Agrégation

Dans le dossier «Agrégation»

Les sous-dossiers

Sous-dossiers

Algèbres bilinéaire et hermitienne

Les exercices

$\bullet$ Dimension, bases et applications linéaires *
$\bullet$ Matrices et réduction *
$\bullet$ Une équation matricielle dans \(M_2(\mathbb C)\) *
$\bullet$ Histoire de matrices nilpotentes *
$\bullet$ Autour du commutant *
$\bullet$ Étude \(A\mapsto A^3\) dans \(M_3(\mathbb R)\) *
$\bullet$ Réduction des endomorphismes *
$\bullet$ Encore deux démonstrations du Théorème de Cayley-Hamilton *
$\bullet$ Étude de \(M_3(\mathbb R)\ni B\mapsto AB\) *
$\bullet$ \(A^5+A^3+A=3I_d\) dans \(M_d(\mathbb C)\) *
$\bullet$ Polynôme minimal et dimension du noyau *
$\bullet$ Étude de \(\varphi\,:\,A\in M_n(\mathbb R)\longmapsto \varphi(A)=-A+\text{tr}(A)I_n.\) *
$\bullet$ Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes *
$\bullet$ Rayon spectral et décomposition de Dunford *
$\bullet$ Matrices nilpotentes *
$\bullet$ Matrice, comatrice et rang *
$\bullet$ Séries entières, algèbre linéaire *
$\bullet$ Matrices semblables, polynômes *
$\bullet$ Réduction des endomorphismes *
$\bullet$ Réduction des endomorphismes *
$\bullet$ Groupes, réduction des endomorphismes *
$\bullet$ Inégalité, matrices, déterminant *
$\bullet$ Un théorème de Kronecker *
$\bullet$ Le commutant dans \(M_2(\mathbb K)\) *
$\bullet$ Points isolés des solutions de l’équation \(X^2=I_n\) dans \(M_n(\mathbb R)\) * Polytechnique
$\bullet$ Sur l’équation \(\displaystyle\sin(A)=B\) *
$\bullet$ Quelques propriétés topologiques de \(\mathscr O_n(\mathbb R)\) et \(\mathscr U_n(\mathbb C)\) *
$\bullet$ Dans \(M_n(\mathbb R)\) : \(AB+A+B=0\quad\implies AB=BA\) *
$\bullet$ Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (1) *
$\bullet$ Dans \(M_n(\mathbb C)\), tout hyperplan rencontre \(GL_n(\mathbb C)\) (2) *
$\bullet$ Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace *
$\bullet$ Sur l’équation \(A^p=I_n\) dans \(M_n(\mathbb Z)\). *
$\bullet$ Calcul de \(\exp(A)\) où \(A=((\exp(2i\pi(k+l)/5)))_{k,l}\in M_5(\mathbb C)\). *
$\bullet$ Matrices entières inversibles *
$\bullet$ Sur l’équation \(S=X^2\) dans \(M_n(\mathbb C)\) avec \(S\) symétrique et \(X\) antisymétrique. * Polytechnique
$\bullet$ Convexité, matrice symétrique, calcul d’intégrale *
$\bullet$ Matrices symétriques *
$\bullet$ Espaces euclidiens et projection orthogonale *
$\bullet$ Une matrice symétrique non diagonalisable *
$\bullet$ Produit scalaire, continuité, topologie *
$\bullet$ Autour de la trace *
$\bullet$ Bases orthormées *
$\bullet$ Toute matrice carrée réelle est produit de deux matrices symétriques réelles *
$\bullet$ Sur l’équation \(\det(I_n-xA-yB)=\det(I_n-xA)\det(I_n-yB),\quad \forall\,x,y\in\mathbb R\). *

Les exercices

$\bullet$Exercice 1109
$\bullet$ Sur les polynômes de la forme \(P=QP''\) avec \(\text{deg}(Q)=2\) *
$\bullet$ Trois exercices sur les polynômes *
$\bullet$ Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables *
$\bullet$ Polynomes et fractions rationelles, approximation *
$\bullet$ Polynômes, nombres premiers *
$\bullet$ Polynômes dans \(\mathbb Z[X]\) * Polytechnique
$\bullet$ Polynômes trigonométriques : un théorème de Fejèr-Riesz *
$\bullet$ Autour du résultant de deux polynômes *
$\bullet$ Le théorème de Gauss-Lucas *
$\bullet$ Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche *
$\bullet$ Une inégalité autour des polynômes *
$\bullet$ Encore un calcul de \(\zeta(2)\) *
$\bullet$ Nombre de racines réelles du \(2005\)-ième itéré de \(P(x)=x^2-1\) *
$\bullet$ Racines de \(P(z)\) et de \(2zP'(z)-dP(z)\) *
$\bullet$ Un polynôme de degré \(6\) et un peu de géométrie *
$\bullet$ Sur les racines multiples du polynôme dérivé *

