Déterminants

Dans le dossier «Déterminants»

Les exercices

$\bullet$Exercice 5 *
$\bullet$Exercice 294 *
$\bullet$Exercice 579 *
$\bullet$Exercice 886 *
$\bullet$Exercice 981 *
$\bullet$Exercice 156 *
$\bullet$Exercice 716 *
$\bullet$Exercice 262 *
$\bullet$Un déterminant tridiagonal **
$\bullet$Exercice 879 *
$\bullet$Exercice 217 *
$\bullet$Exercice 524 *
$\bullet$Exercice 1 *
$\bullet$Exercice 320 *
$\bullet$Exercice 497 *
$\bullet$Encore un déterminant tridiagonal *
$\bullet$Exercice 726 *
$\bullet$Exercice 180 *
$\bullet$Exercice 465 *
$\bullet$Exercice 459 *
$\bullet$Un déterminant tridiagonal **
$\bullet$Dérangement **
$\bullet$Exercice 662 **
$\bullet$Exercice 435 **
$\bullet$Déterminant de Cauchy **
$\bullet$Exercice 853 ***

Exercices dans ce dossier

Exercice 5 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer les déterminants \[\Delta_1= \begin{vmatrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & -1 & & \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ 1 & & & -1 \end{vmatrix}\quad \Delta_2= \begin{vmatrix} (x+1) &1 &\dots & &1 \\ 2 &(x+2) &2 &\dots &2 \\ 3 & 3&(x+3) &\ddots &3 \\ \vdots & &\ddots &\ddots & \\ n & & \dots& & (x+n)\\ \end{vmatrix}.\]

Exercice 294 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) une matrice antisymétrique avec \(n\) impair. Montrer qu’elle n’est pas inversible.

Exercice 579 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le déterminant \(D = \begin{vmatrix} a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 \end{vmatrix}\).

Exercice 886 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) telle que \[\forall (i, j) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2,~ i + j > n + 1 \Rightarrow a_{ij} = 0.\] Calculer \(\mathop{\rm det}(A)\). Si on suppose de plus que \(a_{ij} > 0\) lorsque \(i + j \leqslant n + 1\), déterminer le signe de \(\mathop{\rm det}(A)\).

Exercice 981 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) et on définit la matrice \(A' = (~(-1)^{i+j} a_{ij} )\). Exprimer \(\mathop{\rm det}(A')\) en fonction de \(\mathop{\rm det}(A)\).

Exercice 156 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit une matrice \(A \in \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} })\) et l’application \(f : \left\{ \begin{array}{ccl} \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} }) & \longrightarrow & \mathfrak{M}_{2}(\mathbb{\mathbb{K} }) \\ M & \longmapsto & AM \end{array} \right.\). Exprimer \(\mathop{\rm det}(f)\) en fonction de \(\mathop{\rm det}(A)\).

Exercice 716 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le déterminant de la matrice \(A=(a_{ij})\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) où \(a_{ii}=1, a_{1,i}=1, a_{i1}=1\) et \(0\) sinon.

Exercice 262 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\alpha\in \mathbb{K}\). Calculer le déterminant de la matrice \(A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) avec \(a_{ij} = \alpha\) pour \(i \leqslant j\) et \(a_{ij} = 1\) pour \(i > j\).

Un déterminant tridiagonal **

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(\alpha,\beta\in \mathbb{K}\). Calculer le déterminant tridiagonal avec \(\alpha+\beta\) sur la diagonale principale, \(1\) en dessous et \(\alpha\beta\) au dessus.

Exercice 879 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le déterminant de la matrice \(A=(a_{ij})\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) où \(a_{ii}=i\) et sinon \(a_{ij}=2\).

Exercice 217 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le déterminant \((2p) \times (2p)\) suivant : \[\begin{vmatrix} a & & a&b& &b \\ &\ddots & & & \nearrow &\\ a & & a&b& &b\\ b & &b &a& &b \\ &\nearrow& & & \ddots & \\ b & &b &a& &a \end{vmatrix}\]

Exercice 524 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le déterminant de la matrice \(A=(a_{ij})\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) où \(a_{ij}=(-1)^{i+j}\).

Exercice 1 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit la matrice \(A= ( \inf(i,j) ) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\). Calculer son déterminant.

Exercice 320 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Caluler \(D = \mathop{\rm det}\left(\max(i,j)\right) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 2 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 3 & 3 & 3 & \ldots & n \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ n & n & \ldots & \ldots & n \end{vmatrix}\).

