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Agrégation
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Les exercices
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Dans le dossier «Agrégation»
Agrégation
Les sous-dossiers
$\bullet$ Algèbres bilinéaire et hermitienne
$\bullet$ Polynômes
$\bullet$ Géométrie
$\bullet$ Topologie
$\bullet$ Continuité
$\bullet$ Dérivabilité
$\bullet$ Intégration
$\bullet$ Suites et séries
$\bullet$ Suites et séries de fonctions, séries entières
$\bullet$ Fonctions holomorphes
$\bullet$ Calcul différentiel
$\bullet$ Equations différentielles
$\bullet$ Analyse fonctionnelle
$\bullet$ Combinatoires et probabilités
$\bullet$ En cours...
Lire la suite
Les exercices
Lire la suite
Sous-dossiers
Algèbres bilinéaire et hermitienne
Les exercices
$\bullet$
Dimension, bases et applications linéaires
*
$\bullet$
Matrices et réduction
*
$\bullet$
Une équation matricielle dans
\(M_2(\mathbb C)\)
*
$\bullet$
Histoire de matrices nilpotentes
*
$\bullet$
Autour du commutant
*
$\bullet$
Étude
\(A\mapsto A^3\)
dans
\(M_3(\mathbb R)\)
*
$\bullet$
Réduction des endomorphismes
*
$\bullet$
Encore deux démonstrations du Théorème de Cayley-Hamilton
*
$\bullet$
Étude de
\(M_3(\mathbb R)\ni B\mapsto AB\)
*
$\bullet$
\(A^5+A^3+A=3I_d\)
dans
\(M_d(\mathbb C)\)
*
$\bullet$
Polynôme minimal et dimension du noyau
*
$\bullet$
Étude de
\(\varphi\,:\,A\in M_n(\mathbb R)\longmapsto \varphi(A)=-A+\text{tr}(A)I_n.\)
*
$\bullet$
Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes
*
$\bullet$
Rayon spectral et décomposition de Dunford
*
$\bullet$
Matrices nilpotentes
*
$\bullet$
Matrice, comatrice et rang
*
$\bullet$
Séries entières, algèbre linéaire
*
$\bullet$
Matrices semblables, polynômes
*
$\bullet$
Réduction des endomorphismes
*
$\bullet$
Réduction des endomorphismes
*
$\bullet$
Groupes, réduction des endomorphismes
*
$\bullet$
Inégalité, matrices, déterminant
*
$\bullet$
Un théorème de Kronecker
*
$\bullet$
Le commutant dans
\(M_2(\mathbb K)\)
*
$\bullet$
Points isolés des solutions de l’équation
\(X^2=I_n\)
dans
\(M_n(\mathbb R)\)
*
Polytechnique
$\bullet$
Sur l’équation
\(\displaystyle\sin(A)=B\)
*
$\bullet$
Quelques propriétés topologiques de
\(\mathscr O_n(\mathbb R)\)
et
\(\mathscr U_n(\mathbb C)\)
*
$\bullet$
Dans
\(M_n(\mathbb R)\)
:
\(AB+A+B=0\quad\implies AB=BA\)
*
$\bullet$
Dans
\(M_n(\mathbb C)\)
, tout hyperplan rencontre
\(GL_n(\mathbb C)\)
(1)
*
$\bullet$
Dans
\(M_n(\mathbb C)\)
, tout hyperplan rencontre
\(GL_n(\mathbb C)\)
(2)
*
$\bullet$
Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace
*
$\bullet$
Sur l’équation
\(A^p=I_n\)
dans
\(M_n(\mathbb Z)\)
.
*
$\bullet$
Calcul de
\(\exp(A)\)
où
\(A=((\exp(2i\pi(k+l)/5)))_{k,l}\in M_5(\mathbb C)\)
.
*
$\bullet$
Matrices entières inversibles
*
$\bullet$
Sur l’équation
\(S=X^2\)
dans
\(M_n(\mathbb C)\)
avec
\(S\)
symétrique et
\(X\)
antisymétrique.