Les exercices

$\bullet$Optimisation dans un triangle *
$\bullet$Sur la longueur de l’intersection entre une parabole et un disque *
$\bullet$Inégalités dans un triangle (1) *
$\bullet$Inégalités dans un triangle (2) *
$\bullet$Coniques : le théorème de Joachimsthal *
$\bullet$Heptadivision d’un triangle *
$\bullet$Disposition de \(n\) points sur une sphère *
$\bullet$Une suite associée à un polygône *
$\bullet$Sur la longueur de l’ellipse *
$\bullet$Même périmètre et même aire *
$\bullet$Deux inégalités *
$\bullet$Exercice 1329

Les exercices

Les exercices

$\bullet$Exercice 1329
$\bullet$Les algèbres \(\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) et \(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\) sont-elles isomorphes ? *
$\bullet$Automorphisme d’algèbre de \(\mathscr C(\mathbb R^d,\mathbb R)\) *
$\bullet$Sous-algèbres de dimension finie de \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\) *
$\bullet$Propriété des valeurs intermédiaires et monotonie impliquent la continuité *
$\bullet$ Baireries *
$\bullet$L’équation fonctionnelle de Cauchy \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) *
$\bullet$ Les fonctions mid-convexes *
$\bullet$L’équation fonctionnelle \(f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x)f(y)\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbb R)\). *
$\bullet$Continuité et connexité : le théorème de Borsuk-Ulam *
$\bullet$Continuité et composition *
$\bullet$Autour des valeurs intermédiaires *
$\bullet$Le théorème des valeurs intermédiaires *
$\bullet$Sur les points de discontinuité d’une bijection \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R_+^\star\) *
$\bullet$Sur la continuité de l’application réciproque *
$\bullet$Sur la continuité de l’application réciproque, suite *
$\bullet$Continuité, topologie *
$\bullet$Continuité *
$\bullet$Théorème du point fixe : quelques limites *
$\bullet$Propriétés topologiques de l’ensemble des points de discontinuité d’une application *
$\bullet$Une application discontinue sur \(\mathbb Q\) *
$\bullet$Continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro *
$\bullet$Des petits o *
$\bullet$L’équation fonctionnelle \(f^{2}(x)=\int_0^x\,\left( f^2(t)+f'^2(t)\right)dt+2007\). *
$\bullet$Encore quelques équations fonctionnelles *
$\bullet$Une inéquation fonctionnelle *

Les exercices

$\bullet$Exercice 1329
$\bullet$Existence d’un opérateur à la dérivée de Dirac sur \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\) *
$\bullet$Deux fonctions \(f,g\) dérivables telles que \(f'g'\) ne soit pas une dérivéee *
$\bullet$Dérivation *
$\bullet$Approche matricielle du théorème des accroissements finis *
$\bullet$Comportement asymptotique du point intermédiaire dans la formule de Taylor-Lagrange *
$\bullet$Trois preuves du théorème de Darboux *
$\bullet$Sur le point d’inflexion *
$\bullet$Rolle sur \(\mathbf{\mathbb R}\) *
$\bullet$Dérivabilité et accroissements finis *
$\bullet$Dérivabilité et accroissements finis *
$\bullet$Toute application convexe et majorée sur \(\mathbb R\) est constante *
$\bullet$Régularité et existence de développement limité en un point *
$\bullet$Parité, dérivabilité et développement limité *
$\bullet$ Convexité et Accroisements Finis *
$\bullet$Zéros des dérivées d’une fonctions \(\mathscr C^\infty\) à support compact *
$\bullet$Sur l’inégalité de Kolmogorov \(M_1\leq 2\sqrt{M_0M_1}\). *
$\bullet$Une série et une fonction *
$\bullet$Un fameux théorème d’Émile Borel *
$\bullet$\(\sum_{k=1}^n\,(-1)^{k+1}C_n^kk^n=(-1)^{n+1}n!\) *