Exercice 497 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(A \in \mathfrak{M}_{np}(\mathbb{R})\) et \(B \in \mathfrak{M}_{pn}(\mathbb{R})\) avec \(n > p\). Montrer que \(\mathop{\rm det}(AB)=0\).

Encore un déterminant tridiagonal *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le déterminant tridiagonal avec des \(1\) partout.

Exercice 726 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le déterminant : \[\begin{vmatrix} 1 & n & n& \dots & n \\ n & 2 & n & \dots & n \\ n & n & 3 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ n & n & n & \dots & n \end{vmatrix}\]

Exercice 180 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\mathop{\rm det}\left((ia+jb)\right)\) où \(a,b \in \mathbb{R}\).

Exercice 465 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\mathop{\rm det}\left(( 1+ a_i a_j)\right)\) où \(a_1, \dots a_n \in \mathbb{R}\).

Exercice 459 *

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer \(\mathop{\rm det}\left(( \left| i-j \right| )\right)\).

Un déterminant tridiagonal **

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le déterminant tridiagonal \[\Delta_n= \begin{vmatrix} 1+x^2 & x &0 &\dots & 0 \\ x & 1+x^2 & x & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & x & 1+x^2 & x \\ 0 & \dots & 0 & x & 1+x^2 \end{vmatrix} .\]

Dérangement **

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer le déterminant de la matrice \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]
On dit qu’une permutation \(\sigma \in \mathfrak{S}\left(n\right)\) est un dérangement lorsque \(\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(\sigma(i) \neq i\). Y a-t-il plus de dérangements de signature \(+1\) que de dérangements de signature \(-1\) ?

Exercice 662 **

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver les matrices \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) telles que \[\forall X \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} }) , \quad \mathop{\rm det}(A+X) = \mathop{\rm det}(A) + \mathop{\rm det}(X).\]

Exercice 435 **

17 mai 2021 11:28 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Calculer les déterminants suivants en utilisant un déterminant de Vandermonde : \[\Delta_1=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\* a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ bcd & acd & abd & abc \end{vmatrix}, \quad \Delta_2= \begin{vmatrix} 1&a&a^2&a^4\\ 1&b&b^2&b^4 \\ 1&c&c^2&c^4 \newline 1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}.\]

Pour le deuxième, introduire \[P(x)=\begin{vmatrix} 1&x&x^2&x^3&x^4\\ 1&a&a^2&a^3&a^4\\ 1&b&b^2&b^3&b^4 \\ 1&c&c^2&c^3&c^4 \\ 1&d&d^2&d^3&d^4\end{vmatrix}\]

Déterminant de Cauchy **

17 mai 2021 11:29 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère \(2n\) scalaires \(a_1,b_1,\dots, a_n, b_n\) tels que tous les \(a_i\) sont distincts et \(\forall i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\), \(a_i + b_i \neq 0\). On veut calculer le déterminant de Cauchy suivant : \[\Delta_n = \begin{vmatrix} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_1+b_1} & \dots & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_1+b_n} \\ \vdots & & \vdots \\ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_n+b_1} & \dots & {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a_n+b_n} \end{vmatrix}.\]

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \[R(X) = \dfrac{(b_1-X)\dots (b_{n-1}-X)}{(X+a_1)\dots(X+a_n)}.\]
Exprimer \(\Delta_n\) en fonction de \(\Delta_{n-1}\).
Calculer \(\Delta_n\).

Exercice 853 ***

17 mai 2021 11:29 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Démontrer que la matrice \[A = \begin{pmatrix} 167 & 72 & 152 & 396 & 82 & 670 & 742 & 160 \\ 54 & 315 & 116 & 262 & 764 & 128 & 808 & 784 \\ 338 & 146 & 83 & 418 & 804 & 468 & 504 & 312 \\ 658 & 268 & 114 & 203 & 622 & 98 & 580 & 566 \\ 290 & 590 & 258 & 110 & 805 & 58 & 512 & 346 \\ 226 & 994 & 294 & 572 & 744 & 93 & 288 & 8 \\ 392 & 698 & 594 & 372 & 416 & 340 & 343 & 702 \\ 968 & 274 & 110 & 674 & 260 & 646 & 608 & 217 \end{pmatrix}\] est inversible.

;

Success message!