*
Polytechnique
$\bullet$
Convexité, matrice symétrique, calcul d’intégrale
*
$\bullet$
Matrices symétriques
*
$\bullet$
Espaces euclidiens et projection orthogonale
*
$\bullet$
Une matrice symétrique non diagonalisable
*
$\bullet$
Produit scalaire, continuité, topologie
*
$\bullet$
Autour de la trace
*
$\bullet$
Bases orthormées
*
$\bullet$
Toute matrice carrée réelle est produit de deux matrices symétriques réelles
*
$\bullet$
Sur l’équation
\(\det(I_n-xA-yB)=\det(I_n-xA)\det(I_n-yB),\quad \forall\,x,y\in\mathbb R\)
.
*
Lire la suite
Polynômes
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1109
$\bullet$
Sur les polynômes de la forme
\(P=QP''\)
avec
\(\text{deg}(Q)=2\)
*
$\bullet$
Trois exercices sur les polynômes
*
$\bullet$
Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables
*
$\bullet$
Polynomes et fractions rationelles, approximation
*
$\bullet$
Polynômes, nombres premiers
*
$\bullet$
Polynômes dans
\(\mathbb Z[X]\)
*
Polytechnique
$\bullet$
Polynômes trigonométriques : un théorème de Fejèr-Riesz
*
$\bullet$
Autour du résultant de deux polynômes
*
$\bullet$
Le théorème de Gauss-Lucas
*
$\bullet$
Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche
*
$\bullet$
Une inégalité autour des polynômes
*
$\bullet$
Encore un calcul de
\(\zeta(2)\)
*
$\bullet$
Nombre de racines réelles du
\(2005\)
-ième itéré de
\(P(x)=x^2-1\)
*
$\bullet$
Racines de
\(P(z)\)
et de
\(2zP'(z)-dP(z)\)
*
$\bullet$
Un polynôme de degré
\(6\)
et un peu de géométrie
*
$\bullet$
Sur les racines multiples du polynôme dérivé
*
Lire la suite
Géométrie
Les exercices
$\bullet$
Optimisation dans un triangle
*
$\bullet$
Sur la longueur de l’intersection entre une parabole et un disque
*
$\bullet$
Inégalités dans un triangle (1)
*
$\bullet$
Inégalités dans un triangle (2)
*
$\bullet$
Coniques : le théorème de Joachimsthal
*
$\bullet$
Heptadivision d’un triangle
*
$\bullet$
Disposition de
\(n\)
points sur une sphère
*
$\bullet$
Une suite associée à un polygône
*
$\bullet$
Sur la longueur de l’ellipse
*
$\bullet$
Même périmètre et même aire
*
$\bullet$
Deux inégalités
*
$\bullet$
Exercice 1329
Lire la suite
Topologie
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Une famille totale dans
\(l^2(\mathbb N)\)
*
$\bullet$
La somme de deux sous espaces fermés est-elle fermée ?
*
$\bullet$
Deux sous-espaces fermés dont la somme ne l’est pas
*
$\bullet$
Complémentaire d’un hyperplan dans un espace vectoriel normé
*
$\bullet$
Normes, normes équivalentes
*
$\bullet$
Démonstration des inégalités faibles de Kolmogorov via les normes équivalentes, formule de Taylor
*
$\bullet$
L’ensemble
\(\mathscr P\)
des nombres premiers est infini : preuve topologique
*
$\bullet$
Espace métrique et continuité
*
$\bullet$
Normes sur
\(\mathscr C^0([0,1])\)
*
$\bullet$
Topologie dans
\(M_n(\mathbb R)\)
et
\(M_n(\mathbb C)\)
: propriétés de
\(\mathscr D_n\)
et
\(\mathscr D'_n\)
*
$\bullet$
Topologie dans
\(M_n(\mathbb R)\)
: l’adhérence de
\(\mathscr D_n(\mathbb R)\)
*
$\bullet$
Autour des sous-groupes de
\(\mathbb R\)
*
$\bullet$
Exercice 1166
$\bullet$
Topologie dans
\(M_n(\mathbb R)\)
et
\(M_n(\mathbb C)\)
: propriétés de
\(\mathscr D_n\)
et
\(\mathscr D'_n\)
*
$\bullet$
Topologie dans
\(M_n(\mathbb R)\)
: l’adhérence de
\(\mathscr D_n(\mathbb R)\)
*
$\bullet$
Autour des sous-groupes de
\(\mathbb R\)
*
$\bullet$
Le théorème de Riesz dans un espace de Hilbert : c’est facile !