Les exercices

Suites et séries

Les exercices

$\bullet$Exercice 1329
$\bullet$Convergence de \(\sum_n a_n^{-3}\), où \(\vert a_n-a_m\vert>1,\ \forall\,m\neq n\in\mathbb N\) *
$\bullet$ Convergence d’une série par sommation par paquets *
$\bullet$Divergence de la série \(\sum_{p\in\mathscr P}\frac{1}{p}\) *
$\bullet$Si \((x_j)_j\subset\mathbb R_+\) et \(\sum_j x_j=A\) alors \(\sum_j x_j^2\ \in\,]0,A^2[\) *
$\bullet$Formule de Wallis et applications *
$\bullet$Série non commutativement convergente *
$\bullet$Suites numériques, calculs d’équivalents *
$\bullet$Irrationalité de \(e\) (2) *
$\bullet$Irrationalité de \(e\) (3) *
$\bullet$Irrationalité de \(\pi^2\) et donc de \(\pi\) *
$\bullet$Suites, équivalents *
$\bullet$Divergence de la série harmonique, preuve record ? *
$\bullet$Divergence de la série harmonique (suite) *
$\bullet$Suites et sous-suites *
$\bullet$Divergence de la série \(\sum_{n\geq 1}{{\sin^2(n)}\over n}\) *
$\bullet$Le critère de condensation de Cauchy *
$\bullet$Suites, continuité *
$\bullet$Sur le nombre d’éléments d’une suite récurrente *
$\bullet$Un exercice sur les séries numériques *
$\bullet$Calcul de \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{F(2^n)}\) *
$\bullet$Divergence de la série \(\sum_{n\geq 2}\frac{\cos(\log(\log(n)))}{\log(n)}\) *
$\bullet$Calcul d’une somme de série *
$\bullet$À propos du produit de Cauchy *
$\bullet$ \(e=\sum 1/k!\), une preuve élémentaire *
$\bullet$Divergence douce de \(\sum_k\,1/k\log(k)\log(\log(k))\) par le TAF *

Suites et séries de fonctions, séries entières

Les exercices

Fonctions holomorphes

Les exercices

Calcul différentiel

Les exercices

$\bullet$Exercice 1329
$\bullet$Calcul différentiel, extréma, fonctions harmoniques *
$\bullet$Calcul différentiel, espaces vectoriels normés, polynômes *
$\bullet$Extrémas en dimension plus grande que \(2\) : attention aux idées reçues ! *
$\bullet$Théorème de d’Alembert-Gauss, topologie, calcul différentiel *
$\bullet$Théorème de d’Alembert-Gauss, calcul différentiel, optimisation *
$\bullet$Inversion locale et globale *
$\bullet$Déterminant et calcul différentiel *
$\bullet$Matrices et calcul différentiel *
$\bullet$Extrémas et convexité *
$\bullet$Étude de \(y'=y(y-1)\) *
$\bullet$Étude de \(y'=y^2\sin^2(y)\) *
$\bullet$Étude de \(xy'=x+y^2\) *
$\bullet$Étude de \(y'=\exp(-xy)\) *
$\bullet$Domaine de définition des solutions maximales de \(X'(t)=X^2(t)\) à valeurs dans \(M_n(\mathbb C)\). * Polytechnique
$\bullet$Résolution de l’équation \(f(x)=1-\int_0^x(t+x)f(x-t)dt.\) *
$\bullet$L’équation fonctionnelle de d’Alembert \(2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)\) *

Equations différentielles

Les exercices

$\bullet$Exercice 1329

Analyse fonctionnelle

Les exercices

Combinatoires et probabilités

Les exercices

$\bullet$Exercice 1329
$\bullet$Combinatoire : les nombres de Bell *
$\bullet$Un peu de dénombrement autour d’une série entière *
$\bullet$Autour du nombre de dérangements *
$\bullet$Distance entre deux racines d’un polynôme *
$\bullet$Distribution de deux points sur un segment (1) *
$\bullet$Probabilité que deux entiers soient premiers entre-eux *
$\bullet$Nombre de matrices symétriques à coefficients dans \(\{0,1\}\) et série entières *
$\bullet$Distribution aléatoire de deux points sur un segment *
$\bullet$Dénombrement et séries entières/génératrices *
$\bullet$Groupes et probabilités *
$\bullet$Dénombrement et algèbre linéaire *
$\bullet$Les dés sont pipés *
$\bullet$Avec un peu d’algèbre linéaire *
$\bullet$Probabilité d’obtenir un multiple de cinq en jetant \(n\) dés *
$\bullet$Combinatoire et matrices *
$\bullet$\(10^{2006}\) divise \(n!\) *
$\bullet$Dénombrement dans les groupes *

