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Exercice 846 **

12 mai 2021 13:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) telle que \(\forall x \in \mathbb{R} , f''(x)+f(x)\geqslant 0\). Montrer que: \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad f(x)+f(x+\pi) \geqslant 0\]

Exercice 958 **

12 mai 2021 13:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(p:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) une fonction continue non-nulle et positive. Montrer que toute solution de \[(E) \quad y''+p(x)y=0\] s’annule au moins une fois.

Exercice 931 **

12 mai 2021 13:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(u:[a,b] \mapsto \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{2}\) telle que \[u''(x) + p(x)u'(x) >0\] Montrer que \(u\) atteint son maximum en \(a\) ou en \(b\).

Exercice 877 **

12 mai 2021 13:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient deux fonctions \(f\) et \(g\) continues sur \([0, 1]\) telles que \(\forall x \in [0, 1]\), \[f(x) = \int_0^x g(t)\mathrm{ \;d}t \textrm{ et } g(x) = \int_0^x f(t) \mathrm{ \;d}t\] Montrer que \(f\) et \(g\) sont nulles.

Exercice 212 **

12 mai 2021 13:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver les fonctions \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant : \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f(x) = \cos x - x - \int_0^x (x - t) f(t)\mathrm{ \;d}t\]

Exercice 729 **

12 mai 2021 13:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère l’équation différentielle \[(E)~: 3y^2(y'' + y') + 6yy'^2 + y^3 = e^{-x}\] On considère une solution \(y\) de \((E)\). Déterminer un entier \(n \in \mathbb N\) tel que la fonction \(y^n\) soit solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Trouver alors une solution de \((E)\).

Exercice 797 **

12 mai 2021 13:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver les fonctions \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{1}\) vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f'(x) = f\left( {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} - x\right)\]

Exercice 532 *

12 mai 2021 13:58 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les fonctions \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) dérivables vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f'(x) = f(-x)\]

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