*
$\bullet$
Connexité
*
$\bullet$
Un opérateur borné sans adjoint
*
$\bullet$
\(\exp(A)\in\mathbb C[A],\quad \forall A\in M_n(\mathbb C)\)
*
$\bullet$
Topologie dans
\(M_n(\mathbb C)\)
: commutant et bicommutant
*
$\bullet$
Topologie dans
\(M_n(\mathbb C)\)
: autour des matrices nilpotentes
*
$\bullet$
Topologie dans
\(M_n(\mathbb C)\)
: les classes de conjugaison
*
$\bullet$
Espace de Banach
*
$\bullet$
Surjectivité universelle de l’ensemble de Cantor
*
$\bullet$
Sur les espaces de Baire
*
$\bullet$
Un espace de Baire
\(A\subset\mathbb R\)
non dénombrable et de mesure nulle
*
$\bullet$
Baireries : sur les applications
\(f\ :\ \mathbb R^2\to\mathbb R\)
séparément continues
*
$\bullet$
Applications linéaires dans un espace vectoriel normé
*
$\bullet$
Sur la norme d’une forme linéaire
*
$\bullet$
Applications linéaires continues et compacité
*
$\bullet$
Trois preuves du théorème d’approximation de Weierstrass trigonométrique
*
Lire la suite
Continuité
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Les algèbres
\(\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\)
et
\(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\)
sont-elles isomorphes ?
*
$\bullet$
Automorphisme d’algèbre de
\(\mathscr C(\mathbb R^d,\mathbb R)\)
*
$\bullet$
Sous-algèbres de dimension finie de
\(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\)
*
$\bullet$
Propriété des valeurs intermédiaires et monotonie impliquent la continuité
*
$\bullet$
Baireries
*
$\bullet$
L’équation fonctionnelle de Cauchy
\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)
*
$\bullet$
Les fonctions mid-convexes
*
$\bullet$
L’équation fonctionnelle
\(f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x)f(y)\)
dans
\(\mathscr{C}^0(\mathbb R)\)
.
*
$\bullet$
Continuité et connexité : le théorème de Borsuk-Ulam
*
$\bullet$
Continuité et composition
*
$\bullet$
Autour des valeurs intermédiaires
*
$\bullet$
Le théorème des valeurs intermédiaires
*
$\bullet$
Sur les points de discontinuité d’une bijection
\(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R_+^\star\)
*
$\bullet$
Sur la continuité de l’application réciproque
*
$\bullet$
Sur la continuité de l’application réciproque, suite
*
$\bullet$
Continuité, topologie
*
$\bullet$
Continuité
*
$\bullet$
Théorème du point fixe : quelques limites
*
$\bullet$
Propriétés topologiques de l’ensemble des points de discontinuité d’une application
*
$\bullet$
Une application discontinue sur
\(\mathbb Q\)
*
$\bullet$
Continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro
*
$\bullet$
Des petits o
*
$\bullet$
L’équation fonctionnelle
\(f^{2}(x)=\int_0^x\,\left( f^2(t)+f'^2(t)\right)dt+2007\)
.
