en \(O\). La tangente au cercle au point \(C\) coupe la droite \((AB)\) en un point \(P\). Montrer que la droite \((AC)\), la perpendiculaire à \([AB]\) issue de \(P\) et la perpendiculaire à \((BD)\) issue de \(B\) sont concourantes.

Exercice 339 **

4 janvier 2021 18:49 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \([AB]\) et \([PQ]\) deux diamètres d’un cercle \(\mathcal{C}\). Par le point \(A\) on mène la parallèle à \((PQ)\) qui rencontre au point \(C\) le cercle et en \(I\) la droite joignant le point \(Q\) au symétrique \(P'\) de \(P\) par rapport à \((AB)\). Soit \(H\) le point de rencontre de la droite \((AQ)\) et de la perpendiculaire à \((AB)\) menée par le point \(I\). Montrer que les points \(P\), \(C\) et \(H\) sont alignés.

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