Algèbres bilinéaire et hermitienne

Dans le dossier «Algèbres bilinéaire et hermitienne»

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Exercices dans ce dossier

Exercice

Matrices et réduction *

7 novembre 2022 22:14 — Par Patrice Lassère

Soient \(A=\begin{pmatrix} 1&a\\0&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} b&c\\0&b\end{pmatrix},\ C\in M_2(\mathbb R)\). À quelle condition la matrice \(\begin{pmatrix} A&C\\0&B\end{pmatrix}\) est-elle diagonalisable ?

Exercice

Histoire de matrices nilpotentes *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

[rms]-(2003/04).

Soit \(A\) et \(B\) dans \({M}_n(\mathbb{K})\) telles que \(ABAB=0\). A-t-on \(BABA=0\) ?

Exercice

Autour du commutant *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

[rms]-(1998).

Déterminer la structure de l’ensemble \(\mathscr E\) des endomorphismes \(\varphi\in \mathscr L\left( M_n(\mathbb R)\right)\) vérifiant \[\varphi({ }^t\! B)={ }^t\!\varphi(B),\quad\forall\,B\in M_n(\mathbb R).\]

Exercice

Étude \(A\mapsto A^3\) dans \(M_3(\mathbb R)\) *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

Déterminer l’image de l’application \(\varphi\) de \(M_3(\mathbb R)\) dans \(M_3(\mathbb R)\) définie par \(\varphi(A)=A^3\).

Exercice

Réduction des endomorphismes *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

Pour \(n\in\mathbb N^\star,\ A\in M_n(\mathbb C)\) on définit la matrice \(B\in\mathbb M_{2n}(\mathbb C)\) par

\[B=\begin{pmatrix} A&A\\ 0&A\end{pmatrix}\]

Montrer que \(B\) est diagonalisable si, et seulement si \(A=0\).

Exercice

Étude de \(M_3(\mathbb R)\ni B\mapsto AB\) *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

Pour \(A\in M_3(\mathbb R)\), considérons l’endomorphisme

\[\varphi_A\ :\ B\in M_3(\mathbb R)\mapsto \varphi_A(B)=AB\in M_3(\mathbb R).\]

Si le déterminant de \(A\) est \(32\) et son polynôme minimal \((t-4)(t-2)\), quelle est la trace de \(\varphi_A\) ?

Exercice

\(A^5+A^3+A=3I_d\) dans \(M_d(\mathbb C)\) *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

Soit \(A\in M_d(\mathbb C)\) une matrice à valeurs propres réelles vérifiant \(A^5+A^3+A=3I_d\), Montrer que \(A=I_d\).

Exercice

Polynôme minimal et dimension du noyau *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

Si le polynôme minimal d’un endormorphisme \(\varphi\) sur un espace vectoriel de dimension \(7\) est \(\pi_\varphi(t)=t^2\), quelles sont les valeurs possibles de \(\text{dim}\left(\ker(\varphi)\right)\) ?

Exercice

Étude de \(\varphi\,:\,A\in M_n(\mathbb R)\longmapsto \varphi(A)=-A+\text{tr}(A)I_n.\) *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

Étudier la diagonalisabilité de

\[\varphi\,:\,A\in M_n(\mathbb R)\longmapsto \varphi(A)=-A+\text{tr}(A)I_n.\]

Exercice

Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

(
[rms], 1999/2000). Soient \(A,B,C\in M_2(\mathbb R)\). Montrer qu’il existe \((a,b,c)\in\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\}\) tel que \(aA+bB+cC\) possède une valeur propre double.

Exercice

Rayon spectral et décomposition de Dunford *

7 novembre 2022 22:15 — Par Patrice Lassère

En utilisant la décomposition de Dunford, montrer que pour toute matrice \(A\in M_n(\mathbb C)\) on a : \[\rho(A)=\lim_{k\to\infty}\Vert A^k\Vert^{1\over k}\]

Exercice

Inégalité, matrices, déterminant *

7 novembre 2022 22:38 — Par Patrice Lassère

Soient \(c\in\mathbb R_+,\ A=((a_{i,j}))\in M_n(\mathbb C)\) vérifiant \(\vert a_{i,j}\vert\leq c\) pour tous \(1\leq i,j\leq n\). Montrer que \[\vert\text{det}(A)\vert\leq c^n n^{n/2}.\]

Exercice

Points isolés des solutions de l’équation \(X^2=I_n\) dans \(M_n(\mathbb R)\) * Polytechnique

7 novembre 2022 22:38 — Par Patrice Lassère

Dans \({\mathscr M}_n ( {\mathbb{R}} )\), quel est l’ensemble des points isolés de l’ensemble des matrices dont le carré est égal à \(I_n\) ?

