Résolution par changement de fonction inconnue

Dans le dossier «Résolution par changement de fonction inconnue»

Résolution par changement de fonction inconnue

Les exercices

$\bullet$Exercice 637 *
$\bullet$Exercice 199 *
$\bullet$Exercice 982 *
$\bullet$Exercice 1038 *

Exercices dans ce dossier

Exercice 637 *

12 mai 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \[\left(t^2+1\right)y''+\left(t^2-2t+1\right)y'-2ty=0\] en introduisant la fonction \(z=y'+y\).

Exercice 199 *

12 mai 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \[\left(E\right):\quad y''+4ty'+(11+4t^2)y = 0\] en introduisant la fonction \(z\left(t\right)=e^{t^2} y\left(t\right)\).

Exercice 982 *

12 mai 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation différentielle : \[\left(E\right)~\quad -\left(x^4+2x^2+1\right) y'' +4 x\left(x^2+1\right) y' +\left(x^4-4x^2+3\right) y = 0\] en introduisant la fonction \(z\left(x\right)={\scriptstyle y\left(x\right)\over\scriptstyle 1+x^2}\).

Exercice 1038 *

12 mai 2021 13:44 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On se propose de résoudre l’équation différentielle : \[\left(E\right)~: y''+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2x^2}y=0.\]

Soit \(y\) une solution du problème. On pose pour tout \(t\in\mathbb{R}\) : \(z\left(t\right)=y\left(e^t\right)e^{-{\scriptstyle t\over\scriptstyle 2}}\).
1. Exprimer \(y\left(x\right)\) en fonction de \(z\left(\ln\left(x\right)\right)\) pour tout \(x>0\).
2. En déduire que la fonction \(t\mapsto z\left(t\right)\) vérifie sur \(\mathbb{R}\) une équation \(\left(E'\right)\) d’ordre \(2\) à coefficients constants.
3. Résoudre \(\left(E'\right)\).
Résoudre \(\left(E\right)\).

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