Suites dont le terme général est défini par une intégrale

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Exercices dans ce dossier

Exercice

Exercice 31 *

12 mai 2021 12:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la suite de terme général \(I_n=\int_{0}^{1} \dfrac{x^n}{1+x^2}\,\textrm{d}x\).

  1. Calculer \(I_0\), \(I_1\) et \(I_2\).

  2. Étudier la monotonie de \(\left(I_n\right)\).

  3. En déduire que \(\left(I_n\right)\) est convergente.

  4. Prouver que : \[\forall n\in\mathbb{N},\quad 0 \leqslant I_n \leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}.\]

  5. En déduire la limite de \(\left(I_n\right)\).

  6. En déduire un équivalent de la suite \[J_n = \int_{0}^{1} x^n \ln\left(1 + x^2\right)\,\textrm{d}x\]
Exercice

Exercice 1061 *

12 mai 2021 12:53 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la suite de terme général \(I_n=\int_{0}^{1} x^n\left(1-x\right)^n\,\textrm{d}x\).

  1. Étudier les variations de \(f:x\mapsto x\left(1-x\right)\) sur \(\left[0,1\right]\).

  2. En déduire celles de \(\left(I_n\right)\).

  3. En déduire que \(\left(I_n\right)\) est convergente.

  4. Montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},\quad 0 \leqslant I_n \leqslant\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}\right)^n.\]

  5. En déduire la limite de \(\left(I_n\right)\).
Exercice

Exercice 830 **

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on considère la suite de terme général \[I_n=\int_{1}^{e} \left(\ln x\right)^n\,\textrm{d}x\]

  1. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).

  2. Trouver une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\).

  3. En déduire que \[\forall n\in \mathbb{N}, \quad 0<I_n <{\scriptstyle e\over\scriptstyle n+1}\] puis la limite de \(\left(I_n\right)\).

  4. En déduire un équivalent de \(I_n\).
Exercice

Exercice 873 **

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la suite de terme général \(I_n=\int_{1}^{e} x^2\left(\ln x\right)^n\,\textrm{d}x\) où \(n\in\mathbb{N}^*\)..

  1. Étudier la monotonie de \(\left(I_n\right)\).

  2. En déduire que \(\left(I_n\right)\) est convergente.

  3. Trouver une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\).

  4. En déduire la limite de \(\left(I_n\right)\) ainsi qu’ un équivalent simple de \(I_n\).
Exercice

Exercice 48 **

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour tout \(n\in \mathbb{N}\), on considère la suite de terme général : \[I_n=\int_{0}^{1} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1+x^n}\,\textrm{d}x\]

  1. Montrer que \[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad \int_{0}^{1} {\scriptstyle x^n\over\scriptstyle 1+x^n}\,\textrm{d}x={\scriptstyle\ln 2\over\scriptstyle n} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\int_{0}^{1} \ln\left(1+x^n\right)\,\textrm{d}x\]

  2. En déduire que \[I_n = 1 - \dfrac{\ln 2}{n} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right).\]
Exercice

Exercice 677 *

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(n\in \mathbb N\). On pose \[I_n = \int_0^1 \dfrac{t^n}{n!} e^{1-t} \mathrm{ \;d}t\]

  1. Déterminer \(\lim_{n\rightarrow +\infty} I_n\) ;

  2. Trouver une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\) ;

  3. En déduire la limite de la suite de terme général \[S_n = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\]
Exercice

Intégrale de Wallis **

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour tout \(n\in \mathbb{N}\), on pose : \[I_n=\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} \sin^n t\,\textrm{d}t.\] Une telle intégrale est appelée intégrale de Wallis.

  1. Montrer que \[\forall n\in\mathbb{N}, \quad I_n=\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} \cos^n t\,\textrm{d}t.\]

  2. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).

