Géométrie du triangle

Exercices dans ce dossier

Exercice

Formules des sinus, d’Al-Kashi, de Héron **

4 janvier 2021 18:36 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Dans le plan orienté, on considère un triangle \(ABC\) non aplati de sens direct (c’est-à-dire qu’on passe du point \(A\) au point \(B\), et du point \(B\) au point \(C\) en tournant dans le sens direct) . On note : \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(\widehat A= \widehat{BAC}\), \(\widehat B= \widehat{CBA}\), \(\widehat C= \widehat{ACB}\) et \(\mathscr A\) l’aire de \(ABC\). On note aussi \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\), \(r\) le rayon du cercle inscrit à \(ABC\) et \(p={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(a+b+c\right)\) le demi-périmètre de \(ABC\).

  1. Montrer que \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) =2\mathscr A\)

  2. En déduire la formule des sinus : \[\dfrac{a}{\sin \widehat{A}}=\dfrac{b}{\sin \widehat{B}}=\dfrac{c}{\sin \widehat{C}}=\dfrac{abc}{2\mathscr A}=2R.\]

  3. Prouver les formules d’Al-Kashi : \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat A, \quad b^2=c^2+a^2-2ca\cos \widehat B, \quad c^2=a^2+b^2-2ab\cos \widehat B\] Ces formules généralisent la formule de Pythagore dans un triangle quelconque.

  4. Déduire des deux dernières questions la formule de Héron : \[\mathscr A = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} bc \sin \widehat A={\scriptstyle abc\over\scriptstyle 4R} = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=rp\]

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