Equations différentielles linéaires du premier ordre

Dans le dossier «Equations différentielles linéaires du premier ordre»

Equations différentielles linéaires du premier ordre

Les exercices

$\bullet$Exercice 548 *
$\bullet$Exercice 647 *
$\bullet$Exercice 580 *
$\bullet$Exercice 124 *
$\bullet$Exercice 961 *
$\bullet$Exercice 561 *
$\bullet$Exercice 342 *
$\bullet$Exercice 158 **
$\bullet$Exercice 897 *
$\bullet$Exercice 739 **
$\bullet$Exercice 918 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 548 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

\(y'+y=\cos x + \sin x\)
\(y'-3y=2\)
\(y'-2x ~ y =\mathop{\mathrm{sh}}x -2x\mathop{\mathrm{ch}}x\)
\(y'+2y=e^{2x}\)
\(y'+y = \sin 2x\)
\(y'-5y=e^{5x}\)

Exercice 647 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

\(y'+2y=x^2\)
\(y'+y=2 \sin x\)
\(y'-y=\left(x+1\right)e^x\)
\(y'+y=x-e^x+\cos x\)
\(y'+y=\left(x^2-2x+2\right)e^{2x}\)
\(y'+y=\sin x + 3 \sin 2x\).

Exercice 580 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

\((1+x^2)y'+2xy=e^x + x\).
\(\left(1+x^2\right)y'+xy=\sqrt{1+x^2}\)
\(y'+2xy=e^{x-x^2}\).
\(\left(1+x^2\right)y'=xy+\left(1+x^2\right)\).
\(y'+2xy= 2xe^{-x^2}\).
\(\left(x^2+1\right)^2y'+2x\left(x^2+1\right)y=1\) .
\(\sqrt{1+x^2}y'-y=1\).

Exercice 124 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) les équations différentielles suivantes :

\(\left(2+\cos x\right)y'+\sin x~ y =\left(2+\cos x\right)\sin x\).
\(y'-y=e^x \sin 2 x\) .
\(\left(1+e^x\right)y'+e^x ~y=1+e^x\) .
\(\mathop{\mathrm{ch}}x ~ y' -\mathop{\mathrm{sh}}x~ y=\mathop{\mathrm{sh}}^3 x\).
\(\left(1+\cos^2 x\right)y'-\sin 2x ~ y = \cos x\)
\(\left(x^2+1\right)y'+xy=1\)
\(y'-{\scriptstyle\mathop{\mathrm{sh}}x\over\scriptstyle 1+\mathop{\mathrm{ch}}x}y=\mathop{\mathrm{sh}}x\).

Exercice 961 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur les intervalles spécifiés les équations différentielles suivantes :

\(y'+y \mathop{\mathrm{cotan}}x = \sin x\) sur \(\left]0,\pi\right[\).
\(xy'+y=\sin^3 x\) sur \(\mathbb{R}^*_-\).
\(x\left(1+\ln^2 x\right)y'-2\ln x ~y= \left(1+\ln^2 x\right)^2\).
\(\sin x~ y'-\cos x~ y+1=0\) sur \(\left]0,\pi\right[\).
\(y'+\left(\tan x\right) y = \cos^3 x\) sur \(\left]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\)
\(\sqrt{1-x^2}y'+y=1\) sur \(\left]-1,1\right[\).

Exercice 561 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre sur les intervalles spécifiés les équations différentielles suivantes :

\(y'+\left(\tan x\right)~ y-\sin 2x =0\) sur \(\left]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\).
\(\mathop{\mathrm{sh}}x ~ y' -\mathop{\mathrm{ch}}x y=1\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) puis sur \(\mathbb{R}_-^*\).
\(x^3y'+4\left(1-x^2\right)y=0\) sur \(\mathbb{R}_+^*\).
\(\sqrt{x^2-1}~y'+y=1\) sur \(\left[1,+\infty\right[\).
\({\sin^3 x}~ y' = 2\cos x ~ y\) sur \(\left]0,\pi\right[\).

Exercice 342 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(k>0\). Montrer qu’il existe une unique condition initiale \(y_0\in \mathbb{R}\) telle que la solution du problème de Cauchy \[y'-ky=\sin t \quad y(0)=y_0\] soit bornée sur \([0,+\infty[\).

Exercice 158 **

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Déterminer les fonctions \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continues vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R} ,~ f(x) = \sin x + 2\int_0^x e^{x-t}f(t)\mathrm{ \;d}t.\]

Cet exercice utilise le théorème fondamental de l’analyse [thm:fondamental] page [thm:fondamental].

Exercice 897 *

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Résoudre pour un entier \(n \geqslant 1\) l’équation différentielle : \[(E_n)~: y' + \dfrac{nx}{x+1}y = (x+1)^n e^x\] sur l’intervalle \(I = ]-1, +\infty[\).

Exercice 739 **

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère une fonction \(a : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) continue et \(T\)-périodique. Montrer que pour toute solution non-nulle \(\varphi\) de l’équation différentielle \[(E)~:y' - a(x) y = 0\] il existe un unique réel \(\alpha\) tel que la fonction définie par \(\psi(x) = e^{-\alpha x} \varphi(x)\) soit \(T\)- périodique.

Cet exercice utilise le théorème fondamental de l’analyse [thm:fondamental] page [thm:fondamental].

Exercice 918 **

12 mai 2021 13:39 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver toutes les fonctions \(f:[0,+\infty[ \mapsto \mathbb{R}\) continues sur l’intervalle \(I = [0, +\infty[\), vérifiant : \[\forall x\in ]0, +\infty[, \quad 2xf(x)=3\int_0^x f(t) dt\]

Cet exercice utilise le théorème fondamental de l’analyse [thm:fondamental] page [thm:fondamental].

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