  3. Montrer que \[\forall n\in\mathbb{N}, I_{n+2} = {\scriptstyle n+1\over\scriptstyle n+2}I_n\]

  4. En déduire, pour tout \(p\in\mathbb{N}\), une expression de \(I_{2p}\) et \(I_{2p+1}\) à l’aide de factorielles.

  5. Montrer que \(\left(I_n\right)\) est décroissante et positive. En déduire que \(\left(I_n\right)\) est convergente.

  6. En déduire que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \[1\leqslant\dfrac{I_{n+1}}{I_{n+2}}\leqslant\dfrac{I_{n}}{I_{n+2}}.\]

  7. Montrer que \(I_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}I_{n+1}\).

  8. Établir que pour tout \(n\in \mathbb{N}, \quad \left(n+1\right) I_{n+1}I_n={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\).

  9. En déduire que : \(I_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} \sqrt{\dfrac{\pi}{2n} }\).
Exercice

Exercice 58 ***

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur le segment \([0,1]\) vérifiant \(f(1)=f'(1)=0\). Étudier la suite de terme général \[I_n=n^2 \int_0^1 x^n f(x) \mathrm{ \;d}x\]
Exercice

Exercice 511 ***

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Soit deux réels \(a,b\in \mathbb{R}\) tels que \(a<b\) et une fonction \(f:[a,b]\mapsto \mathbb{R}\) continue et positive. Déterminer la limite de la suite de terme général \[I_n = \left[ \int_a^b f^n(x) \mathrm{ \;d}x \right]^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} }\]

On étudiera d’abord le cas où \(f\) est une fonction constante.
Exercice

Exercice 685 *

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Trouver la limite de la suite de terme général \[I_n= \dfrac{1}{n!} \int_0^1 (\operatorname{arcsin} x)^n dx\]
Exercice

Exercice 332 **

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

  1. Soit un entier \(k \geqslant 1\). Encadrer l’intégrale \(I_k = \int_k^{k+1} \ln t \mathrm{ \;d}t\) .

  2. En déduire un équivalent de la suite de terme général \(u_n = \ln n!\).
Exercice

Suite de Mercator **

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On considère la suite de terme général \[I_n = \int_0^1 \dfrac{t^n}{1+t} \mathrm{ \;d}t\]

  1. Trouver \(\lim_{n\rightarrow +\infty} I_n\)

  2. Trouver une relation de récurrence simple entre \(I_n\) et \(I_{n-1}\) pour \(n\geqslant 1\).

    On considère ensuite la suite, dite de Mercator, de terme général \[S_n = 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dots + \dfrac{ (-1)^{n+1}}{n} = \sum_{k=1}^n \dfrac{ (-1)^{k+1}}{k}\]

  3. Exprimer pour \(n\geqslant 1\), \(S_n\) en utilisant \(I_n\).

  4. En déduire que la suite \((S_n)\) converge et préciser sa limite.
Exercice

Exercice 577 ***

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Étudier la suite \((u_n)\) de terme général : \[u_n = \int_{\pi}^{n\pi} \dfrac{\sin t}{t} \mathrm{ \;d}t\]

On commencera par déterminer le signe de \(u_{n+1} - u_n\), puis \(u_{n+2} - u_n\) et l’on s’intéressera ensuite aux deux suites extraites \(u_{2n}\) et \(u_{2n+1}\).
Exercice

Exercice 92 ***

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

On note pour un entier \(n\) non-nul : \[S_n = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} \dfrac{1}{i+j+1} \textrm{ et } I_n = \int_0^n \Bigl(\int_0^n \dfrac{\mathrm{ \;d}y}{x+y+1} \Bigr) \mathrm{ \;d}x\]

  1. Calculer l’intégrale \(I_n\) pour \(n > 0\).

  2. Déterminer un équivalent de la suite \((I_n)\).

    On pourra utiliser un développement limité à l’ordre \(1\) de \(\ln\) en \(0\).

  3. Encadrer \(S_n\) à l’aide de \(I_n\) pour \(n > 0\).

  4. En déduire un équivalent de \((S_n)\).
Exercice

Exercice 452 ***

12 mai 2021 13:12 — Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces

Pour \(n\in \mathbb N\), on pose \[I_n = \int_0^1 \dfrac{t^n - t^{2n}}{1-t} \; dt\]

  1. Justifier l’existence de \(I_n\) pour \(n\geqslant 1\).

  1. [exo_avec_somme_de_riemann] page [exo_avec_somme_de_riemann]1  Une autre solution de cet exercice utilisant les sommes de Riemann est proposée dans l’exercice

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