Coordonnées cartésiennes dans le plan

Calculer une équation cartésienne puis une équation paramétrique de la droite \(\mathcal D\) :

Calculer une équation cartésienne de la droite \(\mathcal D\) d’équation paramétrique \(\begin{cases} x&=1-t \\y&=2-3t \end{cases}\).

On rapporte le plan à un repère orthonormal direct. On considère les points \(A(-1,-1)\), \(B(2,3)\) et \(C(3,-3)\).

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les points \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\-2 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} -2\\3 \end{matrix}\right.}\).

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère le point \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right.}\). Parmi toutes les droites passant par \(\Omega\), déterminer celles qui sont à distance \(1\) du point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} -1\\4 \end{matrix}\right.}\).

Calculer la distance du point \(A\) à la droite \(\mathscr D\) dans les cas suivants :

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les 4 points \(A\left(-1,3\right)\), \(B\left(-6,-2\right)\), \(C\left(2,-6\right)\) et \(D\left(3,1\right)\).

On considère un point \(A_{\lambda} \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ 0 \end{matrix}\right.}\) de l’axe \((Ox)\) et un point \(B_{\lambda} \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ a - \lambda \end{matrix}\right.}\) de l’axe \((Oy)\).

On considère dans le plan euclidien un triangle équilatéral \((ABC)\). On choisit un repère orthonormé d’origine le milieu de \([AB]\), avec le vecteur \(\overrightarrow{i} = \dfrac{\overrightarrow{AB}}{\lVert \overrightarrow{AB} \rVert_{ }}\) dans lequel \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} -a\\0 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0 \end{matrix}\right.}\) avec \(a > 0\).

Dans le plan, on considère un triangle \((ABC)\) et on note \(I\) le milieu du segment \([BC]\). Une droite passant par \(I\) coupe les droites \((AB)\) en \(D\) et \((AC)\) en \(E\). Déterminer le lieu des points d’intersection des droites \((BE)\) et \((CD)\).

On considère dans le plan euclidien un triangle isocèle \((ABC)\) avec \(AB = AC\). On considère un point \(D\) qui varie sur le segment \([AB]\) et un point \(E\) sur le segment \([BC]\) tels que \(\overline{D'E} = \dfrac{1}{2}\overline{BC}\) où \(D'\) est le projeté orthogonal de \(D\) sur \((BC)\). Par le point \(E\), on mène la perpendiculaire à la droite \((DE)\). Montrer que cette droite passe par un point fixe \(I\).

Dans le repère canonique du plan, on considère deux points sur les axes \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\0 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\a-\lambda \end{matrix}\right.}\). On note \(C\) le point tel que \((OACD)\) soit un rectangle. On note \(\mathcal{D}_{\lambda}\) la perpendiculaire à la droite \((AB)\) passant par \(C\). Montrer que la droite \(\mathcal{D}_{\lambda}\) passe par un point fixe à déterminer lorsque \(\lambda\) varie.

Déterminer l’intersection des droites \(D_1\) et \(D_2\) : \[D_1\;\left\lbrace \begin{array}{rcl} x&=&2t-1 \\ y&=&-t+2 \end{array}\right. \;t\in\mathbb R\qquad D_2\;\left\lbrace \begin{array}{rcl} x&=&t+2 \\ y&=&3t+1 \end{array}\right.\;t\in\mathbb R\]