Polynômes

Dans le dossier «Polynômes»

Polynômes

Les exercices

$\bullet$Exercice 1109
$\bullet$ Sur les polynômes de la forme $P=QP''$ avec $\text{deg}(Q)=2$ *
$\bullet$ Trois exercices sur les polynômes *
$\bullet$ Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables *
$\bullet$ Polynomes et fractions rationelles, approximation *
$\bullet$ Polynômes, nombres premiers *
$\bullet$ Polynômes dans $\mathbb Z[X]$ * Polytechnique
$\bullet$ Polynômes trigonométriques : un théorème de Fejèr-Riesz *
$\bullet$ Autour du résultant de deux polynômes *
$\bullet$ Le théorème de Gauss-Lucas *
$\bullet$ Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche *
$\bullet$ Une inégalité autour des polynômes *
$\bullet$ Encore un calcul de $\zeta(2)$ *
$\bullet$ Nombre de racines réelles du $2005$-ième itéré de $P(x)=x^2-1$ *
$\bullet$ Racines de $P(z)$ et de $2zP'(z)-dP(z)$ *
$\bullet$ Un polynôme de degré $6$ et un peu de géométrie *
$\bullet$ Sur les racines multiples du polynôme dérivé *

Exercices dans ce dossier

Exercice

[rms], 2003/04.

Soit $P\in \mathbb{C}[X]$, $P$ non constant et $E$ un sous-ensemble fini de $\mathbb{C}$. Montrer que

\[\vert P^{-1}(E)\vert\geqslant (\vert E\vert-1)\mathop{\rm deg}P+1.\]
Soit $P\in \mathbb{C}[X]$, de degré $d\geqslant 1$. On note $n(z)$ le nombre de racines de l’équation $P(x)=z$. Donner une expression de \[\sum_{z\in\mathbb{C}}{(d-n(z))}.\]
Soit $P(X,Y)$ un polynôme réel de deux variables. On suppose $P$ de degré au plus $m$ en $X$ et au plus $n$ en $Y$. Montrer que la fonction de variable réelle $x \mapsto P(e^x,x)$ admet au plus $mn+m+n$ zéros.

Exercice

Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

[rms], 2003/04.

Soit $E_n$ l’ensemble des polynômes réels à deux variables homogènes de degré $n$, $A_n$ le sous-ensemble des $P\in E_n$ multiples de $X^2+Y^2$ et $H_n$ celui des $P\in E_n$ harmoniques (i.e. tels que $\Delta P=0$).

Montrer qu’on a $E_n=A_n\oplus H_n$.

Exercice

Polynomes et fractions rationelles, approximation *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

[rms], 2003/04.

Soit ${\mathscr R}$ l’ensemble des fractions rationnelles réelles sans pôle dans $[0,1]$ et ${\mathscr R}_{m,n}$ le sous-ensemble des fractions $F={P\over Q}$ où $P$ est de degré $\leqslant n$ et $Q$ de degré $\leqslant m$.

Ces ensembles sont-ils des espaces vectoriels ?
On considère $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ continue. Montrer que $\mathop{\rm inf}\{\vert\vert g-r\vert\vert _{\infty}\ /\ r\in {\mathscr R}_{m,n}\}$ est atteint

(i) Lorsque $n=0$.

(ii) Dans tous les cas.

Exercice

Polynômes, nombres premiers *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

[SCY]

Montrer qu’il n’existe pas de polynôme non constant \[P(X)=a_dX^d+a_{d-1}X^{d-1}\dots+a_1X+a_0\] tel que $P(k)$ soit premier pour tout entier $k$ (L.Euler).

Exercice

Polynômes dans $\mathbb Z[X]$ * Polytechnique

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

Montrer que si le produit de deux polynômes $A,B\in\mathbb Z[X]$ est un polynôme à coefficients pairs non tous multiples de $4$, alors dans l’un des deux polynômes $A,B$, tous les coefficients doivent être pairs et dans l’autre tous ne sont pas pairs.

Exercice

Polynômes trigonométriques : un théorème de Fejèr-Riesz *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

[rms],ex.77, 2003/04 Soit $g\ :\ x \mapsto a_0+\sum_{k=1}^n\,a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)$. On suppose $g$ positive sur $\mathbb R$, montrer qu’il existe $P\in\mathbb C[X]$ tel que \[g(x)=\vert P(e^{ix})\vert^2,\ \forall\,x\in\mathbb R.\]

Exercice

Autour du résultant de deux polynômes *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

Soient $\mathbb K$ un corps commutatif, $P,Q\in\mathbb K[X]$ deux polynômes non nuls de degrés respectifs $n$ et $m$. Montrer que la famille $\mathscr F=\{P,XP,X^2P,\dots,X^{m-1}P,Q,XQ,\dots,X^{n-1}Q\}$ est libre dans $\mathbb K[X]$ si et seulement si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux.

