Formules de Taylor

Dans le dossier «Formules de Taylor»

Formules de Taylor

Les exercices

$\bullet$Exercice 394 *
$\bullet$Exercice 1022 *
$\bullet$Exercice 119 *
$\bullet$Exercice 535 *
$\bullet$Exercice 493 *
$\bullet$Exercice 775 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 394 *

12 mai 2021 13:25 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\) et pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a :

\[\displaystyle{\left|e^x - \sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}\right| \leqslant\dfrac{\left|x\right|^{n+1} e^{\left|x\right|}}{\left(n+1\right)!}}\]
En déduire \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}}\).

Exercice 1022 *

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

En appliquant la formule de Taylor avec reste intégrale à la fonction \(x\mapsto \ln\left(1+x\right)\) entre \(0\) et \(1\), montrer que :

\[1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \ln 2\]

Exercice 119 *

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) et \(a\in \mathbb{R}\). Montrer que :

\[\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0}{\scriptstyle f\left(a+h\right)-2f\left(a\right) + f\left(a-h\right)\over\scriptstyle h^2}}=f''\left(a\right)\] En déduire \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{\scriptstyle 2\cos \left(x\right) -2\over\scriptstyle x^2}}\).

Exercice 535 *

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver \[\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{ x(e^x+1)-2(e^x-1)}{x^3}\]

Exercice 493 *

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \([0,1]\). On pose pour \(x\in ]0,1[\), \[g(x)= \dfrac{ f(x)-f(0)-x(f(1)-f(0))}{\sin (\pi x) }\] Montrer que l’on peut prolonger \(g\) par continuité en \(0\) et \(1\).

Exercice 775 **

12 mai 2021 13:26 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Écrire l’inégalité de Taylor-Lagrange pour l’exponentielle entre \(0\) et \(X\in\mathbb{R}_+^*\).
En déduire l’existence d’une constante \(C>0\) telle que : \[\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \forall x\in\left[0,1\right],\quad \left|\left(1+x^2\right)^{1/n} -1-\dfrac{1}{n}\ln\left(1+x^2\right) \right|\leqslant\dfrac{C}{n^2} .\]
Trouver alors deux réels \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \[\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \int_{0}^{1} \left(1+x^2\right)^{1/n}\,\textrm{d}x=a+\dfrac{b}{n}+\dfrac{\varepsilon_n}{n}\] où \(\varepsilon_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\)

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