*
$\bullet$
Encore quelques équations fonctionnelles
*
$\bullet$
Une inéquation fonctionnelle
*
Lire la suite
Dérivabilité
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Existence d’un opérateur à la dérivée de Dirac sur
\(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\)
*
$\bullet$
Deux fonctions
\(f,g\)
dérivables telles que
\(f'g'\)
ne soit pas une dérivéee
*
$\bullet$
Dérivation
*
$\bullet$
Approche matricielle du théorème des accroissements finis
*
$\bullet$
Comportement asymptotique du point intermédiaire dans la formule de Taylor-Lagrange
*
$\bullet$
Trois preuves du théorème de Darboux
*
$\bullet$
Sur le point d’inflexion
*
$\bullet$
Rolle sur
\(\mathbf{\mathbb R}\)
*
$\bullet$
Dérivabilité et accroissements finis
*
$\bullet$
Dérivabilité et accroissements finis
*
$\bullet$
Toute application convexe et majorée sur
\(\mathbb R\)
est constante
*
$\bullet$
Régularité et existence de développement limité en un point
*
$\bullet$
Parité, dérivabilité et développement limité
*
$\bullet$
Convexité et Accroisements Finis
*
$\bullet$
Zéros des dérivées d’une fonctions
\(\mathscr C^\infty\)
à support compact
*
$\bullet$
Sur l’inégalité de Kolmogorov
\(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\)
.
*
$\bullet$
Une série et une fonction
*
$\bullet$
Un fameux théorème d’Émile Borel
*
$\bullet$
\(\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k+1}C_n^kk^n=(-1)^{n+1}n!\)
*
Lire la suite
Intégration
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Irrationalité de
\(e\)
(1)
*
$\bullet$
Calcul de l’intégrale de Gauss
\(\int_0^\infty e^{-t^2}dt\)
(1)
*
$\bullet$
Calcul de l’intégrale de Cauchy
\(\int_0^\infty \frac{sin(t)}{t}dt\)
(1)
*
$\bullet$
Encore un calcul de l’intégrale de Cauchy
\(\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt\)
*
$\bullet$
Toujours un calcul de l’intégrale de Cauchy
\(\int_0^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt\)
(3)
*
$\bullet$
Calcul de l’intégrale de Cauchy
\(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\)
(4)
*
$\bullet$
Calcul de l’intégrale de Cauchy
\(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\)
(5)
*
$\bullet$
Calcul de l’intégrale de Cauchy
\(\int_0^\infty\,\frac{\sin(t)}{t}dt\)
(5),
*
$\bullet$
Étude de la suite
\(( u_n={n\over2}-\sum_{k=1}^n{n^2\over(n+k)^2})_n\)
*
$\bullet$
Autour du théorème des moments de Hausdorff
*
$\bullet$
Étude de
\(I_\alpha = \int_0^{+\infty}{{\sin(t)}\over t^\alpha}dt, \quad J_\alpha = \int_2^{+\infty}{{\sin(t)}\over {t^\alpha+\sin(t)}} dt \quad \& \quad S_\alpha = \sum_{n\geq 1}{{(-1)^n}\over{n^\alpha + (-1)^n}},\ \alpha\in\mathbb R\)
*
$\bullet$
Une caractérisation de la fonction Gamma : le théorème de Bohr-Mollerup
*
$\bullet$
Sommes de Riemann et formule de Taylor
*
$\bullet$
Autour de l’inégalité de Jensen
*
$\bullet$
Limite en
\(0\)
,
\(\pm\infty\)
de
\(\left(\int_a^b\vert f(t)\vert^p dt\right)^{1/p}\)
*
$\bullet$
Étude de la suite
\((\int_0^\infty n\log\left(1+n^{-\alpha}f^\alpha (t)\right)dt)_n\)
*
$\bullet$
Le lemme de Cantor
*
$\bullet$
Étude de
\(x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{\log(t)}\)
*
$\bullet$
Optimisation et convexité
*
$\bullet$
L’inégalité de Hardy
\(\int_0^T\left(x^{-1}\int_0^xf(u)du\right)^2dx\leq 4\int_0^Tf^2(x)dx.\)
*
$\bullet$
Une formule de Ramanujan et le d.s.e. de la fonction tangente
*
$\bullet$
\(\Gamma'(1)=-\gamma\)
*
$\bullet$
\(\int_\mathbb R \vert f(t)\vert dt\leq \sqrt{8}\left( \int_\mathbb R \vert t f(t)\vert^2 dt\right)^{\frac{1}{4}}\left( \int_\mathbb R \vert f(t)\vert^2 dt\right)^{\frac{1}{4}}.\)
*
$\bullet$
Encore une petite inégalité
*
$\bullet$
Nature d’une intégrale impropre
*
$\bullet$
Une jolie intégrale....
