Algèbre linéaire et intégration

Dans le dossier «Algèbre linéaire et intégration»

Algèbre linéaire et intégration

Les exercices

$\bullet$Exercice 946 **
$\bullet$Exercice 771 **

Exercices dans ce dossier

Exercice 946 **

12 mai 2021 13:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Si \(f \in E\), on note \(T(f) = g\) l’application définie par \[\forall x \in \mathbb{R} , \quad g(x) = \int_0^x tf(t) \;dt\]

Montrer que \(T\) est un endomorphisme de \(E\).
Déterminer \(\operatorname{Ker}T\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}T\).

Exercice 771 **

12 mai 2021 13:18 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soient le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E=\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) et les applications :

\[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & f' \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad\psi: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & \int_{0}^{x} f\left(t\right)\,\textrm{d}t \end{array} \right.\]

Prouver que \(\varphi\) et \(\psi\) sont des endomorphismes de \(E\).
Calculer \(\varphi\circ \psi\) et \(\psi\circ \varphi\).
Déterminer les noyaux et images de \(\varphi\) et \(\psi\).

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