Exercice

Quelques propriétés topologiques de \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) et \(\mathscr U_n(\mathbb C)\) *

7 novembre 2022 22:38 — Par Patrice Lassère

  1. Montrer que \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) (resp. \(\mathscr U_n(\mathbb C)\)) est compact dans \(M_n(\mathbb R)\) (resp. \(M_n(\mathbb C)\)).

  2. Décomposition polaire généralisée : montrer que \[\forall\,M\in M_n(\mathbb R)\ :\ \exists\,(O,S)\in\mathscr O_n(\mathbb R)\times\mathscr S_n^+\ \text{ telles que } M=OS,\] \[\forall\,M\in M_n(\mathbb C)\ :\ \exists\,(U,H)\in\mathscr U_n(\mathbb C)\times\mathscr H_n^+\ \text{ telles que } M=UH.\]

  3. Montrer que \[GL_n(\mathbb R)\underset{\text{top.}}{\simeq} \mathscr O_n(\mathbb R)\times\mathscr S_n^{+\star}\quad\text{ et }\quad GL_n(\mathbb C)\underset{\text{top.}}{\simeq} \mathscr U_n(\mathbb R)\times\mathscr H_n^{+\star}.\]

  4. Montrer que \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) (resp. \(\mathscr U_n(\mathbb C)\)) est un sous-groupe compact maximal dans \(GL_n(\mathbb R)\) (resp. \(GL_n(\mathbb C)\)) (commencer par montrer que les valeurs propres de tout élément d’un sous-groupe compact de \(GL_n(\mathbb K)\) sont de module \(1\)).

Exercice

Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (1) *

7 novembre 2022 22:38 — Par Patrice Lassère

[rms]-(2006).

Soit \(n\geq 2\).

  1. Montrer que si un hyperplan \(\mathscr H\) de \(M_n(\mathbb C)\) contient toutes les matrices nilpotentes, alors il contient une matrice inversible.

  2. Montrer que dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\).

Exercice

Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (2) *

7 novembre 2022 22:40 — Par Patrice Lassère

  1. Montrer que l’application qui à \(A\in M_n(\mathbb K)\ (\mathbb K=\mathbb R\ \text{ou}\ \mathbb C)\) associe \(f_A\ :\ M_n(\mathbb K)\ni M\mapsto f_A(M)=\text{Tr}(AM)\) établit un isomorphisme entre \(M_n(\mathbb K)\) et son dual.

  2. Soit \(f\in M_n(\mathbb K)'\) une forme linéaire sur \(M_n(\mathbb K)\) vérifiant \[f(XY)=f(YX),\qquad\forall\,X,Y\in M_n(\mathbb K).\] Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbb K\) tel que pour toute matrice \(X\in M_n(\mathbb K)\), \(f(X)=\lambda\text{Tr}(X)\).

  3. Montrer que pour tout \(n\geq 2\), tout hyperplan de \(M_n(\mathbb K)\) rencontre \(GL_n(\mathbb K)\).

Exercice

Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace *

7 novembre 2022 22:40 — Par Patrice Lassère

  1. Soit \(\mathbb K\) un sous-corps de \(\mathbb C\) et \(A\in M_n(\mathbb K)\). On suppose que pour tout \(k\in\mathbb N^\star\) la trace de \(A^k\) est nulle. Montrer que \(A\) est nilpotente.

  2. Soit \(A\in M_n(\mathbb C)\), établir l’équivalence des propriétés :

    1) La seule valeur propre de \(A\) est \(1\).

    2) \(\text{tr}(A)=\text{tr}(A^2)=\dots=\text{tr}(A^n)=n.\)

Exercice

Sur l’équation \(A^p=I_n\) dans \(M_n(\mathbb Z)\). *

7 novembre 2022 22:40 — Par Patrice Lassère

Soient \(p,n,m\in\mathbb N^\star\) avec \(m\geq 2\). On considère une matrice \(A\in M_n(\mathbb Z)\) vérifiant \(A^p=I_n\) et \(A\equiv I_n(m)\). Montrer que \(A=I_n\).