*
$\bullet$
Minore !
*
$\bullet$
Autour des sommes de Riemann
*
$\bullet$
Autour d’Hölder
*
$\bullet$
Calcul de l’intégrale de Cauchy
\(\int_0^{+\infty}\,{{\sin (t)}\over t}dt\)
(8)
*
Lire la suite
Suites et séries
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Convergence de
\(\sum_n a_n^{-3}\)
, où
\(\vert a_n-a_m\vert>1,\ \forall\,m\neq n\in\mathbb N\)
*
$\bullet$
Convergence d’une série par sommation par paquets
*
$\bullet$
Divergence de la série
\(\sum_{p\in\mathscr P}\frac{1}{p}\)
*
$\bullet$
Si
\((x_j)_j\subset\mathbb R_+\)
et
\(\sum_j x_j=A\)
alors
\(\sum_j x_j^2\ \in\,]0,A^2[\)
*
$\bullet$
Formule de Wallis et applications
*
$\bullet$
Série non commutativement convergente
*
$\bullet$
Suites numériques, calculs d’équivalents
*
$\bullet$
Irrationalité de
\(e\)
(2)
*
$\bullet$
Irrationalité de
\(e\)
(3)
*
$\bullet$
Irrationalité de
\(\pi^2\)
et donc de
\(\pi\)
*
$\bullet$
Suites, équivalents
*
$\bullet$
Divergence de la série harmonique, preuve record ?
*
$\bullet$
Divergence de la série harmonique (suite)
*
$\bullet$
Suites et sous-suites
*
$\bullet$
Divergence de la série
\(\sum_{n\geq 1}{{\sin^2(n)}\over n}\)
*
$\bullet$
Le critère de condensation de Cauchy
*
$\bullet$
Suites, continuité
*
$\bullet$
Sur le nombre d’éléments d’une suite récurrente
*
$\bullet$
Un exercice sur les séries numériques
*
$\bullet$
Calcul de
\(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F(2^n)}\)
*
$\bullet$
Divergence de la série
\(\sum_{n\geq 2}\frac{\cos(\log(\log(n)))}{\log(n)}\)
*
$\bullet$
Calcul d’une somme de série
*
$\bullet$
À propos du produit de Cauchy
*
$\bullet$
\(e=\sum 1/k!\)
, une preuve élémentaire
*
$\bullet$
Divergence douce de
\(\sum_k\,1/k\log(k)\log(\log(k))\)
par le TAF
*
Lire la suite
Suites et séries de fonctions, séries entières
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Étude d’une série de fonctions
*
$\bullet$
Limite d’une suite via les séries entières
*
$\bullet$
Séries entières et convergence uniforme
*
$\bullet$
Convergence uniforme et convergence continue
*
$\bullet$
Étude des séries de fonctions
\(\sum_{n\geq 0}\,t^nf(t)\)
et
\(\sum_{n\geq 0}(-1)^nt^nf(t)\)
*
$\bullet$
approximation, convergence uniforme
*
$\bullet$
Une caractérisation de la fonction sinus
*
$\bullet$
Approximations uniforme de la valeur absolue sur
\([-1,1]\)
*
$\bullet$
\(f(x)=\sum_{m=0}^\infty e^{-m}\cos(m^2x)\)
n’est pas développable en série entière
*
$\bullet$
Développement en série de Fourier de
\(f(x)={{1+\cos(x)}\over{4-2\cos(x)}}\)
, série entière
*
$\bullet$
Inégalité de Bernstein via les séries de Fourier
*
$\bullet$
Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (1)
*
$\bullet$