Exercice

Le théorème de Gauss-Lucas *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

Soit $P\in\mathbb C[X]$ un polynôme, $P'$ son polynôme dérivé. Montrer que les racines de $P'$ sont dans l’enveloppe convexe des racines de $P$ (théorème de Gauss-Lucas).

Exercice

Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

Soit $P\in\mathbb C[X]$ un polynôme, $P'$ son polynôme dérivé. Il s’agit de montrer que les racines de $P'$ sont dans l’enveloppe convexe des racines de $P$ (théorème de Gauss-Lucas).

Soient $z_1,z_2,\dots,z_n$ vérifiant \[\exists\psi,\quad\forall\,j\in\{1,\dots,n\} \ :\quad z_j=\rho_je^{i\theta_j}\ \ \rm{avec}\ \ 0\leq\vert\theta_j\vert<\psi<\dfrac{\pi}{2}.\] (en d’autre terme les $z_j$ sont à partie réelle strictement positive et l’angle sous lequel on les voit depuis l’origine est inférieur à $2\psi$) montrer que \[\vert z_1\dots z_n\vert^{1/n}\cos(\psi)\leq \dfrac{1}{n}\vert z_1+\dots +z_n\vert.{\text{($\star$)}}\]
Soit $P\in\mathbb C[z]$ et $H$ l’enveloppe convexe de ses racines. Soient $z\not\in H$ et $2\psi$ l’angle sous lequel $H$ est vu de $z$ ; montrer que \[\left\vert \dfrac{a_n}{P(z)}\right\vert^{1/n}\leq \dfrac{1}{n\cos(\psi)} \left\vert \dfrac{P'(z)}{P(z)}\right\vert.{\text{($\star$)}}\]
En déduire le théorème de Gauss-Lucas.

Exercice

Une inégalité autour des polynômes *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

Montrer qu’il existe une constante $C\geq 4.10^6$ telle que \[\forall\,P\in\mathbb C_{2004}[X],\qquad\vert P(1)-P'(1)+P(-1)+P'(-1)\vert\leq C\int_{-1}^1\vert P(t)\vert dt.\]

Exercice

Encore un calcul de $\zeta(2)$ *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

[fgna1]

Montrer que pour tout $n\in\mathbb N$, il existe un unique polynôme $P_n$ vérifiant \[P_n(\rm{cotan}^2(t))=\dfrac{\sin((2n+1)t)}{\sin^{2n+1}(t)},\qquad\forall\,t\in]0,\pi/2[.\]
Expliciter les racines de $P_n$ et calculer leur somme.
En observant que \[\rm{cotan}^2(t)\leq \dfrac{1}{t^2}\leq 1+\rm{cotan}^2(t),\qquad\forall\,t\in]0,\pi/2[,\] retrouver la valeur de $\quad\displaystyle\zeta(2)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{1}{n^2}$.

Exercice

Nombre de racines réelles du $2005$-ième itéré de $P(x)=x^2-1$ *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

Soit $P(x)=x^2-1$, déterminer le nombre de racines réelles distinctes de l’équation \[\begin{matrix}\underbrace{P(P(\dots(P}&(x))))=0.\\ {2005}&\end{matrix}\]

Exercice

Racines de $P(z)$ et de $2zP'(z)-dP(z)$ *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

On suppose que toutes les racines d’un polynôme $P\in\mathbb C[z]$ de degré $d$ se trouvent sur le cercle unité. Montrer que les racines du polynôme $Q(z)=2zP'(z)-dP(z)$ se trouvent aussi sur le même cercle.

Exercice

Un polynôme de degré $6$ et un peu de géométrie *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

On suppose que le graphe d’un polynôme de degré $6$ est tangent a une droite en trois points $A_1,A_2,A_3$ où $A_2$ est situé entre $A_1$ et $A_3$.

On suppose les longueurs des segments $A_1A_2$ et $A_2A_3$ égales. Montrer que les aires délimitées par ces segments et la courbe sont égales.
Soit $k=A_1A_2/A_2A_3$, $K$ désignant le rapport des aires des deux figures, montrer que \[\dfrac{2k^5}{7}\leq K\leq \dfrac{7k^5}{2}.\]

Exercice

Sur les racines multiples du polynôme dérivé *

8 novembre 2022 13:24 — Par Patrice Lassère

On considère un $P\in\mathbb R[X]$ n’admettant que des racines réelles. Si le polynôme dérivé $P'$ admet une racine réelle multiple $a$, montrer que $P(a)=0$.

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