Exercice

Calcul de \(\exp(A)\)\(A=((\exp(2i\pi(k+l)/5)))_{k,l}\in M_5(\mathbb C)\). *

7 novembre 2022 22:40 — Par Patrice Lassère

Soit \(\omega=e^{2i\pi/5}\) et \(A=((\omega^{k+l})))_{0\leq k,l\leq 4}\in M_5(\mathbb C)\).

  1. \(A\) est-elle diagonalisable ?

  2. Calculer \(\exp(A)\).

Exercice

Matrices entières inversibles *

7 novembre 2022 22:40 — Par Patrice Lassère

Soient \(A,B\in M_2(\mathbb Z)\) telles que \(A, A+B, A+2B, A+3B\) et \(A+4B\) soient inversibles à inverses dans \(M_2(\mathbb Z)\). Montrer que \(A+5B\) est inversible et que son inverse est encore à coefficients entiers.

Exercice

Sur l’équation \(S=X^2\) dans \(M_n(\mathbb C)\) avec \(S\) symétrique et \(X\) antisymétrique. * Polytechnique

7 novembre 2022 22:40 — Par Patrice Lassère

Soit \(S\in M_n(\mathbb C)\) une matrice symétrique réelle, donner une condition nécessaire et suffisante sur ses valeurs propres pour quelle soit le carré d’une matrice antisymétrique réelle.

Exercice

Matrices symétriques *

7 novembre 2022 22:40 — Par Patrice Lassère

Pour \(A=((a_{i,j}))\in M_n(\mathbb R),\ (n\in\mathbb N^\star)\) symétrique et vérifiant \(A^2=A\), établir les inégalités suivantes :

  1. \(\displaystyle 0\leq\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}\leq n.\)

  2. \(\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq n}\vert a_{i,j}\vert\leq n\sqrt{\text{rang}(A)}\).

  3. \(\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq n}\vert a_{i,j}\vert< n^{3/2}\) si \(n\geq 2\).

Exercice

Espaces euclidiens et projection orthogonale *

7 novembre 2022 22:40 — Par Patrice Lassère

\(\mathscr S_n\) désignant le sous-espace dans \(M_n(\mathbb R)\) des matrices symétriques réelles, calculer pour \(A=((a_{ij}))\in M_n(\mathbb R)\)

\[\inf_{M=((m_{ij}))\in \mathscr S_n}\,\sum_{1\leq i,j\leq n}\left(a_{ij}-m_{ij}\right)^2\]

Exercice

Produit scalaire, continuité, topologie *

7 novembre 2022 22:41 — Par Patrice Lassère

Soit \(E\) un espace pré-hilbertien, montrer que l’ensemble \[\mathscr O:=\left\{ (x,y)\in E\times E\text{ tels que } x,y \text{ sont libres dans }E\right\}\] est un ouvert de \(E\times E\).

Exercice

Autour de la trace *

7 novembre 2022 22:41 — Par Patrice Lassère

Soit \(A\in M_n(\mathbb R)\) telle que \[\forall \,X\in M_n(\mathbb R),\ \text{tr}(X)=0\Longrightarrow \text{tr}(AX)=0.\] Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbb R\) tel que \(A=\lambda I_n\).

Exercice

Bases orthormées *

7 novembre 2022 22:41 — Par Patrice Lassère

Soient \((e_1,\dots,e_d)\), \((f_1,\dots,f_d)\) deux bases orthonormées d’un espace euclidien \((E,\langle.\vert.\rangle)\). Si \(u\in\mathscr L(E)\), montrer que la quantité \[\sum_{1\leq i,j\leq d}\langle u(e_i),f_j\rangle^2{\text{($\star$)}}\] est indépendante du choix de ces deux bases.

Exercice

Toute matrice carrée réelle est produit de deux matrices symétriques réelles *

7 novembre 2022 22:41 — Par Patrice Lassère

  1. Montrer que pour toute matrice carrée réelle, il existe une matrice de passage à sa transposée qui soit symétrique.

  2. En déduire que toute matrice carrée réelle est le produit de deux matrices symétriques réelles.

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