Une fonction continue non dérivable à l’origine mais développable en série de Fourier (2)
*
$\bullet$
Une fonction continue dont la série de Fourier diverge à l’origine
*
$\bullet$
Séries de Fourier, dérivation
*
$\bullet$
Séries entières, déterminant, systèmes linéaires
*
$\bullet$
Étude de
\(f(x) = \sum^{ \infty}_{ n=1}\sin (nx) \exp \left(-n^a \right)\)
*
$\bullet$
Séries entières, comportement au bord
*
$\bullet$
Séries de Fourier : histoires d’unicité
*
$\bullet$
SON et SCV
*
$\bullet$
Fonction
\(2\pi\)
-périodique continue à coefficients de Fourier positifs
*
$\bullet$
\(\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dx)^2 dy+\int_0^1( \int_0^1 f(x,y)dy)^2 dx\leq ( \int_0^1\int_0^1 f(x,y)dxdy)^2+\int_0^1\int_0^1\,f(x,y)^2dxdy\)
*
$\bullet$
Calcul de
\(\int_0^\pi \cos(\cos(x))\rm{ch}(\sin(x))\cos(nx)dx, n\in\mathbb N\)
, via Fourier
*
$\bullet$
Preuve du théorème des moments de Hausdorff par les séries de Fourier
*
$\bullet$
\(\sum_{k=0}^n C_{2n+2}^{2k+1}=2^{2n+1}(2n+1)(2n+2)\)
via les séries entières
*
Lire la suite
Fonctions holomorphes
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Baireries dans
\(\mathscr O(\Omega)\)
*
$\bullet$
Calcul de
\(\zeta(2)\)
par la méthode des résidus
*
$\bullet$
Le théorème de Rolle version holomorphe
*
$\bullet$
Une preuve presque holomorphe du théorème de Cayley-Hamilton
*
$\bullet$
Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes
*
$\bullet$
Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l’origine.
*
$\bullet$
Sur
\(\mathscr O(\Omega)\)
, les topologies de la convergence compacte et
\(L^1_{loc}\)
coïncident
*
$\bullet$
Une fonction entière universelle
*
$\bullet$
L’équation
\(f^2+g^2=1\)
dans
\(\mathscr O(\mathbb C)\)
*
$\bullet$
Comportement au voisinage d’un point singulier essentiel isolé et non isolé
*
Lire la suite
Calcul différentiel
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Calcul différentiel, extréma, fonctions harmoniques
*
$\bullet$
Calcul différentiel, espaces vectoriels normés, polynômes
*
$\bullet$
Extrémas en dimension plus grande que
\(2\)
: attention aux idées reçues !
*
$\bullet$
Théorème de d’Alembert-Gauss, topologie, calcul différentiel
*
$\bullet$
Théorème de d’Alembert-Gauss, calcul différentiel, optimisation
*
$\bullet$
Inversion locale et globale
*
$\bullet$
Déterminant et calcul différentiel
*
$\bullet$
Matrices et calcul différentiel
*
$\bullet$
Extrémas et convexité
*
$\bullet$
Étude de
\(y'=y(y-1)\)
*
$\bullet$
Étude de
\(y'=y^2\sin^2(y)\)
*
$\bullet$
Étude de
\(xy'=x+y^2\)
*
$\bullet$
Étude de
\(y'=\exp(-xy)\)
*
$\bullet$
Domaine de définition des solutions maximales de
\(X'(t)=X^2(t)\)
à valeurs dans
\(M_n(\mathbb C)\)
.
