Géométrie du triangle

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan \(\mathcal P\). Montrer que les médiatrices du triangle \(ABC\) sont concourantes en un point \(O\) centre du cercle circonscrit au triangle :

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan \(\mathcal P\). Soient \(G\) l’isobarycentre de \(ABC\).

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan \(\mathcal P\). Montrer que les trois bissectrices intérieures du triangle \(ABC\) sont concourantes en un point \(K\) du plan et ce que ce point est centre du cercle inscrit à \(ABC\) (c’est-à-dire le cercle tangent aux trois côtés du triangle).

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points non alignés du plan \(\mathcal P\).

Dans un triangle \(ABC\) non équilatéral et non aplati, on considère l’orthocentre \(H\), le centre \(O\) du cercle circonscrit et le centre de gravité \(G\).

La droite passant par ces trois points est appelé droite d’Euler du triangle \(ABC\).

Dans le plan orienté, on considère un triangle \(ABC\) non aplati de sens direct (c’est-à-dire qu’on passe du point \(A\) au point \(B\), et du point \(B\) au point \(C\) en tournant dans le sens direct) . On note : \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(\widehat A= \widehat{BAC}\), \(\widehat B= \widehat{CBA}\), \(\widehat C= \widehat{ACB}\) et \(\mathscr A\) l’aire de \(ABC\). On note aussi \(R\) le rayon du cercle circonscrit à \(ABC\), \(r\) le rayon du cercle inscrit à \(ABC\) et \(p={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\left(a+b+c\right)\) le demi-périmètre de \(ABC\).