Les exercices

$\bullet$Exercice 1329
$\bullet$ Histoire dans un corps *
$\bullet$Le lemme de Riemann-Lebesgue et l’inclusion \(\mathscr L^1([0,1])\subset c_{0}\). *
$\bullet$Trois problèmes d’optimisation autour d’une droite et une parabole *
$\bullet$Convergence faible dans \(\mathscr C^0(X)\) * Polytechnique
$\bullet$Inégalité de Bernstein (2) *
$\bullet$Une caractérisation de la convexité *
$\bullet$Probabilités, géométrie *
$\bullet$Séries de fourier et séries trigonométriques *
$\bullet$Sur la topologie de la convergence simple *
$\bullet$Un bien utile lemme de factorisation *
$\bullet$Exemple d’une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier *
$\bullet$Nombre de points à coordonnées entières dans un disque, comportement au bord d’une série entière *
$\bullet$Optimisation dans un triangle *
$\bullet$optimisation, combinatoire *
$\bullet$ Étude des espaces \({\rm{vect}}\{ f^{(k)},\ k\in\mathbb N\}\) et \({\rm{vect}}\{x\mapsto f(x+a),\ a\in\mathbb R\}\) *
$\bullet$ \(\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace=e^{-1}.\) *
$\bullet$Études de quelques équations fonctionnelles *
$\bullet$Quelques applications de l’inégalité de Jensen *
$\bullet$Combinatoire : les nombres de Bell *
$\bullet$Probabilités et formule de Taylor *
$\bullet$Une suite dans \(\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]\) qui s’annule sur \(\mathbb C\) * Polytechnique
$\bullet$Autour de la série harmonique *
$\bullet$\(n(n^2+1)/2\) est valeur propre de toute matrice magique \(A\in M_n(\mathbb R)\). *
$\bullet$Une base de deux Banach \(X\) et \(Y\) n’en est pas forcément une pour \(X\cap Y\) * Polytechnique
$\bullet$Encore un peu de dénombrement *
$\bullet$La courbe d’équation \(y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4\) admet-elle \(4\) points alignés ? *
$\bullet$ Un théorème d’Erdös sur les fonctions multiplicatives monotones *
$\bullet$Autour d’une ellipse *
$\bullet$Autour du théorème de Gauss-Lucas *
$\bullet$Différentiabilité de \(M_n(\mathbb R)\ni M\mapsto (\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n))\) et applications *
$\bullet$ Une inégalité... *
$\bullet$Autour des ! universelles des fonctions continues *
$\bullet$Accélération de la convergence vers la contante d’Euler *
$\bullet$A la recherche des points isolés de \(\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\},\ P\in\mathbb C[x]\) *
$\bullet$Supplémentaires universels d’un espace de dimension finie *
$\bullet$Partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9}k^{-2/3}\) *
$\bullet$Le saviez vous ? *
$\bullet$Analyse sur une ligne brisée *
$\bullet$La formule de Stirling via la loi de Poisson *
$\bullet$Preuve probabiliste du théorème d’approximation de Bernstein *
$\bullet$Équicontinuité *
$\bullet$ L’équation \(\det(A+X)=\det(X),\ X\in M_n(\mathbb R)\). * Polytechnique
$\bullet$Isométries rationnellles *
$\bullet$Une fonction continue nulle part dérivable *
$\bullet$Restes et sommes partielles de deux séries *
$\bullet$Géométrie *
$\bullet$ L’inégalité Arithmético-Géométrique version améliorée via Taylor-Lagrange *
$\bullet$Générer des permutation avec des urnes *
$\bullet$Irrationalité de \(\sqrt{2}\) *
$\bullet$\(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\). *
$\bullet$\({\text{dist}}(a, \ker(T))\) où \(T\) est une forme linéaire continue. *
$\bullet$\(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\). (part. 3) *

Pas de chapitre dans cette section

;

Success message!