*
Polytechnique
$\bullet$
Résolution de l’équation
\(f(x)=1-\int_0^x(t+x)f(x-t)dt.\)
*
$\bullet$
L’équation fonctionnelle de d’Alembert
\(2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)\)
*
Lire la suite
Equations différentielles
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
Lire la suite
Analyse fonctionnelle
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
\(L^2([0,1])\)
est maigre dans
\(L^1([0,1])\)
*
$\bullet$
Une bijection linéaire continue dont l’application réciproque est discontinue
*
$\bullet$
Étude d’un opérateur sur
\(L^2([0,1])\)
*
$\bullet$
Un espace vectoriel topologique non localement convexe
*
$\bullet$
Densité de
\(\text{vect}\{ \ x\mapsto\frac{1}{ (x-a_n)},\ n\geq 1\}\)
dans
\(\mathscr C^0([0,1])\)
*
$\bullet$
Normes et formes linéaires continues
*
$\bullet$
L’inclusion
\(\mathscr F(L^1(\mathbb R))\subset C_0(\mathbb R)\)
est stricte
*
$\bullet$
Image de
\(L^2(\mathbb R)\setminus L^1(\mathbb R)\)
par la tranformée de Fourier
*
$\bullet$
Forme faible du théorème de Müntz
*
$\bullet$
Sous-espaces de
\(\mathscr C([0,1])\)
fermés dans
\(L^2([0,1]\)
)
*
$\bullet$
Opérateur de dérivation
*
$\bullet$
Aux limites du théorème de Banach-Steinhaus
*
$\bullet$
\((\Vert 1_E-T\Vert<1,\ T\in\mathscr L(E))\Rightarrow(T\ {\text{inversible}})\ \)
?
*
$\bullet$
Encore une preuve de
\((l^\infty(\mathbb N))'\neq l^1(\mathbb N)\)
*
$\bullet$
Quelques exemples de suites faiblement convergente dans
\(L^2(\mathbb R)\)
*
$\bullet$
Deux convexes disjoints non séparables par un hyperplan
*
$\bullet$
Une forme bilinéaire discontinue mais séparément continue
*
$\bullet$
Pourquoi la topologie produit ?
*
$\bullet$
Séparabilité de
\(L^p(\Omega),\ 1\leq p\leq\infty\)
*
$\bullet$
Séparabilité de
\(l^p(\mathbb N),\ 1\leq p\leq\infty\)
*
$\bullet$
Encore une application du théorème du graphe fermé
*
$\bullet$
Une permutation qui conserve les séries convergentes
*
$\bullet$
Topologie de la convergence simple : points adhérents et suites
*
Lire la suite
Combinatoires et probabilités
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Combinatoire : les nombres de Bell
*
$\bullet$
Un peu de dénombrement autour d’une série entière
*
$\bullet$
Autour du nombre de dérangements
*
$\bullet$
Distance entre deux racines d’un polynôme
*
$\bullet$
Distribution de deux points sur un segment (1)
*
$\bullet$
Probabilité que deux entiers soient premiers entre-eux
*
$\bullet$
Nombre de matrices symétriques à coefficients dans
\(\{0,1\}\)
et série entières
*
$\bullet$
Distribution aléatoire de deux points sur un segment
*
$\bullet$
Dénombrement et séries entières/génératrices
*
$\bullet$
Groupes et probabilités
*
$\bullet$
Dénombrement et algèbre linéaire
*
$\bullet$
Les dés sont pipés
*
$\bullet$
Avec un peu d’algèbre linéaire
*
$\bullet$
Probabilité d’obtenir un multiple de cinq en jetant
\(n\)
dés
*
$\bullet$
Combinatoire et matrices
*
$\bullet$
\(10^{2006}\)
divise
\(n!\)
*
$\bullet$
Dénombrement dans les groupes
*
Lire la suite
En cours...
Les exercices
$\bullet$
Exercice 1329
$\bullet$
Histoire dans un corps
*
$\bullet$
Le lemme de Riemann-Lebesgue et l’inclusion
\(\mathscr L^1([0,1])\subset c_{0}\)
.
