Exercices théoriques sur les déterminants

Dans le dossier «Exercices théoriques sur les déterminants»

Exercices théoriques sur les déterminants

Les exercices

$\bullet$Exercice 798 *
$\bullet$Exercice 905 *
$\bullet$Exercice 594 *
$\bullet$Exercice 596 *
$\bullet$Exercice 273 **
$\bullet$Exercice 693 **
$\bullet$Exercice 114 **
$\bullet$Exercice 444 **
$\bullet$Exercice 221 **
$\bullet$Exercice 517 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 798 *

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Considérons pour \(n\geqslant 2\), l’application \[\mathop{\rm det}:\left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ A & \longmapsto & \mathop{\rm det}(A) \end{array} \right.\] Est-elle injective ? Surjective ?

Exercice 905 *

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\). Montrer que \(\mathop{\rm det}( A^2 + B^2) \geqslant 0\).

Exercice 594 *

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans \(\mathbb{R}^{5}\), déterminer tous les endomorphismes \(f\) vérifiant \(f^2 + \mathop{\mathrm{id}}\nolimits= 0\).

Exercice 596 *

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer le rang de la comatrice \(\widetilde{A}\) en fonction du rang de \(A\). (Penser à la caractérisation du rang par les matrices extraites.)

Exercice 273 **

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f: \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\) une application vérifiant \(f \neq 0\), \(f(0)=0\) et \[\forall A,B \in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R}) , \quad f(AB)= f(A) f(B) .\] Montrer que \[f(A)=0 \Longleftrightarrow \mathop{\rm det}(A)=0 .\]

Exercice 693 **

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer toutes les formes \(p\)-linéaires alternées sur \(\mathbb{R}^{n}\) où \(p>n\).

Exercice 114 **

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) à coefficients entiers relatifs. Montrer l’équivalence \[{A \textrm{ inversible et } A^{-1} \textrm{ a ses coefficients dans } \mathbb{Z} } \Longleftrightarrow{\mathop{\rm det}(A) = \pm 1}.\] Démontrer que \(Gl_n({\mathbb{Z}})=\{ M\in M_n({\mathbb{Z}})\ ~|~ \mathop{\rm det}(M)\in \{ -1,1\} \}\) est un sous-groupe de \(Gl_n({\mathbb{R}})\).

Exercice 444 **

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux matrices à coefficients réels \((A, B) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} }) ^2\). On suppose qu’elles sont semblables dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{C} })\). Montrer qu’elles sont semblables dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\).

Exercice 221 **

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère un système \((f_1,\dots, f_n)\) de fonctions de \(\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) qui est libre dans \(\mathcal{F}\left(\mathbb{R} , \mathbb{R} \right)\). Montrer qu’il existe \(n\) réels \((x_1,\dots, x_n) \in \mathbb{R}^{n}\) tels que la matrice \(A = ((f_i(x_j))) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) soit inversible.

Exercice 517 ***

17 mai 2021 11:37 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) de colonnes \((A_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\). On définit à partir des colonnes de \(A\), la matrice \(B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) de vecteurs colonnes \((B_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) où : \[B_i = \sum_{j \neq i} A_i.\] Exprimez le déterminant de la matrice \(B\) en fonction du déterminant de la matrice \(A\).

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