*
$\bullet$
Trois problèmes d’optimisation autour d’une droite et une parabole
*
$\bullet$
Convergence faible dans
\(\mathscr C^0(X)\)
*
Polytechnique
$\bullet$
Inégalité de Bernstein (2)
*
$\bullet$
Une caractérisation de la convexité
*
$\bullet$
Probabilités, géométrie
*
$\bullet$
Séries de fourier et séries trigonométriques
*
$\bullet$
Sur la topologie de la convergence simple
*
$\bullet$
Un bien utile lemme de factorisation
*
$\bullet$
Exemple d’une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier
*
$\bullet$
Nombre de points à coordonnées entières dans un disque, comportement au bord d’une série entière
*
$\bullet$
Optimisation dans un triangle
*
$\bullet$
optimisation, combinatoire
*
$\bullet$
Étude des espaces
\({\rm{vect}}\{ f^{(k)},\ k\in\mathbb N\}\)
et
\({\rm{vect}}\{x\mapsto f(x+a),\ a\in\mathbb R\}\)
*
$\bullet$
\(\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace=e^{-1}.\)
*
$\bullet$
Études de quelques équations fonctionnelles
*
$\bullet$
Quelques applications de l’inégalité de Jensen
*
$\bullet$
Combinatoire : les nombres de Bell
*
$\bullet$
Probabilités et formule de Taylor
*
$\bullet$
Une suite dans
\(\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]\)
qui s’annule sur
\(\mathbb C\)
*
Polytechnique
$\bullet$
Autour de la série harmonique
*
$\bullet$
\(n(n^2+1)/2\)
est valeur propre de toute matrice magique
\(A\in M_n(\mathbb R)\)
.
*
$\bullet$
Une base de deux Banach
\(X\)
et
\(Y\)
n’en est pas forcément une pour
\(X\cap Y\)
*
Polytechnique
$\bullet$
Encore un peu de dénombrement
*
$\bullet$
La courbe d’équation
\(y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4\)
admet-elle
\(4\)
points alignés ?
*
$\bullet$
Un théorème d’Erdös sur les fonctions multiplicatives monotones
*
$\bullet$
Autour d’une ellipse
*
$\bullet$
Autour du théorème de Gauss-Lucas
*
$\bullet$
Différentiabilité de
\(M_n(\mathbb R)\ni M\mapsto (\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n))\)
et applications
*
$\bullet$
Une inégalité...
*
$\bullet$
Autour des ! universelles des fonctions continues
*
$\bullet$
Accélération de la convergence vers la contante d’Euler
*
$\bullet$
A la recherche des points isolés de
\(\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\},\ P\in\mathbb C[x]\)
*
$\bullet$
Supplémentaires universels d’un espace de dimension finie
*
$\bullet$
Partie entière de
\(\sum_{k=1}^{10^9}k^{-2/3}\)
*
$\bullet$
Le saviez vous ?
*
$\bullet$
Analyse sur une ligne brisée
*
$\bullet$
La formule de Stirling via la loi de Poisson
*
$\bullet$
Preuve probabiliste du théorème d’approximation de Bernstein
*
$\bullet$
Équicontinuité
*
$\bullet$
L’équation
\(\det(A+X)=\det(X),\ X\in M_n(\mathbb R)\)
.
*
Polytechnique
$\bullet$
Isométries rationnellles
*
$\bullet$
Une fonction continue nulle part dérivable
*
$\bullet$
Restes et sommes partielles de deux séries
*
$\bullet$
Géométrie
*
$\bullet$
L’inégalité Arithmético-Géométrique version améliorée via Taylor-Lagrange
*
$\bullet$
Générer des permutation avec des urnes
*
$\bullet$
Irrationalité de
\(\sqrt{2}\)
*
$\bullet$
\(\forall\,F\)
fermé dans
\(\mathbb R\)
,
\(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\)
.
*
$\bullet$
\({\text{dist}}(a, \ker(T))\)
où
\(T\)
est une forme linéaire continue.
*
$\bullet$
\(\forall\,F\)
fermé dans
\(\mathbb R\)
,
\(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\)
. (part. 3)
*
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Exercices dans ce dossier
Exercice
Exercice 4892
Agrégation
29 mai 2024 18:13 — Par
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